高考数学一轮复习2 第2讲　充分条件与必要条件、全称量词与存在量词

1、1 / 14 第 2 讲 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词 最新考纲 考向预测 1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义 2理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 命题 趋势 含有一个量词的命题的否定和充分必要条件的判定是高考的重点，一般多与集合、函数、不等式、立体几何结合，考查考生的推理能力，考查形式以基础题为主，低档难度. 核心 素养 逻辑推理、数学抽象 1充分条件、必要条件与充要条件的概念 若 pq，则 p 是 q 的充分条件，q是 p的必要条件 p是 q 的充分不必要条件 pq且 q / p p是 q 的必要不充分条件 p / q且 qp p是 q

2、 的充要条件 pq p 是 q 的既不充分也不必要条件 p / q且 q / p 注意 不能将“若 p，则 q”与“pq”混为一谈，只有“若 p，则 q”为真命题时，才有“pq”，即“pq”“若 p，则 q”为真命题 2全称命题和特称命题 (1)全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 存在量词 存在一个、至少有一个、 2 / 14 有些、某些等 (2)全称命题和特称命题 名称 形式 全称命题 特称命题 结构 对 m 中任意一个 x， 有 p(x)成立 存在 m 中的一个 x0， 使 p(x0)成立 简记 xm，p(x) x0m，p(x0)

3、否定 x0m，p(x0) xm，p(x) 常用结论 1集合与充要条件：设 p，q成立的对象构成的集合分别为 a，b， (1)p是 q 的充分不必要条件ab； (2)p是 q 的必要不充分条件ab； (3)p是 q 的充要条件ab. 2全称命题与特称命题的否定 (1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写 (2)否定结论：对原命题的结论进行否定 常见误区 1命题的条件与结论不明确致误； 2含有大前提的命题的否命题易出现否定大前提而致误； 3对充分必要条件判断不明致误 1判断正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)当 q是 p 的必要条件时，p是

4、q的充分条件( ) (2)q不是 p 的必要条件时，“p / q”成立( ) (3)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词( ) (4)x0m，p(x0)与xm，p(x)的真假性相反( ) 答案：(1) (2) (3) (4) 2(多选)下列命题的否定是全称命题且为真命题的有( ) 3 / 14 axr，x2x140，所以 ac 均为存在性命题且为假命题，故选 ac. 3设 x0，yr，则“xy”是“x|y|”的( ) a充要条件 b充分不必要条件 c必要不充分条件 d既不充分也不必要条件 解析：选 c.由 xy 推不出 x|y|，由 x|y|能推出 xy，所以“xy”是“x|y|”的必要不

5、充分条件 4 ( 易 错 题 ) 命 题 “ 全 等 三 角 形 的 面 积 一 定 都 相 等 ” 的 否 定 是_ 答案：存在两个全等三角形的面积不相等 5已知 p：x2，q：x22x，则 p是 q的_条件 解析：当 x22x时，两边平方可得(x2)22x，即(x2)(x1)0，解得 x12，x21.当 x1 时，1 1，不成立，故舍去，则 x2.所以 p是 q 的充要条件 答案：充要 全称命题与特称命题 题组练透 1下列命题中的假命题是( ) axr，ex0 bxn，x20 4 / 14 cx0r，ln x01 dx0n*，sin 2x01 解析：选 b.对于 b.当 x0时，x20，因

6、此 b中命题是假命题 2(2021 沈阳市教学质量监测(一)命题 p：x(0，)，x13x15，则p为( ) ax0(0，)，x013x015 bx(0，)，x13x15 cx0(，0)，x013x015 dx(，0)，x13x15 解析：选 a.由全称命题的否定为特称命题知，p为x0(0，)，x013x015，故选 a. 3(多选)(2021 海南海口第四中学期中)下列关于二次函数 y(x2)21 的说法正确的是( ) axr，y(x2)211 ba1，x0r，y(x02)21a ca1，x0r，y(x02)21a 正确；c 项，a1，x0r，y(x02)21a 错误；d项，x1x2，(x1

7、2)21(x22)21正确 4(2020 宁夏石嘴山期中)若命题“tr，t22ta0”是假命题，则实数 a 的取值范围是_ 解析：因为命题“tr，t22ta0”为假命题，所以命题“tr，t22ta0”为真命题，所以 (2)241(a)4a40，即 a1. 答案：(，1 5 / 14 全称命题与特称命题真假的判断方法 命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题 真 所有对象使命题为真 否定为假 假 存在一个对象 使命题为假 否定为真 特称命题 真 存在一个对象 使命题为真 否定为假 假 所有对象使命题为假 否定为真 提醒 因为命题 p 与p 的真假性相反，因此不管是全称命题，还是特称命题，

