梯的定义PPT课件

1、 2.1 2.1 二次型与正定矩阵二次型与正定矩阵二次型与实对称矩阵二次型与实对称矩阵 二次型理论问题起源于二次型理论问题起源于化二次曲面的方程化二次曲面的方程为标准形式的问题为标准形式的问题第1页/共50页 1 1、二次型、二次型 二次型的定义为 11nnijijijfh z zzz Hz第2页/共50页 2 2、正定与负定、正定与负定 如果对于任意非零向量如果对于任意非零向量 z z ，总有，总有 f f (z) 0(z) 0，则称二次型，则称二次型 f f (z) (z) 正定，等价正定，等价地，也称矩阵地，也称矩阵 H H 正定。正定。 如果对于任意非零向量如果对于任意非零向量 z z

2、，总有，总有 f f (z) 0(z) 0 0，k k = 1,= 1, ,n n，则，则 H H 为为正定矩阵。正定矩阵。 如果所有的顺序主子式的行列式的符号正负交替，即对如果所有的顺序主子式的行列式的符号正负交替，即对 k k = 1,= 1, ,n n，d dk k 与与 (-(-1)1)k k 的符号相同（或者说的符号相同（或者说 (-1)(-1)k k d dk k 0 0 ），则），则 H H 为负定矩阵。为负定矩阵。第6页/共50页 （2 2）、代数余子式）、代数余子式 设行列式中某一元素位于第设行列式中某一元素位于第 i i 行、第行、第 j j 列，若将对应于该元素的子行列式

3、记列，若将对应于该元素的子行列式记为为 A Aij ij ，则称，则称 (-1)(-1)i i+ +j j A Aij ij 为对应于该元素的代数余子式。为对应于该元素的代数余子式。第7页/共50页 （3 3）、行列式的计算）、行列式的计算 定理：定理： 行列式等于它的任意一列（或一行）的各元素与对应于它们的代数余子式的乘行列式等于它的任意一列（或一行）的各元素与对应于它们的代数余子式的乘积之和。积之和。第8页/共50页2.2 2.2 方向导数与梯度方向导数与梯度一一 、问题的提出、问题的提出二、方向导数的定义二、方向导数的定义三、三、 梯度梯度第9页/共50页例子：一块长方形的金属板，四个顶

4、点的坐标例子：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是是(1,1)(1,1)，(5,1)(5,1)，(1,3)(1,3)，(5,3)(5,3)在坐标原点在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在比在(3,2)(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的答案：应沿由热变冷变化最骤问题的答案：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行烈的方向（即梯度方向）爬行一一 问题的提出问

5、题的提出第10页/共50页),(yxp),(yyxxpxyl0 xy方向导数图示方向导数图示 讨论函数讨论函数 在一点在一点P P沿某一方沿某一方向的变化率问题向的变化率问题),(yxfz 第11页/共50页 讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题),(yxfz 引射线引射线内有定义，自点内有定义，自点的某一邻域的某一邻域在点在点设函数设函数lPPUyxPyxfz)(),(),( ).(),(,pUPlyyxxPlx 上的另一点且上的另一点且为为并设并设为为的转角的转角轴正向到射线轴正向到射线设设 oyxlP xyP第12页/共50页 |PP,)()(22yx ),(),(yxfyyxxfz

6、 且且, z 考虑考虑当 沿着 趋于 时，P Pl ),(),(lim0yxfyyxxf 是否存在？的方向导数的方向导数沿方向沿方向则称这极限为函数在点则称这极限为函数在点在，在，时，如果此比的极限存时，如果此比的极限存趋于趋于沿着沿着当当之比值，之比值，两点间的距离两点间的距离与与函数的增量函数的增量定义定义lPPlPyxPPyxfyyxxf 22)()(),(),( 第13页/共50页记为.),(),(lim0 yxfyyxxflf 第14页/共50页3R中xOyz.P0P|PP|)(P(P)lim00PP0ffl0l沿)(xf0l方向的方向导数)(Xfz .第15页/共50页二、方向导数

7、的定义 设函数)(Xfu 在)U(0X内有定义。若点 )U(0XX 沿射线 l 趋于0X时,极限|)()(lim000XXXfXfXX存在，则称该极限值为函数)(Xf在点0X处沿 l 方向的方向导数。记为第16页/共50页0XXlz|)()(lim000XXXfXfXX或)(0Xfl第17页/共50页 利用直线方程可将方向导数的定义tXfe tXflut)()(lim000表示为:射线射线 l 的方程为的方程为pzznyymxx000t则则cos0txxcos0tyycos0tzz故故etXX0)cos,cos,(cosecoscoscos000zzyyxx第18页/共50页 怎么计算方向导数

