无穷级数解析PPT教案

1、无穷级数解析无穷级数解析0( )nnu x 为傅立叶级数为傅立叶级数.( )cossinnnnu xanxbnx当当为傅氏系数为傅氏系数) 时时,时为数项级数时为数项级数;0 xx 当当( )nnnu xa x 当当时为幂级数时为幂级数;(,nna b0( )nnu x 求和求和( )S x展开展开(在收敛域内进行在收敛域内进行)基本问题：基本问题：判别敛散；判别敛散；求收敛域；求收敛域；求和函数；求和函数；级数展开级数展开.第1页/共50页一、数项级数及其审敛法一、数项级数及其审敛法(一一)常数项级数的概念常数项级数的概念1.常数项级数的概念；常数项级数的概念；2.常数项级数收敛与发散的概念

2、；常数项级数收敛与发散的概念；3.正项级数、交错级数、任意项级数的概念；正项级数、交错级数、任意项级数的概念；4.绝对收敛与条件收敛的概念；绝对收敛与条件收敛的概念；1nnu 12nnu 常数项常数项级数级数收敛收敛(发散发散)存在存在(不存在不存在)nns lim1nnu 若若1nnu 1nnu 发散发散,而而收敛收敛, 则称则称为为条件收敛条件收敛.1nnu 若若收敛收敛, 则称则称为为绝对收敛绝对收敛;1nnu 123 nuuuu第2页/共50页(二二)常数项级数的性质（常数项级数的性质（4个）个） 性质性质1.不变不变.敛散性敛散性级数的每一项同乘一级数的每一项同乘一不为零不为零的常数

3、的常数,性质性质2.设两级数设两级数收敛收敛， 1nnus， 1nnv 则级数则级数收敛，收敛，1()nnnuv 其其和和为为. s在级数前面在级数前面加上加上（或去掉或去掉）有限项有限项不影响不影响性质性质3.级数的级数的敛散性敛散性, 但但影响收敛级数的和影响收敛级数的和.性质性质4. 收敛收敛加括号后加括号后收敛收敛.收敛级数收敛级数加括号后所成的级数加括号后所成的级数仍收敛仍收敛于原来的于原来的和和.1111.(0)nnnnnnnnucucucuc收收敛敛收收敛敛且且111111()()().nnnnnnnnnnnnnnuvuvuvuv，收收敛敛收收敛敛且且收敛收敛+收敛收敛=收敛，收

4、敛收敛，收敛+发散发散=发散，发散， 发散发散+发散就不一定发散发散就不一定发散 发散发散去括号后去括号后发散发散.第3页/共50页(三三)收敛级数的必要条件收敛级数的必要条件. 0lim nnu 1nnu若级数若级数收敛收敛v注：不能用注：不能用0lim nnu判断级数收敛判断级数收敛.(四四)应熟记的几个重要级数：应熟记的几个重要级数： 1.几何级数几何级数2.调和级数调和级数11111123nnn 是发散级数是发散级数. 发散发散时时当当收敛收敛时时当当级数级数,1,111ppnPnp011nnqaqq 当当时时，收收敛敛当当时时，发发散散3.P-级数级数第4页/共50页(五五)常数项级

5、数的审敛法：常数项级数的审敛法：1.任意项级数的审敛法任意项级数的审敛法(3)性质法性质法.(4)利用重要级数利用重要级数.(2)lim0nnu1nnu 发散发散.(1)定义法：定义法：(5) 11 nnnnuu收收敛敛收收敛敛, ,11 .nnnnuu 发发散散发发散散1(6) ()nnu 发发散散 比比值值法法或或根根值值法法1.nnu 发发散散级数级数收敛收敛(发散发散)存在存在(不存在不存在).limnns 第5页/共50页2.正项级数的审敛法正项级数的审敛法(2)比值法比值法(1)比较法比较法 (3)根值法根值法11nnnnuv设设和和均均为为正正项项级级数数. .),(Nnkvun

