高考数学一轮复习第3节 等比数列及其前n项和

1、1 / 16 第第 3 节节 等比数列及其前等比数列及其前 n 项和项和 考试要求 1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.了解等比数列与指数函数的关系. 知 识 梳 理 1.等比数列的概念 (1)如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列. 数学语言表达式：anan1q(n2，q为非零常数). (2)如果三个数 a，g，b成等比数列，那么 g叫做 a与 b的等比中项，其中 g ab. 2.等比数列的通项公式及前 n 项和公式 (1)若等比

2、数列an的首项为 a1，公比是 q，则其通项公式为 ana1qn1； 通项公式的推广：anamqnm. (2)等比数列的前 n 项和公式：当 q1 时，snna1；当 q1 时，sna1（1qn） 1q a1anq1q. 3.等比数列的性质 已知an是等比数列，sn是数列an的前 n项和. (1)若 klmn(k，l，m，nn*)，则有 ak alam an. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 ak， akm，ak2m，仍是等比数列，公比为 qm. (3)当 q1，或 q1 且 n 为奇数时，sn，s2nsn，s3ns2n，仍成等比数列，其公比为 qn. 常用结论与微点提醒 1.

3、若数列an，bn(项数相同)是等比数列，则数列c an(c0)，|an|，a2n，2 / 16 1an，an bn，anbn也是等比数列. 2.由 an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证 a10. 3.在运用等比数列的前 n项和公式时，必须注意对 q1与 q1分类讨论，防止因忽略 q1这一特殊情形而导致解题失误. 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)等比数列公比 q是一个常数，它可以是任意实数.( ) (2)三个数 a，b，c 成等比数列的充要条件是 b2ac.( ) (3)数列an的通项公式是 anan，则其前 n项和为 sna（1an）1

4、a.( ) (4)数列an为等比数列，则 s4，s8s4，s12s8成等比数列.( ) 解析 (1)在等比数列中，q0. (2)若 a0，b0，c0 满足 b2ac，但 a，b，c 不成等比数列. (3)当 a1时，snna. (4)若 a11，q1，则 s40，s8s40，s12s80，不成等比数列. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(老教材必修 5p53t1 改编)已知an是等比数列，a416，公比 q2，则 a1等于( ) a.2 b.2 c.12 d.12 解析 由题意，得 a4a1q38a116，解得 a12. 答案 a 3.(老教材必修 5p61t1 改编)等比数列an的

5、首项 a11，前 n 项和为 sn，若s10s53132，则an的通项公式 an_. 解析 因为s10s53132，所以s10s5s5132，因为 s5，s10s5，s15s10成等比数列，且公比为 q5，所以 q5132，q12，则 an12n1. 3 / 16 答案 12n1 4.(2020 青岛模拟)公比不为 1 的等比数列an满足 a5a6a4a718，若 a1am9，则 m的值为( ) a.8 b.9 c.10 d.11 解析 由题意得，2a5a618，a5a69，a1ama5a69， m10. 答案 c 5.(2018 北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方

6、法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为 f，则第八个单音的频率为( ) a.32f b.322f c.1225f d.1227f 解析 由题意知十三个单音的频率依次构成首项为 f，公比为122的等比数列，设此数列为an，则 a81227f，即第八个单音的频率为1227f. 答案 d 6.(2019 全国卷)设 sn为等比数列an的前 n 项和.若 a113，a24a6，则 s5_. 解析 由 a24a6得(a1q3)2a1q5，整理得

7、 q1a13. 所以 s5a1（1q5）1q13（135）131213. 答案 1213 4 / 16 考点一 等比数列基本量的运算 【例 1】 (1)(2019 全国卷)已知各项均为正数的等比数列an的前 4 项和为15，且 a53a34a1，则 a3( ) a.16 b.8 c.4 d.2 (2)(2020 郴州一模)在数列an中，满足 a12，a2nan1 an1(n2，nn*)，sn为an的前 n 项和，若 a664，则 s7的值为( ) a.126 b.256 c.255 d.254 解析 (1)设等比数列an的公比为 q，由 a53a34a1得 q43q24，得 q24，因为数列a

8、n的各项均为正数，所以 q2，又 a1a2a3a4a1(1qq2q3)a1(1248)15，所以 a11，所以 a3a1q24. (2)数列an中，满足 a2nan1an1(n2)， 则数列an为等比数列，设其公比为 q， 又由 a12，a664，得 q5a6a132，则 q2， 则 s7a1（127）12282254. 答案 (1)c (2)d 规律方法 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量 a1，n，q，an，sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解. 2.等比数列的前 n 项和公式涉及对公比 q 的分类讨论，当 q1 时，an的前 n项和

9、 snna1；当 q1 时，an的前 n 项和 sna1（1qn）1qa1anq1q. 【训练 1】 (1)等比数列an中各项均为正数，sn是其前 n 项和，且满足 2s38a13a2，a416，则 s4( ) a.9 b.15 c.18 d.30 (2)设等比数列an满足 a1a21，a1a33，则 a4_. 解析 (1)设数列an的公比为 q(q0)， 则2s32（a1a1qa1q2）8a13a1q，a1q316， 5 / 16 解得 q2，a12，所以 s42（124）1230. (2)由an为等比数列，设公比为 q. 由a1a21，a1a33，得a1a1q1，a1a1q23， 显然 q

