弧长的公式、扇形面积公式、圆锥、圆柱、弓形面公式及其应用、四棱台体积公式

1、1 / 10 本讲教育信息 一. 教学内容：弧长与扇形的面积圆锥的侧面积二. 教学要求1、了解弧长计算公式与扇形面积计算公式，并会运用公式解决具体问题。2、了解圆锥的侧面积公式，并会应用公式解决问题。三. 重点与难点重点：1、弧长的公式、扇形面积公式与其应用。2、圆锥的侧面积展开图与圆锥的侧面积、全面积的计算。难点：1、弧长公式、扇形面积公式的推导。2、圆锥的侧面积、全面积的计算。知识要点知识点 1、弧长公式因为 360 的圆心角所对的弧长就是圆周长c2r，所以 1的圆心角所对的弧长是，于是可得半径为r 的圆中， n 的圆心角所对的弧长l 的计算公式：，说明： （1）在弧长公式中，n 表示 1

2、的圆心角的倍数，n 和 180 都不带单位“度”，例如，圆的半径r 10 ，计算 20 的圆心角所对的弧长l 时，不要错写成。（2）在弧长公式中，已知l，n， r 中的任意两个量，都可以求出第三个量。知识点 2、扇形的面积如图所示， 阴影部分的面积就是半径为r，圆心角为n 的扇形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360 的扇形面积等于圆面积，所以圆心角为1的扇形面积是，由此得圆心角为n的扇形面积的计算公式是。又因为扇形的弧长，扇形面积，所以又得到扇形面积的另一个计算公式：。知识点 3、弓形的面积（1）弓形的定义：由弦与其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形

3、。（2）弓形的周长弦长弧长（3）弓形的面积如图所示， 每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把扇形 oamb的面积和 aob 的面积计算出来，就可以得到弓形amb 的面积。当弓形所含的弧是劣弧时，如图1 所示，2 / 10 当弓形所含的弧是优弧时，如图2 所示，当弓形所含的弧是半圆时，如图3 所示，例：如图所示，o 的半径为2， abc 45 ，则图中阴影部分的面积是（）（结果用表示）分析：由图可知由圆周角定理可知abc aoc ，所以 aoc 2abc 90 ，所以 oac 是直角三角形，所以，所以注意：（ 1）圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。圆周长弧长圆

4、面积扇形面积公式（2）扇形与弓形的联系与区别（2）扇形与弓形的联系与区别图示面积知识点 4、圆锥的侧面积圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r ，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2，圆锥的侧面积，圆锥的全面积说明：（ 1）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。（2）研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。或知识点 4、如果用 r 来表示底面半径， l 表示圆锥的母线，n表示圆锥侧面扇形的圆心角的度数，则底面周长为 2 r, 所以扇形的弧线长度也为2 r ，而弧线长度 （扇形所占圆周长）

5、就等于 n 360 . 扇形所占圆是以以母线 l 为半径的， 所以它的周长为 2 r ，得出3 / 10 n 360 = 2 r 2 l = rl r l 就是弧线长度与扇形所占圆周长之比，也就是扇形与扇形所占圆的面积之比。所以，只需求出扇形所占圆的面积再乘以rl 便可以得出扇形的面积。而扇形所占圆的面积为 l2 ，即可得出：s 侧 = l2 r l = rl向前再推一步，又得出扇形面积的计算公式：s 侧 = rl=1/2 2 r l = 1/2底面弧线长 母线长由此推导出圆锥侧面扇形面积等于 rl ，等于 314 乘以底面半径再乘以母线即可。圆锥的表面积为侧面积加底面积，又为：4 / 10

6、s 表 = s 侧s 底= rl r2= rl r r= r(lr) 知识点 5、圆柱的侧面积圆柱的侧面积展开图是矩形，如图所示，其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长，若圆柱的底面半径为r，高为 h，则圆柱的侧面积，圆柱的全面积知识小结：圆锥与圆柱的比较名称圆锥圆柱图形图形的形成过程由一个直角三角形旋转得到的，如 rt soa 绕直线 so旋转一周。由 一 个 矩 形 旋 转 得 到 的 ， 如 矩 形abcd绕直线 ab 旋转一周。图形的组成一个底面和一个侧面两个底面和一个侧面侧面展开图的特征扇形矩形面积计算方法典型例题 5 / 10 例 1. （2003.xx）如图所示，在同心圆中，两

