高考数学一轮复习第2章 第9节 函数与方程

1、1 / 13 函数与方程 考试要求 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数 1函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数 yf(x)(xd)，把使 f(x)0的实数 x 叫做函数 yf(x)(xd)的零点 (2)三个等价关系 方程 f(x)0 有实数根函数 yf(x)的图象与 x 轴有交点函数 yf(x)有零点 提醒：函数的零点不是函数 yf(x)的图象与 x 轴的交点，而是交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个数 2函数的零点存在性定理 如果函数 yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a) f(b)0，那么

2、，函数 yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c(a，b)，使得 f(c)0，这个 c 也就是方程 f(x)0的根 提醒：函数的零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点 3二次函数 yax2bxc(a0)的图象与零点的关系 分类 0 0 0 二次函数 yax2bxc (a0)的图象 与 x 轴的交点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 无交点 零点个数 2 1 0 4二分法的定义 2 / 13 对于在区间a，b上连续不断且 f(a)f(b)0的函数 yf(x)，通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而

3、得到零点近似值的方法叫做二分法 常用结论 有关函数零点的三个结论 (1)若 yf(x)在闭区间a，b上的图象连续不断，且有 f(a) f(b)0，则函数 yf(x)一定有零点 (2)f(a) f(b)0是 yf(x)在闭区间a，b上有零点的充分不必要条件 (3)若函数 f(x)在a，b上是单调函数，且 f(x)的图象连续不断，则 f(a) f(b)0函数 f(x)在区间a，b上只有一个零点 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点( ) (2)函数 yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则 f(a) f(b)0.( ) (

4、3)若函数 f(x)在(a，b)上单调且 f(a) f(b)0，则函数 f(x)在a，b上有且只有一个零点( ) (4)二次函数 yax2bxc 在 b24ac0时没有零点( ) (5)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 二、教材习题衍生 1(多选)若函数 yf(x)在区间a，b上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法中不正确的是( ) a若 f(a)f(b)0，则不存在实数 c(a，b)，使得 f(c)0 b若 f(a)f(b)0，则存在且只存在一个实数 c(a，b)，使得 f(c)0 c若 f(a)f(b)0，则有可能存在

5、实数 c(a，b)，使得 f(c)0 d若 f(a)f(b)0，则有可能不存在实数 c(a，b)，使得 f(c)0 abd 对函数 f(x)x2，f(1)f(1)0，但 f(0)0，故 a错；对于函数 f(x)x3x，f(2)f(2)0，但 f(0)f(1)f(1)0，故 b错；函数 f(x)x2满足3 / 13 c，故 c正确；由零点存在性定理知 d 错 2函数 f(x)ln x2x6 的零点所在的区间是( ) a(0,1) b(1,2) c(2,3) d(3,4) c 由题意得 f(1)ln 12640， f(2)ln 246ln 220， f(3)ln 366ln 30， f(4)ln

6、486ln 420， f(x)的零点所在的区间为(2,3) 3函数 f(x)ex3x的零点个数是_ 1 函数 f(x)ex3x 在 r 上是增函数，且 f(1)1e30，f(0)10， f(1) f(0)0，因此函数 f(x)有唯一零点 4若函数 f(x)x24xa 存在两个不同的零点，则实数 a 的取值范围是_ (，4) 由题意知 164a0，解得 a4. 考点一 判定函数零点所在区间 判断函数零点所在区间的方法 1(多选)已知函数 f(x)x log12 x.若 0abc，则 f(a)f(b)f(c)0，那么下列说法一定正确的是( ) af(x)有且只有一个零点 4 / 13 bf(x)的

7、零点在(0,1)上 cf(x)的零点在(a，b)上 df(x)的零点在(c，)上 ab 因为 yx ，ylog12 x 均为(0，)上的增函数，所以 f(x)为(0，)上的增函数因为 f(1)0，f 120，所以由零点存在性定理可知 f(x)有且只有一个零点且零点在12，1 内，故 a、b正确因为 f(a)f(b)f(c)0，所以f(a)，f(b)，f(c)的符号为两正一负或全负，而 0abc，故 f(a)0，f(b)0，f(c)0 或 f(a)0，f(b)0，f(c)0.若 f(a)0，f(b)0，f(c)0，则零点在(c，)内；若 f(a)0，f(b)0，f(c)0，则零点在(a，b)内故