6、n (常数常数 k 0 )；limnnnulv 1limnnnuu limnnnu 若若大大的收敛，的收敛， 则则小小的也收敛；的也收敛； 若若小小的发散，的发散， 则则大大的也发的也发散散. 11)1nnu 收收敛敛； 3.交错级数的审敛法交错级数的审敛法(莱布尼茨审敛法莱布尼茨审敛法)12)1nnu 或或发发散散. . 1 1 ( 1)nnnu nu 单单调调递递减减 lim0.nnu 1 1 ( 1).nnnu 收收敛敛 0)(nu 00 第6页/共50页必要条件必要条件lim0nnu 不满足不满足发发 散散满足满足比值审敛法比值审敛法1limnnnuu 根值审敛法根值审敛法limnnn

7、u 1 收收 敛敛发发 散散1 不确定不确定 比较审敛法比较审敛法用其它法判用其它法判别别 性质法性质法定义法定义法1 正项级数审敛程序：正项级数审敛程序：注意：注意：比值法比值法主要适应于通项中含主要适应于通项中含 之之积积的级数的级数.!,nnn na根值法根值法主要适应于通项中含主要适应于通项中含 的级数的级数.,nnna第7页/共50页11(1);ln(1)nn 解解: (1)ln(1),nn 11ln(1)nn 11nn 发发散散，故原级数发散故原级数发散 .lln(1)lim11nnn 1limln(1)nnn 另解另解: (1)111nn 发散发散 , 故原级数发散故原级数发散

8、.例例1.判别级数的敛散性判别级数的敛散性:第8页/共50页11(2).nnnn 解解(2)limn 1limnnn 1 11nn 发散发散 , 故原级数发散故原级数发散 .1nnn 1nlim1;lim1(0)nnnnnaa请请熟熟记记：21(3)sin2nnn 1limnnnuu 21 nnnnn22)1(lim12 故该级数故该级数收敛收敛.nnnnn2sin2sin) 1(lim212 1. 解解(3)第9页/共50页2( 1)(2) 1nnnn 例例2.判别下列级数判别下列级数的敛散性的敛散性,是绝对收敛还是条件收敛？是绝对收敛还是条件收敛？2111(1) ( 1)(1)2nnnnn

9、 解解(1)211 lim( 1)(1)2nnnnnn 211lim(1)2nnnnn12e11lim(1)2nnn所以所以原级数原级数发散发散.11lim(1)2nnn nnn 解解(2)21nnn 1)先考察先考察 的敛散性的敛散性 limn由由于于limnn 1nn 11n 21nnn 发发散散. .第10页/共50页又由又由于于2)1(2)1()1()( xxxxxxf)2(0 x( )2,),1xf xx 故故函函数数在在上上单单调调递递减减1nnuu 原级数收敛原级数收敛，是条件收敛，是条件收敛.( ) (2)1xf xxx 设设1nnun 2( 1)(2) 1nnnn 2( 1)

10、2).1nnnn 用用莱莱布布尼尼兹兹审审敛敛法法考考察察交交错错级级数数的的敛敛散散性性limlim1nnnnun 0. 第11页/共50页设设正项正项级数级数1nnu 收敛收敛, 证明证明21nnu 收敛收敛 .证明证明:2limnnnuulimnnu 0 由比较判敛法可知由比较判敛法可知21nnu 收敛收敛 .注意注意:反之不一定成立反之不一定成立.例如例如,211nn 收敛收敛 ,11nn 发散发散 .1nnu 由由已已知知收收敛敛lim0nnu211nnnnuu正正项项级级数数收收敛敛收收敛敛. .第12页/共50页21 40,.nnnaa 已已知知级级数数收收敛敛，且且例例1.nn

