数学归纳法习题(绝对物超所值)

1、数学归纳法1观察数表：1234第一行2345第二行3456第三行4567第四行第一列第二列第三列第四列根据数表中所反映的规律，第行与第列的交叉点上的数应该是()A B C D2已知，,，以此类推，第5个等式为（ ）A BC D3用数学归纳法证明等式（nN*）的过程中，第二步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到（ ）（A） （B）（C） （D）4某同学在纸上画出如下若干个三角形： 若依此规律，得到一系列的三角形，则在前2015个三角形中共有的个数是（ ） A64 B63 C62 D615观察式子：，则可归纳出式子为（ ）A BC D6用数学归纳法证明：1+2+22+2n1=2n1（nN）

2、的过程中，第二步假设当n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到A.1+2+22+2k2+2k+11 B.1+2+22+2k+2k+1=2k1+2k+1 C.1+2+22+2k1+2k+1=2k+11 D.1+2+22+2k1+2k=2k1+2k7利用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）（n+n）=2n×1×3××（2n1），nN*”时，从“n=k”变到“n=k+1”时，左边应增乘的因式是（ ）A.2k+1 B. C. D.8用数学归纳法证明不等式“+（n2）”时的过程中，由n=k到n=k+1时，不等式的左边（ ）A.增加了一项 B.增加了两项C.增加了两

3、项，又减少了一项 D.增加了一项，又减少了一项9某个命题与自然数n有关，若n=k（kN*）时命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得（ ）A.当n=6时，该命题不成立 B.当n=6时，该命题成立 C.当n=4时，该命题不成立 D.当n=4时，该命题成立10用数学归纳法证明1+2+3+（3n+1）=，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上（ ）A.（3k+2） B.（3k+4） C.（3k+2）+（3k+3） D.（3k+2）+（3k+3）+（3k+4）11（2012绵阳二模）已知数列an，bn满足a1=，an+bn=1，bn+1=，则b201

4、1=（ ）A. B. C. D.12在用数学归纳法证明f（n）=+1（nN*，n3）的过程中：假设当n=k（kN*，k3）时，不等式f（k）1成立，则需证当n=k+1时，f（k+1）1也成立若f（k+1）=f（k）+g（k），则g（k）=（ ）A.+ B.+ C. D.13（2014河西区三模）用数学归纳法证明1+2+3+n3=，则当n=k+1时，左端应在n=k的基础上加上（ ）A.k3+1 B.（k+1）3 C. D.（k3+1）+（k3+2）+（k3+3）+（k3+1）314用数学归纳法证明“42n-13n+1（nN*）能被13整除”的第二步中，当n=k1时为了使用归纳假设，对42k+13

5、k+2变形正确的是（ ）A16（42k-13k+1）-13×3k+1 B4×42k9×3k C（42k-13k+1）15×42k-12×3k+1 D3（42k-13k+1）-13×42k-115用数学归纳法证明1+a+a2+an+1=（a1，nN*），在验证当n=1时，等式左边应为（ ）.A1 B1+a C1+a+a2 D1+a+a2+a316用数学归纳法证明12+32+52+（2n1）2=n（4n21）过程中，由n=k递推到n=k+1时，不等式左边增加的项为A（2k）2 B（2k+3）2 C（2k+2）2 D（2k+1）217若，则

6、对于， 18用数学归纳法证明1-(1，nN*)，在验证n1成立时，左边的项是( )A1 B1 C1 D1+19用数学归纳法证明：“1aa2 an1 (a1，nN*)”在验证n1时，左端计算所得的项为()A1 B1a C1aa2 D1aa2a320用数学归纳法证明123 n2，则当nk1时左端应在nk的基础上加上()Ak21 B(k1)2 C. D(k21)(k22) (k1)221用数学归纳法证明“”（）时，从 “”时，左边应增添的式子是（ ）ABCD22图1，2，3，4分别包含1，5，13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第个图包含_个互不重叠的单位正方形。图1 图2 图