8、 c、d不一定正确 2若 x0是方程12xx 的解，则 x0属于区间( ) a.23，1 b12，23 c.13，12 d0，13 c 令 f(x)12xx ，则 x0是函数 f(x)的零点，函数 f(x)在 r 上图象是连续的， 且 f(0)10，f 1312130， f 1212120，f 13 f 120， 因此 x013，12，故选 c. 3若 abc，则函数 f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间( ) a(a，b)和(b，c)上 b(，a)和(a，b)上 c(b，c)和(c，)上 d(，a)和(c，)上 a abc，f(a)(ab)(ac)0

9、，f(b)(bc)(ba)0，f(c)(ca)(cb)0， 5 / 13 由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)(b，c)内分别存在一个零点； 又函数 f(x)是二次函数，最多有两个零点， 因此函数 f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选 a. 4(2020 天津模拟)设函数 f(x)ex14x4，g(x)ln x1x，若 f(x1)g(x2)0，则( ) a0g(x1)f(x2) bg(x1)0f(x2) cf(x2)0g(x1) df(x2)g(x1)0 b 函数 f(x)是 r 上的增函数，g(x)是(0，)上的增函数，f(0)e140，f(1)5410，又 f

10、(x1)0， 0 x11， g(1)10，g(2)ln 2120，又 g(x2)0， 1x22， f(x2)f(1)0，g(x1)g(1)0， g(x1)0f(x2)，故选 b. 点评：由 f(a) f(b)0，并不能说明函数 f(x)在区间(a，b)上没有零点，若f(x)在(a，b)上是单调函数，则 f(x)在(a，b)上无零点 考点二 确定函数零点的个数 确定函数零点个数的方法 6 / 13 典例 1 (1)(2019 全国卷)函数 f(x)2sin xsin 2x在0,2的零点个数为 ( ) a2 b3 c4 d5 (2)函数 f(x) ln xx22x，x0，2x1，x0的零点个数为(

11、 ) a0 b1 c2 d3 (3)设函数 f(x)是定义在 r 上的奇函数，当 x0时，f(x)exx3，则 f(x)的零点个数为( ) a1 b2 c3 d4 (1)b (2)d (3)c (1)由 f(x)2sin xsin 2x2sin x2sin xcos x2sin x (1cos x)0得 sin x0或 cos x1，xk，kz，又x0,2，x0，2，即零点有 3个，故选 b. (2)依题意，在考虑 x0 时可以画出函数 yln x 与 yx22x 的图象(如图)，可知两个函数的图象有两个交点，当 x0时，函数 f(x)2x1 与x 轴只有一个交点，综上，函数 f(x)有 3个

12、零点故选 d. (3)因为函数 f(x)是定义域为 r 的奇函数，所以 f(0)0，即 x0是函数 f(x)的 1个零点 当 x0时，令 f(x)exx30，则 exx3，分别画出函数 yex和 yx3的图象，如图所示，两函数图象有 1个交点，所以函数 f(x)有 1个零点 根据对称性知，当 x0 时，函数 f(x)也有 1个零点综上所述，f(x)的零点个数为 3. 点评：数形结合法确定函数零点个数的关键是正确画出函数的图象在画7 / 13 函数的图象时，常利用函数的性质，如周期性、对称性等，同时还要注意函数定义域的限制 跟进训练 1函数 f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为( ) a

13、1 b2 c3 d4 b 令 f(x)2x|log0.5x|10， 可得|log0.5x|12x. 设 g(x)|log0.5x|，h(x)12x. 在同一坐标系下分别画出函数 g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有 2 个交点，因此函数 f(x)有 2个零点故选 b. 2若定义在 r 上的偶函数 f(x)满足 f(x2)f(x)，且当 x0,1时，f(x)x，则函数 yf(x)log3|x|的零点的个数是( ) a0 b2 c4 d6 c 画出函数 yf(x)和 ylog3|x|的部分图象如图所示由图知，函数 yf(x)log3|x|的零点的个数为 4. 考点三 求与零点有关的

14、参数问题 已知函数有零点(方程有根)，求参数的值或取值范围的方法 8 / 13 根据函数零点的个数求参数的取值范围 典例 21 (多选)(2020 辽宁丹东月考改编)若函数 f(x) 2xa，x1，4(xa)(x2a)，x1恰有两个零点，则实数 a的取值可能为( ) a0 b12 c2 d3 bcd 法一：当 a0 时，f(x) 2x，x1，4x2，x1，当 a12时，f(x) 2x12，x1，4x12(x1)，x1，当 a2时，f(x) 2x2，x1，4(x2)(x4)，x1，当 a3时，f(x) 2x3，x1，4(x3)(x6)，x1，通过作图很容易判断 b，c，d成立，a不成立，故选 b

