(word完整版)高中数学必修1-第一章-集合与函数概念-知识点,推荐文档

1、第一章集合与函数概念一：集合的含义与表示1 集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是 否属于这个整体。把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为集。2、集合的中元素的三个特性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。 一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合(1)用大写字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5(2)集合的表示方法：列举法与描述法。a、 列举法：将集合中的元素一一列举出来a,b,c b、描述法：1区间法：将集合中元素的公共属

2、性描述出来，写在大括号内表示集合。x R| x-32 ,x| x-322语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 3Venn 图：画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。4、集合的分类：(1)有限集：含有有限个元素的集合(2)无限集：含有无限个元素的集合(3)空集：不含任何元素的集合5、元素与集合的关系：(1)元素在集合里，则元素属于集合，即：a A(2 )元素不在集合里，则元素不属于集合，即：aCA注意：常用数集及其记法：非负整数集(即自然数集)记作：N正整数集 N*或 N+整数集 Z有理数集 Q 实数集 R6、集合间的基本关系(1). “包含”关系(1)子集定义：如果集合 A 的任何一个元素都

3、是集合 B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合 子集。记作：A B(或 BA)注意：A B有两种可能(1) A 是 B 的一部分;(2)A 与 B 是同一集合。反之：集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A B 或 B A(2) . “包含”关系(2)真子集如果集合A B，但存在元素 x B 且 xCA,则集合 A 是集合 B 的真子集如果 A B,且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作A卓B(或 B 盖 A)读作 A 真含与 B(3). “相等”关系：A=B“元素相同则两集合相等”如果 A B 同时 B A 那么 A=B(4) .不含任何元素的

4、集合叫做空集，记为规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。(5) 集合的性质1任何一个集合是它本身的子集。A A2如果 A B, B C ,那么 A Cu uu3如果 A B 且B-C,那么 A C4有 n 个元素的集合，含有 2n 个子集，2n-1 个真子集7、集合的运算(1) 元素的确定性(2) 元素的互异性(3) 元素的无序性3、集合的表示：A 是集合 B 的a 2 x b 2，所以函数y f (x)的定义域是a 2,b2运算类型交 集并集补集a 2 x b 2，所以函数y f (x)的定义域是a 2,b2定义由所有属于A且属于 B 的兀 素所组成的集合，叫做A,B的交集

5、.记作AB (读作A 交 B),即卩 A B= x|xA,且 x B.由所有属于集合A或属于集 合B 的元素所组成的集合， 叫做A,B的并集.记作：AB (读作 A并 B),即 A B =x|x A,或 x B).全集：一般，若一个集合汉语我们所研究 问题中这几道的所有元素，我们就称这个 集合为全集，记作：U设 S 是一个集合，A 是 S 的一个子集，由 S 中所有不属于A的元素组成的集合，叫做 S 中子集 A 的补集(或余集)记作CSA,CsA=x|x S 且 x A韦恩图示图1图2CD性质AnA=AAno=oAnB=BA AnB AAnB BA U A=AAu=AAU B=B U AA U

6、 BAA U B B(CuA)n(CuB)= Cu(AUB)(CuA) U (CuB)= Cu(AnB) AU(CuA)=UAn(CuA)=.、函数的概念1.函数的概念：设 A B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f,使于集合 A 中的任意一个数 X,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f :ATB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作： y=f(x) , x A.(1)其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；(2)与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 f(x)| x A 叫做函数的值域.2.函数的三要素： 定义域、值域

7、、对应法则a) 定义域：能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1) 分式的分母不等于零；(2) 偶次方根的被开方数不小于零；如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的那么，它的定义域是使各部分都有意的x 的值组成的集合(4) 求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误问题 1：已知函数yf (x)的定义域为a, b，求yf (x 2)的定义域是a, b，所以得到a x 2 b，从而f (x 2)的定义域误解因为函数y f(x)的定义域为a, b，所以a从而a 2 x 2 b 2故y f (x 2)的定义域是a2

8、,b2正解 因为yf (x)的定义域为a,b，所以在函数f(x2)中，a x 2 b,从而a 2 xb 2，故yf(x2)的定义域是a2,b2问题 2 :已知yf (x 2)的定义域是a, b，求函数yf (x)的定义域误解因为函数y正解因为函数y f(x 2)的定义域是a, b，则a x b，从而a 2 x 2 b 2所以函数yf (x)的定义域是a 2, b 2即本题的实质是由a x b求x 2的范围b)值域(先考虑其定义域)求值域的几种常用方法(新课只讲配方，判别式，分离常数法)y sin2x 2cosx 4 (cosx 1)22解决因y 8x32x 2x(4x21)，故函数y 2x4x

9、22(x 1,2)在(1,丄)上递减、在(丄，0)上递增、在2 21115(0,)上递减、在(一,2)上递增，从而可得所求值域为,30(1)配方法：对于(可化为)二次函数型”的函数常用配方法，如求函数.2sin x2cosx4，可变为(2)基本函数法:一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求,如函数ylog1(2x22x 3)就是利用函数ylog1u和u x22x 3的值域来求。Y=f(u),u=g(x)2(3)判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数2x2的值域32x 1x2x得2313(4)分离常数法2 cos x 3cosx 11y (,-2(5)yx22(y1

10、)x 2y 10，若y2(y1)24y(2y1)0得:常用来求分式型”函数的值域。如求函数cosx5-，而cosx11(0,2，所以0，则得x3132cosx利用基本不等式求值域:如求函数x23x4的值域0时，y 0;当0时,34x -x，若2x 21-，所以y 0是函数值域中的一个值;23且 y 0，故所求值域是2的值域，因为cosx 15cosx 140，则x -x4，从而得所求值域是-,34 4(6) 利用函数的单调性求求值域如求函数y 2x4x22(x 1,2)的值域40，则x42x228(7)图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域(求某些分段函数的值域常

