直线与圆位置关系知识点与经典例题

1、直线与圆位置关系一.课标要求1 .能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；2 .能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3 .在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。.知识框架f相离j几何法r弦长4直线与圆的位置关系相交代数法切割线定理相切直线与圆(f代数法求切线的方法,几何法圆的切线方程«i过圆上一点的切线方程、圆的切线方程,切点弦过圆外一点的切线方程方程三.直线与圆的位置关系及其判定方法1.利用圆心O(a,b)到直线Ax By C 0的距离dAa Bb Cn 22A B与半径r的大小来判(1) dr直线与圆相交(2) dr直线与圆相切(3) dr

2、直线与圆相离2 .联立直线与圆的方程组成方程组，消去其中一个未知量，得到关于另外一个未知量的一元次方程，通过解的个数来判定。(1)有两个公共解(交点)，即0 直线与圆相交0直线与圆相切(位置关系)1.已知动直线l : y kx 5和圆C ： (x 1)2 y21，试问k为何值时，直线(2)有且仅有一个解(交点)，也称之为有两个相同实根，即(3)无解(交点)，即 0直线与圆相离3 .等价关系相交dr0相切dr0相离dr0练习ax by 1与圆。的位置关与圆相切、相离、相交?22.(位置关系)2.已知点M(a,b)在圆O：x y 1外，则直线A.相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定（最值问题

3、）3.已知实数x、y满足方程x2 y2 4x 1 0,（1）求_y的最大值和最小值；x（2）求x y的最大值和最小值；（3）求x2 y2的最大值和最小值。R分析1考查与圆有关的最值问题，解题的关键是依据题目条件将其转化为对应的几何问题求解，运用数形结合的方法， 直观的理解。转化为求斜率的最值；转化为求直线y x b截距的最大值；转化为求与原点的距离的最值问题。（位置关系）4.设m,n R,若直线（m 1）x （n 1）y 2 0与圆（x 1）2 （y 1）2 1相 切，则m n的取值范围是（）（位置关系）5.在平面直角坐标系 xoy中，已知圆x2 y2 4上有且仅有四个点到直线12x 5y c

4、 0的距离为1,则实数c的取值范围是6.直线v3x y 2J3 0截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角是（C ）A 6(位置关系)( )A. 2 BB 、一 C 、一 D 、一x y 2的距离最大值是7 .圆x2 y2 2x 2y 1 0上的点到直线、. 2141C . 1 D . 1 2V22（最值问题）8.设A为圆（x 2）2 （y 2）2 1上一动点，则 A到直线xy 50的最大距离9 .已知圆C的半径为2,圆心在C的方程为（）A. x2 y2 2x 3 0C. x2 y2 2x 3 010 .若曲线y J1 x2与直线yx轴的正半轴上，直线 3x 4y 4 0与圆C相切，则圆B. x

5、2 y2 4x 0D. x2 y2 4x 0x b始终有两个交点，则 b的取值范围是.（对称问题）11.圆C1：（x 3）2 （y 1）2 4关于直线x y 0对称白圆C2的方程为：（）A.(x3)2(y1)24b.C.(x1)2(y3)24d.12.直线 y kx 3与圆(x 2)2 (y 则k的取值范围是()(x 1)2 (y 3)24(x 3)2 (y 1)243)2 4相交于M ,N两点，若| MN | 273,2C. .3,、,3 D. -,0313.圆 C： (x1)2+(y 2)2=25,直线 l： (2 m 1)x+ ( m 1)y= 7mu 4 ( mC R).(1)证明：不

6、论m取什么实数，直线l与圆恒相交于两点；(2)求。C与直线l相交弦长的最小值.解析(1)将方程(21)x+(m 1)y=7m 4,变形为(2x+y 7)(x+y 4)=0.直线l恒过两直线2x+y7=0和x+y4=0的交点，2x+ y- 7 = 0由得交点M3,1).x+ y 4= 0又(3 1)2+(1 2)2=5<25, .点M3,1)在圆C内，直线l与圆C恒有两个交点.(2)由圆的性质可知，当lCM寸，弦长最短.又 1cM = #3 1) 2+(1 F =卡, .弦长为 l =2卡2_| CM!2： 225-5 =45.四.计算直线被圆所截得的弦长的方法1 .几何法：运用弦心距、半

7、径、半弦长构成的Rt计算，即 AB 2；r2 d22 .代数法：运用根与系数关系(韦达定理)，即AB| Vk2 i|xa Xb| V(k2 1) (Xa Xb)2 4xaXb(注： 当直线AB斜率不存在时，请自行探索与总结；弦中点坐标为(xA xB , yA yB ),求解弦中点轨迹方程。)22练习1 .直线y 2x 3被圆x2 y2 6x 8y 0所截得的弦长等于()2 .过点(2,1)的直线中被圆x2 y2 2x 4y 0截得的弦长最大的直线方程是()A. 3x y 5 0 B. 3x y 70 C. x 3y 5 0 D. x 3y 5 03 .已知圆C过点(1,0),且圆心在x轴的正半