7、3 图423用数学归纳法证明“时，从 “到”时，左边应增添的式子是（ ）A B C D24下列推理中属于归纳推理且结论正确的是()A设数列an的前n项和为sn ，由an=2n1，求出s1 =12 ， s2=22，s3=32，推断sn=n2B由cosx，满足对xR都成立，推断为奇函数。C由圆的面积推断：椭圆（ab0)的面积s=abD由（1+1）221，（2+1）222，（3+1）2 23，推断对一切正整数n，（n+1)22n25用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第4个“金鱼”图需要火柴棒的根数为 A24 B26 C28 D3026在数列an中，an1，则ak1等于()Aak Bak

8、Cak Dak27用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(nN*)能被9整除”，要利用归纳假设证nk1时的情况，只需展开A(k3)3 B(k2)3 C(k1)3 D(k1)3(k2)328平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为()A. n1 B. 2n C. D. n2n129某个命题与自然数n有关，若nk(kN*)时命题成立，那么可推得当nk1时该命题也成立，现已知n5时，该命题不成立，那么可以推得()An6时该命题不成立 Bn6时该命题成立 Cn4时该命题不成立 Dn4时该命题成立30用数学归纳法证明123(2n1)(n1)(2n1)时，从nk到nk1，

9、左边需增添的代数式是()A2k2 B2k3 C2k1 D(2k2)(2k3)31用数学归纳法证明1> (nN*)成立，其初始值至少应取()A7 B8 C9 D1032用数学归纳法证明（）时，从“到”左边需增乘的代数式为（ ）A B C D33利用数学归纳法证明不等式1 <f(n)(n2，)的过程中，由nk变到nk1时，左边增加了( )A1项 Bk项 C项 D项34用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（ ） 35下面四个判断中，正确的是() A式子1kk2kn(nN*)中，当n1时式子值为1B式子1kk2kn1(nN*)中，当n1时式子值为1kC式子1 (nN*)中，当n1

10、时式子值为1D设f(x) (nN*)，则f(k1)f(k)36某个命题与正整数有关，如果当nk(kN)时，该命题成立，那么可推得当nk1时命题也成立现在已知当n5时，该命题不成立，那么可推得( )A当n6时该命题不成立 B当n6时该命题成立 C当n4时该命题不成立 D当n4时该命题成立37用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3，(nN)能被9整除”，要利用归纳法假设证nk1时的情况，只需展开( )A(k3)3 B(k2)3 C(k1)3 D(k1)3(k2)338用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”的第二步是( )A假使n2k1时正确，再推n2k3正确 B假使n2k1时

11、正确，再推n2k1正确C假使nk时正确，再推nk1正确 D假使nk(k1)，再推nk2时正确(以上kN)39已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意nN*,f(n)都能被m整除,则m的最大值为()(A)18 (B)36 (C)48 (D)5440下列代数式(其中kN*)能被9整除的是()(A)6+6·7k (B)2+7k-1 (C)2(2+7k+1) (D)3(2+7k)41已知n是正偶数,用数学归纳法证明时,若已假设n=k(k2且为偶数)时命题为真,则还需证明()(A)n=k+1时命题成立 (B)n=k+2时命题成立 (C)n=2k+2时命题成立 (

12、D)n=2(k+2)时命题成立42在用数学归纳法证明凸n边形内角和定理时,第一步应验证()(A)n=1时成立 (B)n=2时成立 (C)n=3时成立 (D)n=4时成立43在应用数学归纳法证明凸n变形的对角线为条时，第一步检验n等于（）A.1 B.2 C3 D044)已知数列满足.(1)写出，并推测的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论45已知多项式.（）求及的值；（）试探求对一切整数n，是否一定是整数？并证明你的结论46设个正数满足（且）（1）当时，证明：；（2）当时，不等式也成立，请你将其推广到（且）个正数的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明47如图：假设三角形数表中的第n+1