8、？怎么计算方向导数？第19页/共50页定理定理(方向导数计算公式)若函数),(zyxfu 在点),(000zyx处可微， 则函数)(Xf在点),(000zyx处沿任一方向)cos,cos,(cos0l的方向导数存在，且lu其中, 各导数均为在点),(000zyx处的值.cosxucosyucoszu第20页/共50页运用向量的数量积，可将方向导数计算公式表示为：lucosxucosyucoszuzuyuxu,eu grad其中，ugrad)cos,cos,(cose称为梯度第21页/共50页0XXl0l),(0000zyxX),(zyxX|cos00XXxx|cos00XXyy|cos00XX

9、zz|)o(|)()(00XXzzuyyuxxuXfXf看看三维空间的情形第22页/共50页设xyzu , 求函数在点)2,2, 1P(沿方向kjil22的方向导数。解;4PPyxxu;2PPxzyu.2PPxyzu,31cos,32cos.32coslucosxucosyucoszu例例第23页/共50页由点),P(yx到坐标原点的距离定义的函数22yxz在坐标原点处的两个偏导数均不存在，但它在该点沿任何方向的方向导数均存在，且方向导数值都等于1：10lim222200)0, 0(yxyxlzyx想一想，该例给你什么启示想一想，该例给你什么启示函数可微是方向导数存在的充分条件，而不是必要条件

10、。方向导数存在时，偏导数不一定存在。 例例第24页/共50页一个问题：),()(zyxfXfu在给定点0X沿什么方向增加得最快？该问题仅在zuyuxu,不同时为零才有意义。可微函数三、 梯度第25页/共50页eulugrad由前面的推导，有),gradcos(|grad|eueu现在正式给出现在正式给出的定义uegradprjgrad u),gradcos(|grad|euu由此可得出什么结论？由此可得出什么结论？ 方向导数等于梯度在此方向上的投影第26页/共50页定义定义设,3R, )()(1CXfu,0X则称向量ixXf)(0为函数)(Xf在点0X处的梯度，记为)(grad0Xf或。)(0

11、XfjyXf)(0kzXf)(0第27页/共50页几何意义几何意义等高线等高线梯度与等高线的关系梯度与等高线的关系第28页/共50页等高线的画法第29页/共50页二维情形 等高线（等值线） )(21xxft，ct LLc, -随着常数 的不同的取法 得到一簇曲线等高线等高线的形状完全由曲面所决定;由等高线的形状可推测曲面形状.第30页/共50页 例 用图解法求解二维最优化问题2212221212min(2)(2) 1. .00 xxxxs txx，D D在约束集合 中寻找某点,使该点能落在半径最小的同心圆上或 在中寻找某点到圆心最近第31页/共50页梯度与等高线的关系：梯度与等高线的关系：向导

12、数向导数的方的方于函数在这个法线方向于函数在这个法线方向模等模等高的等高线，而梯度的高的等高线，而梯度的值较值较值较低的等高线指向数值较低的等高线指向数从数从数线的一个方向相同，且线的一个方向相同，且在这点的法在这点的法高线高线的等的等的梯度的方向与点的梯度的方向与点在点在点函数函数cyxfPyxPyxfz ),(),(),(第32页/共50页),(yxfz 如：在几何上 表示一个曲面曲面被平面 所截得cz ,),( czyxfz所得曲线在xoy面上投影如图oyx1),(cyxf2),(cyxfPcyxf),(),(yxgradf梯度为等高线上的法向量等高线第33页/共50页sin,cos,

13、yfxf sincosyfxflf eyxgradf ),(,cos| ),(| yxgradf 其中其中),(,eyxgradf 当当1),(cos( eyxgradf时，时，lf 有有最最大大值值. 函数在某点的梯度是这样一个向量，它的函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为而它的模为方向导数的最大值梯度的模为方向导数的最大值梯度的模为 22| ),(| yfxfyxgradf.gradfgradf P第34页/共50页方向导数计算公式表示为：lfcosxfcosyfcoszfzfyfxf,exf)(其中，)(grad