10、1，a10， 得 1q3，即 q2，代入式可得 a11， 所以 a4a1q31(2)38. 答案 (1)d (2)8 考点二 等比数列的判定与证明 【例 2】 设数列an的前 n 项和为 sn，已知 a12a23a3nan(n1)sn2n(nn*). (1)求 a2，a3的值； (2)求证：数列sn2是等比数列. (1)解 因为 a12a23a3nan(n1)sn2n(nn*)， 所以当 n1时，a1212； 当 n2 时，a12a2(a1a2)4， 所以 a24； 当 n3 时，a12a23a32(a1a2a3)6， 所以 a38. 综上，a24，a38. (2)证明 因为 a12a23a3

11、nan(n1)sn2n(nn*)， 所以当 n2时， a12a23a3(n1)an1(n2)sn12(n1). ，得 nan(n1)sn(n2)sn12n(snsn1)sn2sn12nansn2sn12. 所以sn2sn120，即 sn2sn12， 所以 sn22(sn12). 因为 s1240，所以 sn120，所以sn2sn122， 6 / 16 故sn2是以 4 为首项，2为公比的等比数列. 规律方法 1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. 2.在利用递推关系判定等比数列时

12、，要注意对 n1的情形进行验证. 【训练 2】 (2019 长治二模)sn为等比数列an的前 n 项和，已知 a49a2，s313，且公比 q0. (1)求 an及 sn； (2)是否存在常数 ，使得数列sn是等比数列？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由. 解 (1)易知 q1，由题意可得a1q39a1q，a1（1q3）1q13，q0， 解得 a11，q3， an3n1，sn13n133n12. (2)假设存在常数 ，使得数列sn是等比数列， s11，s24，s313， (4)2(1)(13)，解得 12， 此时 sn12123n，则sn112sn12123n1123n3， 故存在常数12

13、，使得数列sn12是以32为首项，3 为公比的等比数列. 考点三 等比数列的性质及应用 【例 3】 (1)(2020 洛阳统考)等比数列an的各项均为正数，且 a10a11a8a1364，则 log2a1log2a2log2a20_. (2)(一题多解)(2020 北京东城区模拟)已知等比数列an的前 n 项和为 sn，若 s1020，s30140，则 s40( ) a.280 b.300 c.320 d.340 7 / 16 解析 (1)由等比数列的性质可得 a10a11a8a13， 所以 a10a11a8a132a10a1164， 所以 a10a1132，所以 log2a1log2a2lo

14、g2a20log2(a1 a2 a3 a20) log2(a1 a20) (a2 a19) (a3 a18) (a10 a11)log2(a10 a11)10log2321050. (2)法一 因为 s10200，所以 q1， 由等比数列性质得 s10，s20s10，s30s20，s40s30成等比数列，(s20s10)2s10(s30s20)， 即(s2020)220(140s20)，解得 s2060， s20s10s106020202， s40s30s10 23， s40s30s10 23300.故选 b. 法二 设等比数列an的公比为 q，由题意易知 q1， 所以a1（1q10）1q20

15、，a1（1q30）1q140， 两式相除得1q301q107，化简得 q20q1060， 解得 q102， 所以 s40s30s10 q30140160300，故选 b. 答案 (1)50 (2)b 规律方法 1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若 mnpq，则 am anap aq”，可以减少运算量，提高解题速度. 2.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用. 【训练 3】 (1)(2020 贵阳质检)在等比数列an中，若 a3，a7是方程 x24x20 的两根，则 a5的值是( ) a.

16、2 b. 2 c. 2 d. 2 (2)(多选题)设等比数列an的公比为 q，其前 n项和为 sn，前 n项积为 tn，并且8 / 16 满足条件 a11，a7 a81，a71a810.则下列结论正确的是( ) a.0q1 b.a7 a91 c.sn的最大值为 s9 d.tn的最大值为 t7 解析 (1)根据根与系数之间的关系得 a3a74， a3a72，由 a3a740， 所以 a30，a70，即 a51的 n 的最小值为( ) a.4 b.5 c.6 d.7 解析 数列an是各项均为正数的等比数列，且 a2a4a3，a23a3，a31.又 q1 ， a1a21(n3) ， tntn1(n4

17、 ， nn*) ， t11 ， t2a1 a21，t3a1 a2 a3a1a2t21，t4a1a2a3a4a11，故 n的最小值为 6. 答案 c 13.(2020 华大新高考联盟质检)设等比数列an的前 n 项和为 sn，若 a3a112a25，且 s4s12s8，则 _. 解析 数列an是等比数列，a3a112a25， a272a25，q42， s4s12s8，a1（1q4）1qa1（1q12）1qa1（1q8）1q， 1q41q12(1q8)， 将 q42代入计算可得 83. 15 / 16 答案 83 14.(开放题)(2020 山东全省模考)在b1b3a2，a4b4，s525 这三个

18、条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的 k 存在，求 k 的值；若 k 不存在，说明理由. 设等差数列an的前 n 项和为 sn，bn是等比数列，_，b1a5，b23，b581，是否存在 k，使得 sksk1，且 sk1sk1，则只需 skskak1， 即 ak10，同理，若 sk1sk2， 则只需 sk10. 若选：b1b3a2时，a21910， an3n16. 当 k4时，a50，sksk1，且 sk1sk2成立. 若选：a4b427，a51， an为递减数列，故不存在 ak10， 即不存在 k，使得 sksk1，且 sk1sk2成立. 若选：s525，s55（a1a5）25a325， a35.an2n11. 当 k4时，a50，sksk1，且 sk1sk2成立. c级 创新猜想 15.(新情境题)(2019 宁德质检)某市利用第十六届省运会的契机，鼓励全民健身，从 2018 年 7 月起向全市投放 a，b 两种型号的健身器材.已知 7 月份投放