13、行的第二个数为（n1，nN*）（1）归纳出与的关系式, 并求出的通项公式；（2）设，求证： 48已知数列的各项均为正整数，对于任意nN*，都有 成立，且（1）求，的值；（2）猜想数列的通项公式，并给出证明49已知数列前项和且，（1）试求（2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明猜想.50若a1a2an，而b1b2bn或a1a2an而b1b2bn，证明：（）（）当且仅当a1=a2=an或b1=b2=bn时等号成立51用数学归纳法证明等式时，写出到时左边应增加的项为？52（1）用数学归纳法证明等式1+2+3+（n+3）= （2）用数学归纳法证明不等式53观察下列各不等式：（1）由上述不等式，归纳出一个

14、与正整数有关的一般性结论；（2）用数学归纳法证明你得到的结论54观察下列等式 第一个式子 第二个式子 第三个式子 第四个式子照此规律下去（）写出第个等式；（）你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想 55在数列an中，a1，an1，求a2、a3、a4的值，由此猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想56数列满足（1）计算，并由此猜想通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想57设，其中为正整数（1）求，的值；（2）猜想满足不等式的正整数的范围，并用数学归纳法证明你的猜想58给出四个等式：1114(121234)（1）写出第5,6个等式，并猜测第n

15、(nN*)个等式（2）用数学归纳法证明你猜测的等式59是否存在常数，使等式对于一切都成立？若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明？60已知，（其中）（1）求及；（2）试比较与的大小，并说明理由61已知数列的前n项和为，且，令.（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）若，用数学归纳法证明是18的倍数62设实数，整数，.（1）证明：当且时，；（2）数列满足，证明：.63若不等式>对一切正整数n都成立，猜想正整数a的最大值，并证明结论64设数列an满足a13，an1an22nan2，n1,2,3，(1)求a2，a3，a4的值，并猜想数列an的通项公式(不需证明)；(2)记

16、Sn为数列an的前n项和，试求使得Sn<2n成立的最小正整数n，并给出证明65用数学归纳法证明42n13n2能被13整除，其中nN*.66在数列中，且成等差数列，成等比数列.(1)求；(2)根据计算结果，猜想的通项公式，并用数学归纳法证明67在数列中，且，（1）求的值；（2）猜测数列的通项公式，并用数学归纳法证明。68设是一个自然数，是的各位数字的平方和，定义数列：是自然数，（，）（1）求，；（2）若，求证：；（3）求证：存在，使得69设是一个自然数，是的各位数字的平方和，定义数列：是自然数，（，）（1）求，；（2）若，求证：；（3）当时，求证：存在，使得70已知，（1）当时，试比较与的

17、大小关系；（2）猜想与的大小关系，并给出证明71已知数列计算由此推测出的计算公式，并用数学归纳法证明.72已知，是函数的两个零点，其中常数，设（）用，表示，；（）求证：；（）求证：对任意的73记的展开式中，的系数为，的系数为,其中(1)求（2）是否存在常数p,q(p<q),使，对，恒成立？证明你的结论.74是否存在常数使得对一切恒成立？若存在，求出的值，并用数学归纳法证明；若不存在，说明理由.75在数列中，已知，(，)（1）当，时，分别求的值，判断是否为定值，并给出证明；（2）求出所有的正整数，使得为完全平方数76各项均为正数的数列对一切均满足证明：（1）；（2）77由下列不等式：，你能

18、得到一个怎样的一般不等式？并加以证明78已知数列中，且为数列的前项和，且（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项的和；（3）证明对一切，有79设数列满足：a1=2，对一切正整数n，都有(1)探讨数列是否为等比数列，并说明理由；(2)设80设数列an：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，(1)k1k，(1)，即当(kN*)时，an(1)k1k，记Sna1a2an(nN*)，用数学归纳法证明Si(2i1)i(2i1)(iN*)81设函数f(x)xxlnx，数列an满足0a11，an1f(an)求证：(1)函数f(x)在区间(0，1)是增函数；(2)anan11.82用数学归纳法证明不等式