14、xff)cos,cos,(cose称为梯度梯度与方向导数的关系梯度与方向导数的关系第35页/共50页lfexf)(当当e取为任意取为任意P方向时方向时P的方向是函数在点的方向是函数在点X0的的下降下降方向方向梯度与方向导数的关系梯度与方向导数的关系0)(Pxf0)(PxfP的方向是函数在点的方向是函数在点X0的的上升上升方向方向由方向导数的计算公式知：由方向导数的计算公式知：第36页/共50页梯度与方向导数的关系梯度与方向导数的关系梯度方向是函数值的最速上升方向梯度方向是函数值的最速上升方向函数在与梯度正交的方向上变化率为零；函数在与梯度正交的方向上变化率为零；函数在与梯度成锐角的方向上是上升

15、的；而函数在与梯度成锐角的方向上是上升的；而在与其梯度成钝角的方向上是下降的；在与其梯度成钝角的方向上是下降的；oyx1),(cyxf2),(cyxf0 xcyxf),()(0 xf梯度为等高线上的法向量下降方向)(0 xf上升方向第37页/共50页 梯度的方向与取得最大方向导数导方向一致，而它的模就是函数在该点的方向导数的最大值。以上结论可以推广到二元和三元以上的函数中。 梯度的方向与取得最大方向导数导方向一致，而它的模就是函数在该点的方向导数的最大值。以上结论可以推广到二元和三元以上的函数中。梯度与方向导数的关系梯度与方向导数的关系第38页/共50页类似地类似地, ,设曲面设曲面czyxf

16、 ),(为函数为函数),(zyxfu 的等量面，此函数在点的等量面，此函数在点),(zyxP的梯度的方向的梯度的方向与与过点过点P P的等量面的等量面czyxf ),(在这点的法线在这点的法线的一的一个方向相同，且从数值较低的等量面指向个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较数值较高的等量面，而梯度的模等于函数在这高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方个法线方向的方向导数向的方向导数. . 第39页/共50页设,52zxyzu求,gradu并求在点)1, 1,0(M处方向导数的最大(小)值。解,yzxu,xzyu,2zxyzu)2,0, 1(从而例例1第40页/共50页例例 2 2 求函

17、数求函数 yxzyxu2332222 在点在点 ) 2 , 1 , 1 (处的梯度，并问在处的梯度，并问在 哪些点处梯度为零向量哪些点处梯度为零向量 解解由梯度计算公式得由梯度计算公式得 ),(kzujyuixuzyxugrad , 6 )24( )32(kzjyix 故故. 12 2 5)2 , 1 , 1( kjiugrad 在在)0 ,21 ,23(0 P处梯度为零向量处梯度为零向量. . 第41页/共50页1 1 求函数求函数yxez2 在点在点)0 , 1(P处沿从点处沿从点 )0 , 1(P到点到点)1, 2( Q的方向的方向导数的方向的方向导数. 解解故故x轴到方向轴到方向l的转

18、角的转角4 .这这里里方方向向l即即为为1, 1 PQ,; 1)0, 1(2)0, 1( yexz, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz所求方向导数所求方向导数)4sin(2)4cos( lz课堂练习课堂练习第42页/共50页2 2 求函数求函数22),(yxyxyxf 在点（在点（1，1）沿）沿与与x轴方向夹角为轴方向夹角为 的方向射线的方向射线l的方向导数的方向导数.并问并问在怎样的方向上此方向导在怎样的方向上此方向导 数有数有 （1）最大值；）最大值； （2）最小值；）最小值； （3）等于零？）等于零？ 第43页/共50页解解由方向导数的计算公式知 sin)1 , 1(cos)1

19、 , 1()1 , 1(yxfflf ,sin)2(cos)2()1 , 1()1 , 1( xyyx sincos),4sin(2 故（1）当）当4 时，时，方方向向导导数数达达到到最最大大值值2;（2）当当45 时时，方方向向导导数数达达到到最最小小值值2 ;（3）当）当43 和和47 时，时，方向导数等于方向导数等于 0.第44页/共50页作业：作业：45： 1.2.3.4.5第45页/共50页练练 习习 题题一、一、 填空题填空题: :1 1、 函数函数22yxz 在点在点)2 , 1(处沿从点处沿从点)2 , 1(到点到点 )32 , 2( 的方向的方向导数为的方向的方向导数为_._.2 2、 设设xyzyxzyxf 22232),(zyx623 , , 则则 )0 , 0 , 0(gradf_._.3 3、 已知场已知场,),(222222czbyaxzyxu 沿沿则则u场的梯度场的梯度方向的方向导数是方向的方向导数是_._.4 4、 称向量场称向量场a为有势场为有势场, ,是指向量是指向量a与某个函数与某个函数 ),(zyxu的梯度有关系的梯度有关系_._.第4