11、an 证证明明：级级数数也也收收敛敛证明：证明：收收敛敛，又又收收敛敛， 12121nnnna, 012, 0)1(222 nnaanannn即即22120nanann .)1(1122收收敛敛所所以以收收敛敛，由由于于 nnnnnana练习题练习题212nnaann提提示示：11.nnnnaan 设设是是收收敛敛的的正正项项级级数数，证证明明也也收收敛敛第13页/共50页2nnnaap ，2nnnaaq ，1,2,n ，1nna 11nnnnpq 与与1. 03数三，数三，4分分设设则下列命题正确的是则下列命题正确的是( )条件收敛，则条件收敛，则绝对收敛，则绝对收敛，则条件收敛，则条件收敛

12、，则敛散性都不定敛散性都不定.绝对收敛，则绝对收敛，则(A) 若若(B) 若若(C) 若若(D) 若若都收敛都收敛.1nna 11nnnnpq 与与都收敛都收敛.1nna 11nnnnpq 与与1nna 敛散性都不定敛散性都不定.11nnnnpq 与与B第14页/共50页1nna 1( 1)nnna 11nnna a 112nnnaa 2.06数一数一,数三数三,4分分 若级数若级数收敛，则级数收敛，则级数( )收敛收敛 . 收敛收敛.收敛收敛. 收敛收敛. 1nna ( A ) ( B )( C )( D ) D 1( 1)nnan ，1( 1),nnan .提提示示：用用排排除除法法.AB

13、排排除除，.C排排除除11 .nnnnuu收收敛敛收收敛敛性质性质3.在级数前面加上或去掉在级数前面加上或去掉有限项有限项, 不会影响级数不会影响级数的敛散性的敛散性.111.nnnnuu 若若收收敛敛收收敛敛第15页/共50页(A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4).21211().nnnnnuuu 若若收收敛敛，则则收收敛敛3. 04数三、数三、4分分 设有下列命题：设有下列命题：(2) 11lim1.nnnnnuuu 若若，则则发发散散111().nnnnnnnuvuv 若若收收敛敛，则则，都都收收敛敛(3) (4) (1) 1

14、00011.nnnnuu 若若收收敛敛，则则收收敛敛则以上命题中正确的是则以上命题中正确的是( )B 收敛收敛加括号后加括号后收敛收敛.2121234561()()()()nnnuuuuuuuu 提提示示：第16页/共50页4.()nu设设是是数数列列, ,则则下下列列命命题题正正确确的的是是(11年数学三年数学三)21211212112121121211( )()( )();( )()()()nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnAuuuBuuuCuuuDuuu 若若收收敛敛， 则则收收敛敛；若若收收敛敛， 则则收收敛敛若若收收敛敛， 则则收收敛敛；若若收收敛敛， 则则收收敛敛. .A1,

15、nDu 排排除除 ( 1),;nnunC ：排排除除 提提示示性质：性质：收敛级数收敛级数加括号后所成的级数加括号后所成的级数仍然收敛；仍然收敛；发散级数去括号后发散级数去括号后所成的级数所成的级数仍发散仍发散.第17页/共50页,lim0,()5.nnnnaba 设设由由两两个个数数列列若若则则1111( ),( ),nnnnnnnnnnAba bBba b当当收收敛敛时时收收敛敛，当当发发散散时时发发散散22221111( ),(),.nnnnnnnnnnCba bDba b当当收收敛敛时时收收敛敛，当当发发散散时时发发散散C(09数学一数学一)有相同的敛散性；有相同的敛散性；0(1)l

16、当当时时, ,(2)0l 当当时时, ,(3)l 当当时时, ,1nnu 则则收收敛敛；lim,nnnulv 若若则则,都是都是正项级数正项级数11nnnnuv 设设与与1.nnu 则则发发散散1nnv 若若发发散散，1nnv 若若收收敛敛，11nnnnuv 与与第18页/共50页6. 级数的部分和数列有界是级数收敛的级数的部分和数列有界是级数收敛的( )条件条件(A)充分充分; (B)必要必要; (C) 充要充要; (D)既不充分也不必要既不充分也不必要.Blimnns 存存在在 ns数数列列有有极极限限 ns数数列列有有界界. .1nnu 收收敛敛定理定理1正项级数正项级数收敛收敛部分和部