19、：1(nN*且n1)83已知f(n)1nN)，g(n)2(1)(nN)(1)当n1，2，3时，分别比较f(n)与g(n)的大小(直接给出结论)；(2)由(1)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并证明你的结论84已知数列an满足a11，且4an1anan12an9(nN)(1)求a2，a3，a4的值；(2)由(1)猜想an的通项公式，并给出证明85已知数列bn是等差数列，b11，b1b2b10145.(1)求数列bn的通项公式bn；(2)设数列an的通项anloga(其中a0且a1)记Sn是数列an的前n项和，试比较Sn与logabn1的大小，并证明你的结论.86设nN*，f(n)1，试比较f(

20、n)与的大小87已知为公差不为零的等差数列，首项，的部分项、 、恰为等比数列，且，.（1）求数列的通项公式（用表示）；（2）设数列的前项和为, 求证：（是正整数88是否存在常数a,b使等式对于一切nN*都成立？若存在，求出a,b的值，若不存在，请说明理由。89用数学归纳法证明：对任意nN，成立90已知，nN，An2n2，Bn3n，试比较An与Bn的大小，并加以证明91用数学归纳法证明对nN都有.92平面内有n(nN，n2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明：交点的个数f(n).93已知函数f(x)=x3-x,数列an满足条件:a11,an+1f'(an+1).试比较+

21、与1的大小,并说明理由.94用数学归纳法证明不等式:+>(nN*且n>1).95用数学归纳法证明:+= (nN*).96已知多项式f(n)n5n4n3n.(1)求f(1)及f(2)的值；(2)试探求对一切整数n，f(n)是否一定是整数？并证明你的结论972013年我国汽车拥有量已超过2亿（目前只有中国和美国超过2亿），为了控制汽车尾气对环境的污染，国家鼓励和补贴购买小排量汽车的消费者，同时在部分地区采取对新车限量上号.某市采取对新车限量上号政策，已知2013年年初汽车拥有量为（=100万辆），第年（2013年为第1年，2014年为第2年，依次类推）年初的拥有量记为，该年的增长量和与

22、的乘积成正比，比例系数为其中=200万.（1）证明：；（2）用表示；并说明该市汽车总拥有量是否能控制在200万辆内.98把正整数排列成如图甲三角形数阵,然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数,得到如图乙的三角形数阵,再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列,得到一个数列,若,则_99将自然数按如图排列，其中处于从左到右第列从下到上第行的数记为，如，则_；_100一种平面分形图的形成过程如下图所示，第一层是同一点出发的三条线段，长度均为1，每两条线段夹角为 120°；第二层是在第一层的每一条线段末端，再生成两条与该线段成120°角的线段，长度不变；第三层按第二层的方法再在第

23、二层每一条线段的末端各生成两条线段；重复前面的作法，直至第6层，则分形图第6层各条线段末端之间的距离的最大值 101定义：分子为1且分母为正整数的分数叫做单位分数我们可以把1拆分为无穷多个不同的单位分数之和例如：， 依此方法可得：，其中，则 102观察下列式子：，由以上可推测出一个一般性结论：对于，的和 103已知下列四个等式依此类推，猜想第个等式为 .104设函数f(x)(x0)，观察：f1(x)f(x), f2(x)f(f1(x), f3(x)f(f2(x), f4(x)f(f3(x)根据以上事实，由归纳推理可得：当nN*, n2时，fn(x)f(n1(x) 105正偶数列有一个有趣的现象

24、：；按照这样的规律，则2012在第 个等式中。106把1,3,6,10,15,21这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形，则第七个三角形数是 .107观察式子则可归纳出关于正整数的式子为_.108观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49 照此规律，第个等式为 109观察系列等式，由以上等式推出一个一般性的结论：对于， 110给出以下数对序列：（1，1）（1，2） （2，1）（1，3） （2，2） （3，1）（1，4） （2，3） （3，2） （4，1）记第行的第个数对为，如，则（） _；（） _111，计算可得，推测当时