7、圆的半径分别为2，1，aob 120 ，则阴影部分的面积是（）a. b. c. d. 分析： 阴影部分所在的两个扇形的圆心角为，所以故答案为： b. 例 2. （2004 xx ）如图所示，点c 在以 ab 为直径的半圆上，连接ac ，bc ，ab 10 厘米， tan bac ，求阴影部分的面积。分析： 本题考查的知识点有：（1）直径所对圆周角为90 ，（ 2）解直角三角形的知识（ 3）组合图形面积的计算。解： 因为 ab 为直径，所以acb 90 ，在 rt abc 中， ab 10 ， tan bac ，而 tan bac 设 bc 3k ，ac 4k ，（ k 不为 0，且为正数）由勾

8、股定理得所以 bc 6，ac 8，而所以例 3. （2003.xx）如图所示，已知扇形aob 的圆心角为直角，正方形ocde内接于扇形 aob ，点 c，e，d 分别在 oa ，ob 与 ab 弧上，过点a 作 af ed 交 ed 的延长线于 f，垂足为 f，如果正方形的边长为1，那么阴影部分的面积为（）分析： 连接 od ，由正方形性质可知eod doc 45 ，在rt oed中， od，因为正方形的边长为1，所以 oe de 1，所以，设两部分阴影的面积中的一部分为m，另一部分为n，则，阴影部分面积可求，但这种方法较麻烦，用割补法解此题较为简单，设一部分空白面积为p，因为 bod doc

9、 ，所以所以 m p，所以答案： 。例 4. 如图所示，直角梯形abcd中， b90 ， ad bc ，ab 2，bc 7，ad 3，以 bc 为轴把直角梯形abcd旋转一周，求所得几何体的表面积。分析： 将直角梯形abcd绕 bc 旋转一周所得的几何体是由一样底面的圆柱和圆锥组成的，所得几何体的表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底面积三者之和。解： 作 dh bc 于 h，所以 dh ab 2 ch bc bh bc ad 734 在 cdh 中，6 / 10 所以例 5. （2003.xx）已知扇形的圆心角为120 ，面积为300 平方厘米（1）求扇形的弧长。（2）若把此扇形卷成一个圆锥

10、，则这个圆锥的轴截面面积是多少？分析： （1）由扇形面积公式，可得扇形半径r，扇形的弧长可由弧长公式求得。（2）由此扇形卷成的圆锥如图所示，这个圆锥的轴截面为等腰三角形abc ，（1）问中求得的弧长是这个圆锥的底面圆周长，而圆周长公式为c2r ，底面圆半径r 即 cd 的长可求， 圆锥的高 ad 可在 rt adc 中求得，所以可求。解： （1）设扇形的半径为r，由，得，解得r30. 所以扇形的弧长（厘米）。（2）如图所示，在等腰三角形abc 中， abac r30 ，bc 2r ，底面圆周长c2r ，因为底面圆周长即为扇形的弧长，所以在 rt adc 中，高 ad 所以轴截面面积（平方厘米）

11、。模拟试题 （答题时间： 40 分钟）一、选择题1. 若一个扇形的圆心角是45 ，面积为2，则这个扇形的半径是（）a. 4 b. 2 c. 47 d. 2 2. 扇形的圆心角是60 ，则扇形的面积是所在图面积的（）a. b. c. d. 3. 扇形的面积等于其半径的平方，则扇形的圆心角是（）a. 90 b. c. d.180 4. 两同心圆的圆心是o，大圆的半径是以oa ，ob 分别交小圆于点m ， n已知大圆半径是小圆半径的3 倍，则扇形oab 的面积是扇形omn 的面积的（）a. 2 倍b. 3倍c. 6 倍d. 9 倍5. 半圆 o 的直径为6cm ， bac 30 ，则阴影部分的面积是