17、分和所成的数所成的数列列有界有界.ns11(),.()|,()|,()| |,(7.)nnnnnnnnnnnnbaAabB abCabD ab 设设级级数数发发散散，且且则则级级数数必必发发散散B1 nnu 1nnu 11 nnnnuu 发发散散发发散散第19页/共50页定理定理1(阿贝尔阿贝尔Abel定理定理)(1)如果级数如果级数0nnna x 在在) 0(00 xxx处处收敛，收敛， 则它在开区则它在开区间间内的一切内的一切x处处绝对收敛绝对收敛.00(,)xx (2)如果级数如果级数0nnna x 在在0 xx 处处发散，发散， 则它在开区间则它在开区间00(,)(,)xx 内的一切内

18、的一切x处处发发散散.如果幂级数如果幂级数的所有系数的所有系数 0nnnxa，0 na定理定理2. 是它的相邻两项的系数且满足：是它的相邻两项的系数且满足：1,nnaa 1lim,nnnaa (lim)nnna 或或1R 二、二、求幂级数收敛域的方法求幂级数收敛域的方法x R Rox R Ro第20页/共50页1.幂级数中奇偶项齐全幂级数中奇偶项齐全0(,)nnna x 不不缺缺项项时时用公式求用公式求R.11 (limlim)nnnnnnaRaa 或或2.不满足定理不满足定理2条件的级数条件的级数(缺项缺项)这时这时不能用以上公式求不能用以上公式求R.应该根据收敛半径的定义用直接法求应该根据

19、收敛半径的定义用直接法求R. 012nnnxa如：如：， 00)(nnnxxa3.若级数为若级数为则则应用代换法，应用代换法，.0 xxt 令令先求收敛半径先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性再讨论端点的收敛性 .求收敛域的方法求收敛域的方法:第21页/共50页211(1).nnnxn 求求的的收收敛敛域域例例1. 解：解：21(1)nnan ，limnnna 1(1li)mnnn e1Re 1,xe 当当时时2111(1),nnnne 级级数数为为由由于于它它的的一一般般项项2211ln(1)211(1)0,nnnnneene 该级数该级数发散发散.1,xe 同同理理: :当当时时2111(

20、 1) (1)nnnnne 级级数数0的的一一般般项项也也不不趋趋于于 ，故所给级数的故所给级数的收敛域收敛域为为11().ee ，此时该级数此时该级数发散发散.第22页/共50页21.2nnnnx 求求的的收收敛敛域域1( )lim( )nnnuxux 解解: 因因2(1)112nnnx 22x 22nnnx21,2x 当当22x 即即时时，级数绝对收敛级数绝对收敛;limn 21,2x 当当2,2xx 即即时时，级数发散级数发散;2,x 当当时时故收敛域为：故收敛域为：(2 ,2 ). 一般项一般项nun 不趋于不趋于0, 级数发散级数发散; 例例2. 第23页/共50页21.2nnnnx

21、 求求的的收收敛敛域域例例2. 另解：另解：22xt 设设，则级数为则级数为1nnnt ，nan ，1limnnnaa 1limnnn 1,11R ，1,t 即即当当时时11( 1);nnnnn 级级数数与与级级数数都都发发散散1( 1,1)nnnt 则则级级数数的的收收敛敛域域为为，2,2tx 2211,x (2,2). 则则原原级级数数的的收收敛敛域域为为：第24页/共50页0(3) .nnnax 则则幂幂级级数数的的收收敛敛域域为为练习几个选择题练习几个选择题02().3.2.(11).( 2).nnnnnnnnnnna xxAaBaCaDa 若若幂幂级级数数在在点点收收敛敛，则则必必发