11、用此法)。c)3 函数的表示方法：( 1) 解析法 ：明确函数的定义域( 2) 图想像 ：确定函数图像是否连线，函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等。( 3) 列表法 ：选取的自变量要有代表性，可以反应定义域的特征。 4、函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点 P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x A)的图象.C 上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y)，均在 C 上.(2) 画法A、描点法：B、图象变换法

12、：平移变换；伸缩变换；对称变换，即平移。3、相同函数的判断方法：表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关)；定义域一致 ( 两点必须同时具备 )4、区间的概念：( 1 )区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间( 2)无穷区间( 3)区间的数轴表示6. 分段函数( 1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(举个绝对值得例子)(2)各部分的自变量的取值情况.( 3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集.( 4)常用的分段函数有取整函数、符号函数、含绝对值的函数复合函数：如果 y=f(u)(u M),u=g(x)(x A), 则 y=fg(x)=F(x)(x A)

13、称为 f、 g 的复合函数。7. 映射一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合 A 中的任意一个元素 X,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应f : A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“ f (对应关系)：A (原象)B (象)”对于映射 f :ATB 来说，则应满足：(1) 集合 A 中的每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的；(2) 集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个；(3) 不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。注意：映射是针对自然界中的所有事物而言的,而函数仅仅

14、是针对数字来说的。所以函数是映射,而映射不一 定的函数8、函数的单调性 (局部性质 )及最值( 1 )、增减函数1) 设函数 y=f(x)的定义域为 I ,如果对于定义域I内的某个区间 D内的任意两个自变量 x1 , x2， 当x1x2时, 都有f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间.2)如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值x1 , x2，当 x1f(x2),那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增,和单调不减两种( 2)、

15、 图象的特点1)加左减右 只对 x2)上减下加 只对y3 )函数 y=f(x)关于 X 轴对称得函数y=-f(x)4) 函数 y=f(x)关于 Y 轴对称得函数y=f(-x)5)函数 y=f(x)关于原点对称得函数y=-f(-x)6) 函数 y=f(x)将 x 轴下面图像翻到x 轴上面去,x 轴上面图像不动得函数 y=| f(x)|7)函数 y=f(x)先作 x0 的图像,然后作关于y 轴对称的图像得函数3)函数图像平移变换的特点： (新课靠后讲)f(|x|)如果函数 y=f(x) 在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=f(x) 在这一区间上具有 (严格的 )单调性,在单 调区间上增函数

16、的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.( 3)、函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：CD 任取 x1 , x2 D,且 x12 2 =8 种不同映射(2)8若 f :y=3x+1 是从集合 A=1 ,2, 3, k到集合 B=4 ,7, a4, a2+3a的一个映射，求自然数a、k 的值及集合 A、B.解析a=2 , k=5, A=1 , 2, 3, 5, B=4 , 7 , 10 , 16;/ f (1) =3X1 + 1=4 , f (2) =3X2+1=7 , f (3) =3X3+1=10, f (k) =3k+1,由映射的定义知(1) a N , 方程组(1

17、)无解.解方程组(2),得 a=2 或 a= 5 (舍)，3k+ 仁 16 , 3k=15, k=5. A=1 , 2 , 3 , 5, B=4 , 7 , 10 , 16.5、值域(1)已知函数y x24ax 2a 6(a R),若y 0恒成立，求f (a)2 aa 3的值域解析依题意，y 0恒成立，则16a24(2a 6) 0,解得1a3,219值域是一,4(2)定义在R上的函数y f (x)的值域为a,b，则函数y f (x 1)的值域为()a410,或a23a 3k 1,(2)a23a 10, a43k 1.所以f (a)2 a(a 3)3217(a一)一，从而f (a)maxf (

18、1)4,f (a)min24f(f)19,所以f (a)的43A.a 1,b 1； B.a,b； C.a 1,b 1； D.无法确定y f(x)的图象向右平移一个单位而得到，所以，它们的值域是一样的(3)(2008 江西改)若函数y f (x)的定义域是1,3，则函数g(x)f (2 x)的定义域是1解析丄,1)(1,3；因为2 2f (x)的定义域为1,3，所以对g(x)，12x133但x 1故x,1)(1, 22(4) (2008 江西理改)若函数2y f (x)的值域是-,3，则函数F x1一 的值域f(x)解析2,10；F(x)可以视为以f (x)为变量的函数，令t f (x)，则F

19、321 t21 (t 1)(t 1)12F 1222，所以，F t-在,1上是减函数，在t2t2t2t 3t21,3上是增函数，故F (x)的最大10值是，最小值是 2解析B ；函数y f(x 1)的图象可以视为函数、选择题:1、函数y.1x jx的定义域为(2、函数11的值域为(x 1U 1,C.,-1 U 1,3、F 列函数f x与gx表示同一函数的是xx2与g xC.x、x 1与g4.A . (1)(2)C. (1)(3)(4)5已知函数f(x)=x3,x0,x2,xw0.函数的概念及表示C.1,1-1 U1,D.给出下列四个对应，其中构成映射的是B. (1)(4)D . (3)(4)xx2与g2x若 f(a) = f(4)，则实数 a 等于A .C.B.1 或1D . 1, 1 或 46、函数1的定义域是(,3B.3,C.,3 I 3,D.,3 U 3,7 .集合 M x 2 x 2 , N 系的是().y 0 y 2，给出下列四个图形，其中能表示以M 为定义域,N 为值域的函数关&下列图形是函数y =|x|(x 2,2)的图象的是()二、填空题13 .已知 f (x) = x2+ x + 1，贝 U f(J