8、若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假 充分条件、必要条件的判断 (1)(2021 山东烟台一模)设 xr，则“|x2|0”的( ) a充分不必要条件 b必要不充分条件 c充要条件 d既不充分也不必要条件 (2)(2020 高考浙江卷)已知空间中不过同一点的三条直线 l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n 两两相交”的( ) a充分不必要条件 b必要不充分条件 c充分必要条件 d既不充分也不必要条件 【解析】 (1)解不等式|x2|1，即1x21，解得 1x0 即(x1)(x3)0，得 x1. 记 px|1x3，qx|x1 显然 pq，所以“|x2|0”的充分不必要条件故选a.

9、6 / 14 (2)由 m，n，l 在同一平面内，可能有 m，n，l 两两平行，所以 m，n，l 可能没有公共点，所以不能推出 m，n，l 两两相交由 m，n，l 两两相交且 m，n，l 不经过同一点，可设 lma，lnb，mnc，且 an，所以点 a 和直线 n 确定平面 ，而 b，cn，所以 b，c，所以 l，m，所以 m，n，l 在同一平面内，故选 b. 【答案】 (1)a (2)b 充分条件、必要条件的两种判断方法 (1)定义法：根据 pq，qp进行判断，适用于定义、定理判断性问题 (2)集合法：根据 p，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，适用于命题中涉及字母的范围的推断问题

10、 1(2020 高考天津卷)设 ar，则“a1”是“a2a”的( ) a充分不必要条件 b必要不充分条件 c充要条件 d既不充分也不必要条件 解析：选 a.由 a2a 得 a1 或 a1 得 a2a，则“a1”是“a2a”的充分不必要条件，故选 a. 2(2021 开封市第一次模拟考试)若 a，b 是非零向量，则“a b0”是“a与 b 的夹角为锐角”的( ) a充分不必要条件 b必要不充分条件 c充分必要条件 d既不充分也不必要条件 解析：选 b.因为 a，b 为非零向量，a b0，所以由向量数量积的定义知，a与 b 的夹角为锐角或 a 与 b 方向相同；反之，若 a 与 b 的夹角为锐角，

11、由向量数量积的定义知，a b0 成立故“a b0”是“a 与 b 的夹角为锐角”的必要不充分条件故选 b. 充分条件、必要条件的探求及应用 已知条件 p：集合 px|x28x200，条件 q：非空集合 sx|17 / 14 mx1m若 p 是 q的必要条件，求 m的取值范围 【解】 由 x28x200，得2x10， 所以 px|2x10， 由 p 是 q的必要条件，知 sp. 则1m1m，1m2，1m10，所以 0m3. 所以当 0m3时，p是 q的必要条件， 即所求 m 的取值范围是0，3 【引申探究】 1(变问法)本例条件不变，若 xp 的必要条件是 xs，求 m 的取值范围 解：由例题知

12、 px|2x10，若 xp 的必要条件是 xs，即 xs 是xp 的必要条件，所以 ps，所以可以得到1m1m，1m2，1m10，解得 m9.故 m 的取值范围是9，) 2(变问法)本例条件不变，是否存在实数 m，使 xp 是 xs 的充要条件？ 解：不存在实数 m，使 xp 是 xs 的充要条件由例题知 px|2x10若 xp 是 xs 的充要条件，则 ps，所以1m2，1m10，所以m3，m9，故满足题意的 m不存在 利用充要条件求参数的关注点 (1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解 (2)端点

13、取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍 8 / 14 1命题“x1，3，x2a0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) aa9 ba9 ca10 da10 解析：选 c.命题x1，3，x2a0 x1，3，x2a9a.则“a10”是命题“x1，3，x2a0”为真命题的一个充分不必要条件故选 c. 2(2021 武汉质检)关于 x 的方程 ax2bxc0(a0)有一个正根和一个负根的充要条件是_ 解 析 ： ax2 bx c 0(a0) 有 一 个 正 根 和 一 个 负 根 的 充 要 条 件 是b24ac0，ca0. 即 ac0. 答案：ac0 核心素养系列 2