22、发散散必必绝绝对对收收敛敛必必绝绝对对收收敛敛必必条条件件收收敛敛C1()212(.1)nnnaxxx 若若在在处处收收敛敛，则则此此级级数数在在处处B11(1)1 nnnnnntxaxta 记记，则则0(2).043nnnaxxx 已已知知幂幂级级数数在在处处收收敛敛, ,在在处处发发散散, ,(1, 5(08数学一数学一).ABCD条条件件收收敛敛绝绝对对收收敛敛 发发散散收收敛敛性性不不确确定定第25页/共50页1.求部分和式的极限求部分和式的极限;求和求和3.逐项求导或求积分法逐项求导或求积分法 逐项求导或求积分逐项求导或求积分0nnna x *( )Sx对和式积分或求导对和式积分或求

23、导( )S x难难2.初等变换法初等变换法: 分解、变量代换后套用公式分解、变量代换后套用公式;（在收敛区间内）（在收敛区间内）.0nnna x 幂级数幂级数已知和函数的已知和函数的新级数新级数转化转化三、幂级数和函数的求法三、幂级数和函数的求法( )lim( )nnS xS x 第26页/共50页请熟记：请熟记：常用函数的幂级数展开式常用函数的幂级数展开式(3) ln(1)x 1(1) 1x (4) xe (5) sin x (6) cos x 1(2) 1x 0,( 1,1)nnxx 0( 1),( 1,1)nnnxx 10( 1),( 1,11nnnxxn 01!,(,)nnnxx 21

24、01(21)!( 1),(,)nnnnxx 201(2 )!( 1),(,)nnnnxx 第27页/共50页121(.1)211nnnxn 求求的的收收敛敛域域及及和和函函数数例例2010数一数一121( 1)21( )nnnxS xn 解：解：1121( 1)21nnnxnx 12021( 1)dnnnxxxx 10122( 1)d xnnnxxx arctan .xx 11x 2(1)12( 1)21lim21( 1)nnnnnxnnx 1x 可可以以判判断断时时级级数数收收敛敛， 1,1. 则则收收敛敛域域为为201d1xxxx 2x 2211xx 时时级级数数绝绝对对收收敛敛，时时级级

25、数数发发散散. .第28页/共50页例例2. 求幂级数求幂级数2101( 1).(21) !nnnnxn 的的和和函函数数解法解法1: 易求出级数的收敛域为易求出级数的收敛域为(,) 2201( 1)()(21 !1)2nnnxn 原原式式2101( 1)2(21)!nnnxn x1(sin )2xx 1sincos,22xxx (,)x 110()d1nnnxnnxxxxxn 2201( 1)(212!1)nnnxn 2101(21)!sin( 1),(,)nnnnxxx 第29页/共50页例例2. 求幂级数求幂级数2101( 1).(21) !nnnnxn 的的和和函函数数解法解法2: 易

26、求出级数的收敛域为易求出级数的收敛域为(,) 2101( )=( 1)(21) !nnnnS xxn 设设，则则210001( )d( 1)d(21)!xxnnnnS xxxxn 220( 1)(21)!nnnxn 12210( 1)2(21)!nnnxxn sin2xx (sin1( )sincos)2,22xxxS xxx (,)x 0( )(0)( )dxf xffxx 0()()d )xfxfxx 第30页/共50页求常数项级数的和求常数项级数的和法法1:利用级数和的定义求利用级数和的定义求lim.nnSS 法法2:阿贝尔法阿贝尔法(构造幂级数构造幂级数,用幂级数的和函数求用幂级数的和

27、函数求)1)欲求欲求 的和的和1nna 构造幂级数构造幂级数1nnna x 求出它的和函数求出它的和函数S(x)所求为所求为S(1)2)欲求欲求 的和的和1nnna b 构造幂级数构造幂级数1nnna x 求出它的和函数求出它的和函数S(x)所求为所求为S(x)=S(b)第31页/共50页1)21(nnxxxx 121.23.nnn 求求项项级级数数例例数数的的和和解：解：1(21),nnnx 考考虑虑级级数数1limnnnaRa 1( 1,1) 收收敛敛区区间间为为1( )(21)nnns xx 则则112nnnnnxx 1121nnxxnxx 12()1nnxxxx 1( )2s所所求求是

