高考数学一轮复习第2章 第2节 函数的单调性与最值 (2)

1、1 / 12 函数的单调性与最值 考试要求 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质 1函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定 义 一般地，设函数 f(x)的定义域为 i，如果对于定义域 i 内某个区间 d上的任意两个自变量的值 x1，x2 当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 d上是增函数 当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 d上是减函数 图 象 描 述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数 yf(x)在区间

2、 d上是增函数或减函数，那么就说函数 yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 d叫做 yf(x)的单调区间 提醒：(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式或集合表示 (2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接 2函数的最值 前提 设函数 yf(x)的定义域为 i，如果存在实数 m 满足 条件 对于任意的 xi，都有f(x)m； 对于任意的 xi，都有f(x)m； 2 / 12 存在 x0i，使得 f(x0)m 存在 x0i，使得 f(x0)m 结论 m 为 yf(x)的最大值 m 为 yf(x)的最小值 常用结论 1函数单调性的结

3、论 (1)x1，x2d(x1x2)，f(x)在 d上是增函数；f(x)在 d上是减函数 (2)对勾函数 yxax(a0)的增区间为(， a和 a，)，减区间为 a，0)和(0， a (3)当 f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)g(x)是增(减)函数 (4)若 k0，则 kf(x)与 f(x)单调性相同；若 k0，则 kf(x)与 f(x)的单调性相反 (5)函数 yf(x)在公共定义域内与 y1f(x)的单调性相反 (6)复合函数 yfg(x)的单调性与函数 yf(u)和 ug(x)的单调性关系是“同增异减” 2函数最值存在的两个结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值

4、 (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)函数 y1x的单调递减区间是(，0)(0，)( ) (2)若定义在 r 上的函数 f(x)有 f(1)f(3)，则函数 f(x)在 r 上为增函数( ) (3)函数 yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1， )( ) (4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 3 / 12 二、教材习题衍生 1(多选)如果函数 f(x)在a，b上单调递增，则对于任意的 x1，x2a，b(x1x2)，下列结论中正确的是( ) af(x1)f

5、(x2)x1x20 b(x1x2)f(x1)f(x2)0 cf(a)f(x1)f(x2)f(b) df(x1)f(x2) abd 由函数单调性的定义可知，若函数 yf(x)在给定的区间上单调递增，则 x1x2与 f(x1)f(x2)同号，由此可知，选项 a，b 正确；对于 c，若 x1x2，则 f(x1)f(x2)，故 c不正确；对于 d，因为 f(x)在区间a，b上单调，且x1x2，所以 f(x1)f(x2)，故 d正确 2函数 f(x)x22x的单调递增区间是_ 1，) f(x)x22x(x1)21，因此函数 f(x)的单调递增区间为1，) 3若函数 y(2k1)xb 在 r 上是减函数，

6、则 k 的取值范围是_ ，12 因为函数 y(2k1)xb 在 r 上是减 函数，所以 2k10， 即 k12. 4已知函数 f(x)2x1，x2,6，则 f(x)的最大值为_，最小值为_ 2 25 易知函数 f(x)2x1在 x2,6上为减函数，故 f(x)maxf(2)2，f(x)minf(6)25. 考点一 求函数的单调区间 1.求函数单调区间的常用方法 4 / 12 2求复合函数单调区间的一般步骤 (1)求函数的定义域(定义域先行) (2)求简单函数的单调区间 (3)求复合函数的单调区间，其依据是“同增异减” 典例 1 求下列函数的单调区间： (1)f(x)x22|x|1； (2)f(

7、x)2x1x1； (3)f(x) x2x6. 解 (1) 由于 y x22x1，x0，x22x1，x0， 即 y (x1)22，x0，(x1)22，x0. 画出函数图象如图所示由图象可知，函数的单调递增区间为(，1和0,1，单调递减区间为1,0和1，) (2)由 x10 得 x1，即函数 f(x)的定义域为(，1)(1，)， f(x)2x1x12(x1)1x121x1，其图象如图所示 由图象知，函数 f(x)的单调递增区间为(，1)和(1，) (3)由 x2x60得 x3或 x2，即函数 f(x)的定义域为(，35 / 12 2，)， 令 ux2x6， 则 y x2x6可以看作是由 y u与