25、，有 112观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第个等式为 . 113观察等式：， ,根据以上规律，写出第四个等式为：_114若，则对于， 115观察下列不等式照此规律，第五个不等式为_116观察下列数表：根据以上排列规律，数表中第行中所有数的和为 。117（1）若函数，且当且时，猜想的表达式（2）用反证法证明命题若能被整除，那么中至少有一个能被整除时，假设应为118用数学归纳法证明（）时，从“n=”到“n=”的证明，左边需增添的代数式是_. 119某地区为了绿化环境进行大面积植树造林，如图，在区域 内植树，第一棵树在点Al（0，

26、1），第二棵树在点B1（l， l），第三棵树在点C1（1,0），第四棵树在点C2（2,0），接着按图中箭头方向每隔一个单位种一棵树，那么（1）第n棵树所在点坐标是（44,0），则n= （2）第2014棵树所在点的坐标是 .120已知,由此你猜想出第n个数为 121用数学归纳法证明1(,)，在验证成立时，左式是_122已知数列an满足a12，an1 (nN*)，则a3_，a1·a2·a3··a2014_.123已知f(n)1 (nN*)，用数学归纳法证明f(2n)>时，f(2k1)f(2k)等于_124用数学归纳法证明不等式>的过程中，由nk推

27、导nk1时，不等式的左边增加的式子是_125若f(n)122232(2n)2，则f(k1)与f(k)的递推关系式是_126用数学归纳法证明: 的第二步中,当时等式左边与时的等式左边的差等于.127航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为_(用数字作答)128利用数学归纳法证明“， ()”时，在验证成立时，左边应该是 129已知，不等式，可推广为，则等于 .130在中，不等式成立；在凸四边形ABCD中，不等式成立；在凸五边形ABCDE中，不等式成立，依此类推，在凸n边形中，不等式_

28、 _成立. 131观察下列等式：；则当且时， .（最后结果用表示）132平面内有条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，当时把平面分成的区域数记为,则时 .133用数学归纳法证明“122232n2n(n1)(2n1)(nN*)”，当nk1时，应在nk时的等式左边添加的项是_134用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”的第二步是_135用数学归纳法证明1<n，其中n>1且nN*，在验证n2时，式子的左边等于_136用数学归纳法证明“当n为正偶数时xnyn能被xy整除”第一步应验证n_时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成_137设f(n)1(nN*)，则f(k1

29、)f(k)_.138用数学归纳法证明不等式“2n>n21对于nn0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取为_139用数学归纳法证明：123n2，则nk1时左端在nk时的左端加上_140用数学归纳法证明n(a，b是非负实数，nN)时，假设nk命题成立之后，证明nk1命题也成立的关键是_141已知f(n)=1+(nN*),用数学归纳法证明f(2n)>时,f(2k+1)-f(2k)等于.142用数学归纳法证明:(n+1)+ (n+2)+(n+n)=(nN*)的第二步中,当n=k+1时等式左边与n=k时的等式左边的差等于.143用数学归纳法证明1+<n(nN*,n>

30、1)时,第一步应验证的不等式是.试卷第19页，总19页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。参考答案1D2D 3B 4C 5B 6D 7C 8C 9C 10D 11A 12B 13D 14A 15C. 16D 17 18C 19C 20D 21B 22 23C 24 25B26D 27A 28C 29C 30D 31B 32B 33D 34B 35C 36C 37A 38B 39B36.当n1时,可知猜想成立.假设当n=k(k1,kN*)时,猜想成立,即f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除;当n=k+1时,f(k+1)=(2k+9)·3k+1+9=(2

31、k+7)·3k+9+36(k+5)·3k-2,因此f(k+1)也能被36整除,故所求m的最大值为36.40D 41B 42C 43C 44（1）（2）见解析45（）0,17.；（）对一切整数n，一定是整数.46（1）详见解析，（2）（且）47(1),；（2）证明如下； 48（1），（2）49（1）；（2），证明见解析. 50见解析 5152见解析 53（1）且；（2）以下用数学归纳法证明这个不等式 54（1）；（2）. 5556（1） ，由此猜想；（2）证明略57（1）；（2）58（1）第五行 第六行 第行等式为： （2）证明见解析59，证明详见解析. （2）假设（且）时等式成立，即60（1）, （2）当或时，;当时，6