28、是2 ()11xxxxx 22. ( 11)(1)1xxxxx 1212nnn 故故1( )2s 3.1()nnnxx 第32页/共50页说明：说明：构造的幂级数是不唯一的构造的幂级数是不唯一的.如如121.2nnn 求求数数项项级级数数的的和和还可构造幂级数：还可构造幂级数：22112121,.22nnnnnnnnxx 等等原则是所构造的幂级数的和函数容易求出原则是所构造的幂级数的和函数容易求出.22121( )2nnnns xx 设设2111()2nnnx 211()2nnnx 221212xxx 211()2nnnx 211() 2nnxx 2()2xx 22 22.(2)xx 1212

29、nnn 故故(1)s 3.第33页/共50页四、函数的幂级数展开法四、函数的幂级数展开法展开方法展开方法直接展开法直接展开法 利用泰勒公式利用泰勒公式间接展开法间接展开法 利用已知其级数展开式的函数展开利用已知其级数展开式的函数展开1. 直接展开法直接展开法( )f x函函数数展展开开成成幂幂级级数数的的步步骤骤如如下下：第一第一步步第三步第三步 判别在收敛区间判别在收敛区间(R, R) 内内lim( )nnRx是否是否为为0. ( )( )00()(),(1,2,3,);!nnnfxfxann并并写写出出第二步第二步 写出泰勒级数写出泰勒级数( )000()()!nnnfxxxn lim(

30、)0nnRx 若若，( )000()( )() .!nnnfxf xxxn 并求出其并求出其收敛半径收敛半径 R ; 第34页/共50页幂级数的运算性质幂级数的运算性质)函数函数已知展开式的已知展开式的新函数新函数转化转化将所给函数展开成幂级数将所给函数展开成幂级数. 经验：经验： 1)有理函数有理函数转化转化1111xx 或或2)指数函数指数函数转化转化xe3)对数函数对数函数转化转化ln(1)x 4)三角函数三角函数转化转化sincosxx或或5)反三角函数：反三角函数： 先求导化为有理函数，再积分先求导化为有理函数，再积分第35页/共50页例例1. 设设( )f x 21arctan,0

31、 xxxx 1,0 x , 将将 f (x)展开成展开成x 的幂级数的幂级数 ,21( 1)14nnn 的和的和. ( 01考研考研 )解解:211x 20( 1),nnnx ( 1,1)x arctanarctan0 x 201d1xxx 210( 1),21nnnxn ( )f x于是于是并求级数并求级数22101( 1)21nnnxxxn 1,0)(0,1x 22200( 1)( 1)2121nnnnnnxxnn 0( )(0)( )dxf xffxx 210( 1)arctan,21nnnxxn 1,1x 第36页/共50页21( 1)121nnnxn 220( 1)21nnnxn 2

32、1( 1)121nnnxn 121( 1)21nnnxn 21111( 1)2121nnnxnn 221( 1)12,14nnnxn 1,0)(0,1x 21( 1)14nnn 1 (1)12f142 ( )f x 21arctan,0 xxxx 1,0 x 22200( 1)( 1)( )2121nnnnnnf xxxnn 第37页/共50页( )0000()( )() !() nnnnnnnffxf xc xxxcncn 若若( )( )ln(12 ) ,(0)2.nf xxf 求求例例 设设解：解：ln(12 ) ln 1(2 )(xf xx 112nnnxn ( )2 ( !)(0)(

33、 !)nnnnfc nn 11()22x 10( 1) ( 2 ),( 121)1nnnxxn 10( 1) ln(1),( 1,11nnnxxxn 110121nnnxn (2010数数2)2 (1)!nn 第38页/共50页2( )( )ln(2) ,(1 .3).nf xxxf 求求例例 设设解：解：22ln(2) ln 1( )(1) xxf xx 211(1)nnxn (2 )2(2 )!(1)(2 )!nnnfcnn (02)x (21)(1)0 (21)!0nfn 210( 1) (1) ,( 111)1nnnxxn 10( 1) ln(1),( 1,11nnnxxxn 2(1)