8、ux2x6 复合而成的函数 易知 ux2x6在(，3上是减函数，在2，)上是增函数，而y u在0，)上是增函数， 所以 y x2x6的单调递减区间为(，3，单调递增区间为2，) 母题变迁 若把本例(1)函数解析式改为 f(x)|x24x3|，试求函数 f(x)的单调区间 解 先作出函数 yx24x3的图象，由于绝对值的作用，把 x 轴下方的部分翻折到上方，可得函数 y|x24x3|的图象如图所示 由图可知 f(x)在(，1和2,3上为减函数，在1,2和3，)上为增函数，故 f(x)的单调递增区间为1,2，3，)，单调递减区间为(，1，2,3 点评：(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域

9、内求单调区间 (2)重视函数 f(x)axbcxd(ac0)的图象与性质(对称中心、单调性、渐近线) 跟进训练 1函数 f(x)|x2|x的单调递减区间是( ) a1,2 b1,0 c(0,2 d2，) a 由题意得，f(x) x22x，x2，x22x，x2， 当 x2时，2，)是函数 f(x)的单调递增区间； 当 x2时，(，1是函数 f(x)的单调递增区间，1,2是函数 f(x)的单调递减区间 2函数 f(x)xx1的单调递减区间为_ 6 / 12 (，1)和(1，) 由 x10 得 x1，即函数 f(x)的定义域为(，1)(1，)， 又 f(x)xx1(x1)1x111x1，其图象如图所

10、示，由图象知，函数 f(x)的单调递减区间为(，1)和(1，) 3函数 f(x)132xx2的单调递增区间为_ 1,1) 由 32xx20得3x1，即函数 f(x)的定义域为(3,1)，令u32xx2，则 u(x1)24，易知 u 在(3，1上是增函数，在1,1)上是减函数，而 y1u在(0，)上是减函数，则 f(x)132xx2的单调递增区间为1,1) 考点二 函数单调性的判断与证明 1.定义法证明函数单调性的步骤 2判断函数单调性的四种方法 (1)图象法；(2)性质法；(3)导数法；(4)定义法 3证明函数单调性的两种方法 (1)定义法；(2)导数法 典例 2 试讨论函数 f(x)axx1

11、(a0)在(1,1)上的单调性 解 法一：设1x1x21， f(x)ax11x1a11x1， 7 / 12 f(x1)f(x2)a11x11a11x21 a(x2x1)(x11)(x21)， 由于1x1x21， 所以 x2x10，x110，x210， 故当 a0时，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)， 函数 f(x)在(1,1)上递减； 当 a0时，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)， 函数 f(x)在(1,1)上递增 法二：f(x)a(x1)ax(x1)2a(x1)2， 所以当 a0时，f(x)0，当 a0时，f(x)0， 即当 a0时，f(x)在(1,1)上为减

12、函数， 当 a0时，f(x)在(1,1)上为增函数 跟进训练 判断函数 f(x)xax(a0)在(0，)上的单调性 解 设 x1，x2是任意两个正数，且 x1x2，则 f(x1)f(x2)x1ax1x2ax2x1x2x1x2(x1x2a) 当 0 x1x2 a时，0 x1x2a，x1x20， 所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)， 所以函数 f(x)在(0， a上是减函数； 当 ax1x2时，x1x2a，x1x20， 所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)， 所以函数 f(x)在 a，)上是增函数 综上可知，函数 f(x)xax(a0)在(0， a上是减函数，

13、在 a，)上是增函数 考点三 函数单调性的应用 8 / 12 1.比较函数值大小的解题思路 比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解 2求解含“f”的函数不等式的解题思路 先利用函数的相关性质将不等式转化为 f(g(x)f(h(x)的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式 g(x)h(x)(或 g(x)h(x)此时要特别注意函数的定义域 3利用单调性求参数的范围(或值)的策略 (1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数