12、（）a. b. c. d. 6 用一个半径长为6cm 的半圆围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径为（）a. 2cm b. 3cm c. 4cm d. 6cm 7. 圆锥的全面积和侧面积之比是3 ：2，这个圆锥的轴截面的顶角是（）a. 30 b. 60 c. 90 d. 120 8. 已知两个母线相等的圆锥的侧面展开图恰好能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为12，则它们的高之比为（）a. 2 ：1 b. 3 ：2 c. 2 ：d. 5 ：9. 如图，在 abc 中， c rt ，ac bc ，若以 ac 为底面圆半径，bc 为高的圆锥的侧面积为s1，以 bc 为底面圆半径，ac 为高的圆锥的侧面

13、积为s2，则（）a. s1s2b. s1 s2c. s1 s2d. s1、s2的大小关系不确定二、填空题7 / 10 1. 扇形的弧长是12 cm ，其圆心角是90 ，则扇形的半径是cm ，扇形的面积是cm2. 2. 扇形的半径是一个圆的半径的3 倍，且扇形面积等于圆面积，则扇形的圆心角是 . 3. 已知扇形面积是12cm2，半径为8cm ，则扇形周长为 . 4 在 abc 中， ab 3，ac 4， a90 ，把 rt abc绕直线 ac 旋转一周得到一个圆锥，其全面积为s1；把 rt abc 绕 ab 旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为s2，则 s1： s2。5. 一个圆柱形容器的底面直径

14、为2cm ， 要用一块圆心角为240 的扇形铁板做一个圆锥形的盖子，做成的盖子要能盖住圆柱形容器，这个扇形的半径至少要有cm 。6. 如图，扇形aob 的圆心角为60 ，半径为6cm ，c，d 分别是的三等分点，则阴影部分的面积是。7. 如图正方形的边长为2，分别以正方形的两个对角顶点为圆心，以2 为半径画弧，则阴影部分面积为。三、计算题1. 如图，在rt abc 中， ac bc ，以 a 为圆心画弧，交ab 于点 d，交 ac 延长线于点 f， 交 bc 于点 e， 若图中两个阴影部分的面积相等，求 ac 与 af 的长度之比 （取3） 。2. 一个等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）的侧面积

15、是s1，另一个圆锥的侧面积是s2，如果圆锥和圆柱等底等高，求3. 圆锥的底面半径是r，母线长是3r ，m 是底面圆周上一点，从点m 拉一根绳子绕圆锥一圈，再回到m 点，求这根绳子的最短长度试题答案 一、选择题1. a 2. b 3. c 4. d 5. b 6. b 7. b 8. c 9. b 二、填空题1、24 144 2、40 3、19cm 4、3：4 5、3 6、2 7、24 三、计算题1、连接 ae ，则，所以8 / 10 2、3、连接展开图的两个端点mm ，即是最短长度。利用等量关系得出mam 120 ， amd 30 ， ad ，四棱台体积计算公式v=h*(a*b+(a+a1)*

16、(b+b1)+a1*b1)/6=h/3(s上底面积 +s 下底面积+开根号 s 上底面积 s 下底面积 ) 体积公式 编辑正四棱台v=h/3s1+s2+ (s1s2) 注：非通用公式 ,（s1是上底的面积，s2是下底的面积）通用公式v=s1 + 4s0 + s2 * h / 6 =h/6 a1b1+a2b2+(a1+a2) (b1+b2) 注：上底面积 s1，下底面积 s2，中截面面积 s0，高 h， 此体积公式多一个参量 s0中截面积 ,它有“万能公式”的美誉。体积公式推导 编辑由相似三角形可得b/h1=a/(h1+h2)，所以 h1=bh2/(a-b). 9 / 10 v 台 = a2(h1+h2)/3 - b2*h1/3 =h1(a2-b2)/3+h2*a2/3 =(a+b)*b*h/3+a2*h/3 =（a2+b2+ab）*h/3 棱台计算公式四棱台的公式是：v=（1/3 ）h （s 上 s 下 s 上 s 下）当是正四棱台时带入上述公式，简化后就是：v=(h/3)(a2+ab+b2)其中 a，b，h 分別为正四棱台的上、下底边与高的大小）挖土方需放坡计算公式现在接触已经有三个了1、 （a+2c+kh） （b+2c+kh）*h+1/3 k2 h3 （k2 ：放坡系数的平方；h3 ：高度三次方）2、h/3(f1+f2+ f1*f2 ）（f1 ：上