14、 逻辑推理突破双变量“存在性或任意性”问题 逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎 已知函数 f(x)x3(1a)x2a(a2)x，g(x)196x13，若对任意 x11，1，总存在 x20，2，使得 f(x1)2ax1g(x2)成立，求实数 a 的取值范围 【解】 由题意知，g(x)在0，2上的值域为13，6 . 令 h(x)f(x)2ax3x22xa(a2)， 则 h(x)6x2，由 h(x)0得 x13. 当 x1，13时，h(x)0，所以h(x)min

15、9 / 14 h13a22a13. 又由题意可知，h(x)的值域是13，6 的子集，所以h（1）6，a22a1313，h（1）6， 解得实数 a 的取值范围是2，0 (1)理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键此类问题求解的策略是“等价转化”，即“函数 f(x)的值域是 g(x)的值域的子集”，从而利用包含关系构建关于 a 的不等式组，求得参数的取值范围 (2)解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质 1已知函数 f(x)x22x3，g(x)l

16、og2xm，对任意的 x1，x21，4有f(x1)g(x2)恒成立，则实数 m的取值范围是_ 解析：f(x)x22x3(x1)22，当 x1，4时，f(x)minf(1)2，g(x)maxg(4)2m，则 f(x)ming(x)max，即 22m，解得 m2n，则p为( ) ann，n22n bxn，n22n cnn，n22n dnn，n22n 解析：选 c.因为特称命题的否定是把存在量词改为全称量词，同时否定结论，所以p：nn，n22n，故选 c. 3设 u 为全集，a，b 是集合，则“存在集合 c 使得 ac，buc” 是“ab”的( ) a充分不必要条件 b必要不充分条件 c充要条件 d

17、既不充分也不必要条件 解析：选 a.由 ac，buc，易知 ab，但 ab时未必有 ac，buc，如图所示，所以“存在集合 c 使得 ac，buc”是“ab”的充分不必要条件 4已知 f(x)sin xx，命题 p：x0，2，f(x)0，则( ) ap是假命题，p：x0，2，f(x)0 bp是假命题，p：x0，2，f(x)0 11 / 14 cp是真命题，p：x0，2，f(x)0 dp是真命题，p：x0，2，f(x)0 解析：选 c.由已知得，f(x)cos x10，所以 f(x)在0，2上是减函数，因为 f(0)0，所以 f(x)0，所以命题 p：x0，2，f(x)0 是真命题，p：x0，2

18、，f(x)0，故选 c. 5(2021 西安五校联考)“ln(x1)0”是“x22x0”的( ) a充分不必要条件 b必要不充分条件 c充要条件 d既不充分也不必要条件 解析：选 a.由 ln(x1)0得 0 x11，1x0，由 x22x0得2x0，所以“ln(x1)0”是“x22x0”的充分不必要条件，故选 a. 6(2021 山东潍坊一模)“a0，x21xa”的( ) a充分不必要条件 b必要不充分条件 c充要条件 d既不充分也不必要条件 解析：选 a.当 x0 时，x21xx1x，由均值不等式可得 x1x2x1x2，当且仅当 x1x，即 x1时等号成立 所以x21xa 的充要条件为 a2

19、.(实质就是条件的等价转化) 显然“a1”是“a2”的充分不必要条件， 所以“a0，x21xa”的充分不必要条件故选 a. 7(多选)已知 a，b，c 是实数，则下列结论中正确的是( ) a“a2b2”是“ab”的充分条件 12 / 14 b“a2b2”是“ab”的必要条件 c“ac2bc2”是“ab”的充分条件 d“|a|b|”是“ab”的既不充分也不必要条件 解析：选 cd.对于 a，当 a5，b1 时，满足 a2b2，但是 ab，但是 a2bc2得 c0，则有 ab 成立，即充分性成立，故正确；对于 d，当 a5，b1 时，|a|b|成立，但是 ab，但是|a|b|”是“ab”的既不充分

20、也不必要条件故选 cd. 8(多选)下列说法正确的是( ) a“x4”是“tan x1”的充分不必要条件 b定义在a，b上的偶函数 f(x)x2(a5)xb 的最大值为 30 c命题“x0r，x01x02”的否定是“xr，x1x2” d函数 ysin xcos x 2无零点 解析：选 ab.由 x4，得 tan x1，但有 tan x1 推不出 x4，所以“x4”是“tan x1”的充分不必要条件，所以 a 是正确的；若定义在a，b上的函数 f(x)x2(a5)xb 是偶函数，则a50，ab0，得a5，b5，则 f(x)x25，在5，5上的最大值为 30，所以 b 是正确的；命题“x0r，x01x02”的否定是“xr，x1xx1”，则命题 p 可写为_ 解析：因为 p 是p 的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可 答案：x0(0，)，