14、(2)解决分段函数的单调性问题，要注意上、下段端点函数值的大小关系 比较函数值的大小 典例 31 已知函数 f(x)的图象向左平移 1个单位后关于 y 轴对称，当 x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)0恒成立，设 af 12，bf(2)，cf(3)，则 a，b，c 的大小关系为( ) acab bcba cacb dbac d 根据已知可得函数 f(x)的图象关于直线 x1对称，且在(1，)上是减函数所以 af 12f 52，f(2)f(2.5)f(3)，所以 bac. 点评：本例先由f(x2)f(x1)(x2x1)0得出 f(x)在(1，)上是减函数，然后借助对称性，化变量12，2

15、,3 于同一单调区间，并借助单调性比较大小 解函数不等式 典例 32 已知函数 f(x)x|x|，x(1,1)，则不等式 f(1m)f(m21)的解集为_ (0,1) f(x) x2， 1x0，x2， 0 x1，则 f(x)在(1,1)上单调递减，不等式 f(1m)f(m21)可转化为 9 / 12 11m1，1m211，m211m，解得 0m1. 点评：解答此类题目时，应注意隐含条件，如本例 11m1，1m211. 求参数的值或取值范围 典例 33 (1)函数 yx5xa2在(1，)上单调递增，则 a的取值范围是( ) a3 b(，3) c(，3 d3，) (2)已知 f(x) (2a)x1

16、，x1，ax，x1满足对任意 x1x2，都有f(x1)f(x2)x1x20成立，那么 a的取值范围是( ) a(1,2) b1，32 c32，2 d32，2 (1)c (2)c (1)yxa2a3xa21a3xa21a3x(a2)，由题意知 a30，a21，得 a3. 所以 a的取值范围是(，3 (2)由已知条件得 f(x)为增函数， 所以 2a0，a1，(2a)11a， 解得32a2， 所以 a的取值范围是32，2 .故选 c. 点评：分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取10 / 12 值如本例(2) 跟进训练 1设偶函数 f(x)的定义域为 r，当 x0，)时，f(x

17、)是增函数，则 f(2)，f()，f(3)的大小关系是( ) af()f(3)f(2) bf()f(2)f(3) cf()f(3)f(2) df()f(2)f(3) a 因为 f(x)是偶函数，所以 f(3)f(3)，f(2)f(2)又因为函数 f(x)在 0，)上是增函数 所以 f()f(3)f(2)，即 f()f(3)f(2) 2定义在2,2上的函数 f(x)满足(x1x2) f(x1)f(x2)0，x1x2，且 f(a2a)f(2a2)，则实数 a 的取值范围为( ) a1,2) b0,2) c0,1) d1,1) c 因为函数 f(x)满足(x1x2)f(x1)f(x2)0，x1x2，

18、 所以函数在2,2上单调递增， 所以22a2a2a2，解得 0a1，故选 c. 3若函数 y2xkx2与 ylog3(x2)在(3，)上具有相同的单调性，则实数 k 的取值范围是_ (，4) 函数 ylog3(x2)在(3，)上是增函数 y2xkx22(x2)4kx224kx2， 由题意知函数 y4kx2在(3，)上是增函数， 则有 4k0，解得 k4. 4若 f(x) (3a1)x4a，x1，ax，x1是定义在 r 上的减函数，则 a的取值范围为_ 11 / 12 18，13 由题意知， 3a10，(3a1)14aa，a0，解得 a13，a18，a0， 所以 a18，13. 考点四 函数的最值(值域) 求函数最值的五种常用方法 典例 4 (1)若函数 f(x) (xa)2(x0)，x1xa(x0)的最小值为 f(0)，则实数 a 的取值范围是( ) a1,2 b1,0 c1,2 d0,2 (2)函数 f(x)13xlog2(x2)