34、01(1)1nnxn ( )0000()( )() !() nnnnnnnffxf xc xxxcncn 若若第39页/共50页2. ( )f x 的的傅傅里里叶叶级级数数10(cossin)2nnnaabnxnx ( ) f x1.2( )f x 周周期期为为的的函函数数的的傅傅里里叶叶系系数数. .1( )cosd(0,1,)naf xnxxn 1( )sind(1, 2,)nbf xnxxn 3.收敛定理：收敛定理：周期为周期为2 的函数的函数f (x)， 若满足若满足狄利克雷狄利克雷充分充分条件条件01( )(cossin)2nnnaf xanxbnx ( )xf x 的的连连续续点点

35、()()( ).2f xf xs x x 为为f (x)的间断点，的间断点，五、函数的傅里叶级数展开法五、函数的傅里叶级数展开法第40页/共50页(1) S(x)与与 f (x)的的定义域为定义域为(2) S(x)与与f (x)的的周期性相同且周期相等周期性相同且周期相等. x 为为f (x)的连续点时的连续点时( )( )S xf x (3)S(x)与与f (x)的的奇偶性相同奇偶性相同.(,), 对定义域为对定义域为R的周期为的周期为2 的函数的函数f (x)01(cossin)2nnnaanxbnx ( )2.f x 称称为为的的以以为为周周期期的的傅傅里里叶叶级级数数的的傅傅里里叶叶级

36、级数数: :( )2f x 的的以以为为周周期期的的傅傅氏氏级级数数的和函数的和函数 S(x)与与f (x)的的关系：关系：第41页/共50页设周期为设周期为2l 的周期函数的周期函数 f (x)满足收敛定理条件满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式则它的傅里叶展开式为为01( )(cossin)2nnnan xn xf xabll (在在 f (x) 的连续点处的连续点处)1( )cosdlnlnxaf xxll 1( )sindlnlnxbf xxll 其中其中定理定理.(0,1, 2,)n (1, 2,)n 周期为周期为2l的函数的函数f (x)傅里叶级数展开法傅里叶级数展开法4.正弦级数

37、和余弦级数正弦级数和余弦级数(1)奇函数奇函数f (x)的傅氏级数称为正弦级数的傅氏级数称为正弦级数.(2)偶函数偶函数f (x)的傅氏级数称为余弦级数的傅氏级数称为余弦级数.第42页/共50页作法作法:(22 )( )( )( )( )TtlF xffFxxxx 周周期期延延拓拓或或，的的连连续续点点的的定定义义域域1)对于非周期函数对于非周期函数,如果函数如果函数 只在区间只在区间 上有定义上有定义,并且满足狄氏充分条件并且满足狄氏充分条件,也可展也可展开成傅氏级数开成傅氏级数.)(xf, ,(, )l ll l, , ), 5.对于非周期函数对于非周期函数方法：方法： 作作奇奇周期周期延

38、拓延拓 , 展开为正弦级数展开为正弦级数 作作偶偶周期周期延拓延拓 , 展开为余弦级数展开为余弦级数2)对于非周期函数对于非周期函数,如果函数如果函数 只在区间只在区间 上有定义上有定义,并且满足狄氏充分条件并且满足狄氏充分条件,也可也可展开成傅氏级数展开成傅氏级数.)(xf,0)(0, 或或0, ),0, ,0)lll 第43页/共50页21, 0 ( ),211,.0 xf xxx 设设函函例例数数则则其其以以为为周周期期的的x 傅傅里里叶叶级级数数在在点点处处收收敛敛于于_ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .x yO-2-23-3-121+解解:,x 是是区区间间的的端端点点, ,由由收收敛敛性性定定理理知知x 该该级级数数在在处处收收敛敛于于+1 (