8、轴上，直线l : y x 1被圆C所截得的弦长为2盘,则过圆心且与直线l垂直的直线方程为()4 .直线x 2y3=0与圆C: (x2)2+(y+3) 2=9交于E、F两点，则 EC用勺面积为()A.2 B. 3 c . 2审 D. 3555 .已知圆 C：(x 3)2 (y 4)24 和直线 l：kx y 4k 3 0(1)求证：不论k取什么值，直线和圆总相交；(2)求k取何值时，圆被直线截得的弦最短，并求最短弦的长.6 .若曲线x2+y2+2x6y+1= 0上相异两点P、Q关于直线kx+2y- 4=0对称，则k的值为1( )A. 1B. 1C.2D. 27 .已知过点M 3, 3的直线l与圆

9、x2 y2 4y 21 0相交于A, B两点，(1)若弦AB的长为2灰,求直线l的方程；(2)设弦AB的中点为P ,求动点P的轨迹方程.解：(1)若直线l的斜率不存在，则 l的方程为x 3,此时有y2 4y 12 0 ,弦| AB11yA yB| 268,所以不合题意.故设直线l的方程为y 3 k x 3 ,即kx y 3k 3 0 .2将圆的万程与成标准式得 x2 y 225,所以圆心 0, 2 ,半径r 5 .圆心0, 2到直线l的距离d 13k ”,因为弦心距、半径、弦长的一半构成直角三、k2 122 3k 12角形，所以 J152 25,即k 30,所以k 3.k2 1所求直线l的方程

10、为3x y 12 0 .(2)设 P x,y ,圆心 O1 0, 2,连接OF,则OiPAB .当x 0且x3时,kO, P kABy ( 3)x ( 3)(1)3, 3都是方程(1)3 25 2 51，化简得x 3 y 55222当x 0或x 3时，P点的坐标为 0, 2 , 0, 3 , 3, 23 的解，所以弦 AB中点P的轨迹方程为 x 3 y -.2228.已知圆x2 y2 x 6y m 0和直线x 2y 3 0相交于P,Q两点，O为原点，且 OP OQ ,求实数m的取值.五.已知切点，求切线方程1 .经过圆x2 y2 r2上一点P (x0, y(o)的切线方程为 x y0y r22

11、 .经过圆(x a)2 (y b)2 r2上一点P (x°, y°)的切线方程为(x° a)(x a) (y0 b)( y b) r23 .经过圆x2 y2 Dx Ey F 0上一点P(x°, y°)的切线方程为%x y°y练习1 .经过圆上一点P( 4, 8)作圆(x 7)2 (y 8)2 9的切线方程为()2 .圆x2 y2 4x 0在点P(1, J3)处的切线方程为()A. x 43y 2 0 B . x 73y 4 0 C. x V3y 4 0 D . x 73y 2 0六.切点未知，过园外一点，求切线方程1. k不存在，验证

12、是否成立；2. k存在，设点斜式，用圆到直线的距离d r,即'y y° k(x %)b V。 k(a Xo)|, r 1、k2 1练习1.求过A(3,5)且与圆C：x2 y2 4x 4y 7 0相切的直线方程。七.切线长2. 22右圆C:(x a) (y b) r ,则过圆外一点P(x0,y0)的切线长d ,(X0 a)2 (y0 b)2 r2练习1 .自点 A( 1,4)作圆(x 2)2 (y 3)21的切线，则切线长为( B )(A)5(B) 3(C).10(D) 52 .自直线y=x上点向圆x2+y2-6x+7=0引切线，则切线长的最小值为 八.切点弦方程过圆C :(x

13、 a)2 (y b)2 r2外一点P(x°, y°)作圆C的两条切线方程，切点分别为A, B ,则切点弦AB所在直线方程为：(x0 a)(x a) (y0 b)(y b)r21 .过点C(6 , 8)作圆x2+y2=25的切线于切点 A B,那么C到两切点A、B连线的距离为()15A. 15B. 1 C. 5D. 5九.切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线， 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，即|pt|2 |pc| |pd|练习 221 .自动点P引圆x y 10的两条切线PA, PB ,直线PA, PB的斜率分别为 左M2。(1)若k1 k2卜限 1 ,求动点P的轨迹方程；(2)若点P在直线x y m上，且PA PB ,求实数m的取值范围。R解析1(1)由题意设P(x0,y°)在园外，切线l :y y° k(x %),卜 石0 , ,k2 1(x。2 10)k2 2x0y0k y。2 10 0由k1 k2 k1k21得点P的轨迹方程为x y 2<5 0。(2)P(Xo,yo)在直线 x y m上,Xoyom2又 PA PB, kik21,y02 101 ,即 Xo2 yo2 20,将 x y m代入化简得Xo 10222x0 2mx0 m 20 0又 0,-2