15、cd. 法二：设 h(x)2xa(x1)，g(x)4(xa)(x2a)(x1)，若 h(x)的图象与x 轴有一个交点，则 a0，且 2a0，所以 0a2.根据题意知，此时函数g(x)的图象与 x 轴只有一个交点，所以 2a1，a1，得12a1.若函数 h(x)的图象与 x 轴没有交点，则函数 g(x)的图象与 x 轴有两个交点，当 a0 时，h(x)的图象与 x 轴无交点，g(x)的图象与 x 轴无交点，所以不满足题意当 2a0，即9 / 13 a2 时，h(x)的图象与 x 轴无交点，g(x)的图象与 x 轴有两个交点，满足题意综上所述，a的取值范围是12，1 2，)，故选 bcd. 点评：

16、已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数，这时图形一定要准确，这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题 根据函数有零点求参数的取值范围 典例 22 (1)函数 f(x)x2ax1在区间12，3 上有零点，则实数 a的取值范围是( ) a(2，) b2，) c2，52 d2，103 (2)已知函数 f(x) 2x1，x1，x1，x1，则函数 f(x)f(x)a2a1(ar)总有零点时，实数 a的取值范围是( ) a(，0)(1，) b1,2) c1,0)(1,2 d0,1 (1)d (2)a (1)由题意知方程 axx21在12，3 上有解，即 ax1x在12，3 上有

17、解，设 tx1x，x12，3 ，则 t的取值范围是2，103，所以实数 a的取值范围是2，103. (2)由 f(x)0，得 f(x)a2a1.函数 f(x)的值域为(1，)， a2a11，解得 a0或 a1.故选 a. 点评：函数 f(x)有零点f(x)0有解，此时可分离参数，化为 ag(x)的形式，则 a的取值范围就是 g(x)的值域 跟进训练 1已知函数 f(x) 2xa，x0，2x1，x0(ar)，若函数 f(x)在 r 上有两个零点，则 a的取值范围是( ) 10 / 13 a(，1) b(，1 c1,0) d(0,1 d 当 x0时，由 2x10得 x12，即 x12是函数 f(x

18、)的一个零点，故方程 2xa0 在(，0上有一个解即 a2x在(，0上有一个解，又当x(，0时 02x1，则 0a1，故选 d. 2若函数 f(x)4x2xa，x1,1有零点，则实数 a 的取值范围是_ 14，2 函数 f(x)4x2xa，x1,1有零点，方程 4x2xa0 在1,1上有解，即方程 a4x2x在1,1上有解 令 y4x2x2x12214. x1,1，2x12，2 ， 2x1221414，2 . 实数 a的取值范围是14，2 . 核心素养 3 用数学眼光观察世界解嵌套函数的零点问题 函数的零点是高考命题的热点，主要涉及判断函数零点的个数或范围，常考查三次函数与复合函数相关零点，与

19、函数的性质和相关问题交汇对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解. 嵌套函数零点个数的判断 素养案例1 已知函数 f(x) 2x22，x1，|log2(x1)|，x1，则函数 f(x)f(f(x)2f(x)32的零点个数是( ) a4 b5 c6 d7 11 / 13 a 令 f(x)t，则函数 f(x)可化为 yf(t)2t32，则函数 f(x)的零点问题可转化为关于方程 f(t)2t320 的根的问题 令 yf(t)2t320，则 f(t)2t32. 分别作出 yf(t)和 y2t32的图象，如图，由图象可得有两个交点，横坐标设为

20、 t1，t2(不妨设 t1t2)，则 t10,1t22； 由图，结合图象，当 f(x)0时，有一解，即 x2； 当 f(x)t2时，结合图象，有 3个解 所以 yff(x)2f(x)32共有 4个零点 图 图 评析 1.判断嵌套函数零点个数的主要步骤： (1)换元解套，转化为 tg(x)与 yf(t)的零点(2)依次解方程，令 f(t)0，求 t，代入 tg(x)求出 x 的值或判断图象交点个数 2抓住两点：(1)转化换元(2)充分利用函数的图象与性质 素养培优 已知 f(x) |lg x|，x0，2|x|，x0，则函数 y2f(x)23f(x)1的零点个数是_ 5 由 2f(x)23f(x)10，得 f(x)12或 f(x)1， 作出函数 yf(x)的图象如图所示 由图象知 y12与 yf(x)的图象有 2个交点，y1 与yf(x)的图象有 3 个交点 因此函数 y2f(x)23f(x)1 的零点有 5 个 12 / 13 已知嵌套函数的零点个