高中数学选修一抛物线的简单几何性质 (2)

1、- 1 - / 8 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质 （4545 分钟分钟 100100 分）分） 一、选择题一、选择题( (每小题每小题 6 6 分分, ,共共 3030 分分) ) 1.(2013济宁高二检测)设抛物线 y2=12x 的焦点为 f,点 p 在此抛物线上且横坐标为 5,则|pf|等于( ) a.4 b.6 c.8 d.10 2.(2013宜春高二检测)抛物线顶点在原点,焦点在 y 轴上,其上一点 p(m,1)到焦点的距离为 5,则抛物线方程为( ) a.x2=8y b.x2=-8y c.x2=16y d.x2=-16y 3.(2013四川高考)抛物线 y2=8x 的焦

2、点到直线 x-y=0 的距离是( ) a.2 b.2 c. d.1 4.(2013冀州高二检测)设 f 为抛物线 y2=2px(p0)的焦点,a,b,c 为该抛物线上三点,当+=0,且|+|+|=3 时,此抛物线的方程为( ) a.y2=2x b.y2=4x c.y2=6x d.y2=8x 5.点 a 是抛物线 c1:y2=2px(p0)与双曲线 c2:-=1(a0,b0)的一条渐近线的交点,若点 a 到抛物线 c1的准线的距离为 p,则双曲线 c2的离心率等于( ) a. b. c. d. 二、填空题二、填空题( (每小题每小题 8 8 分分, ,共共 2424 分分) ) 6.(2013安

3、阳高二检测)经过抛物线 y= x2的焦点作直线交抛物线于 a(x1,y1), - 2 - / 8 b(x2,y2)两点,若 y1+y2=5,则线段 ab 的长等于 . 7.已知点(-2,3)与抛物线 y2=2px(p0)的焦点的距离是 5,则 p= . 8.(2013天水高二检测)ab 是过 c:y2=4x 焦点的弦,且|ab|=10,则 ab 中点的横坐标是 . 三、解答题三、解答题(9(9 题题,10,10 题题 1414 分分,11,11 题题 1818 分分) ) 9.若抛物线的顶点在原点,开口向上,f 为焦点,m 为准线与 y 轴的交点,a 为抛物线上一点,且|am|=,|af|=3

4、,求此抛物线的标准方程. 10.直角aob 的三个顶点都在抛物线 y2=2px 上,其中直角顶点 o 为原点,oa 所在直线的方程为 y=x,aob 的面积为 6,求该抛物线的方程. 11.(能力挑战题)如图,已知直线 l:y=2x-4 交抛物线 y2=4x 于 a,b 两点,试在抛物线 aob 这段曲线上求一点 p,使pab 的面积最大,并求出这个最大面积. 答案解析答案解析 1.【解析】选 c.y2=12x 中,p=6,由焦半径公式得|pf|=xp+ =5+ =8. - 3 - / 8 2.【解题指南】运用焦半径公式. 【解析】选 c.由条件可知,抛物线开口向上,设抛物线方程为 x2=2p

5、y(p0),由1+ =5. p=8,故抛物线方程为 x2=16y. 3.【解析】选 d.根据点到直线的距离公式,可得抛物线 y2=8x 的焦点(2,0)到直线 x-y=0 的距离 d=1. 4.【解题指南】利用向量的性质及焦半径公式求解. 【解析】选 a.设 a(x1,y1),b(x2,y2),c(x3,y3), +=0, (x1- )+(x2- )+(x3- )=0, 即 x1+x2+x3= p. 又|+|+|=3, (x1+ )+(x2+ )+(x3+ )=3, 即 3p=3, p=1,故抛物线方徎为 y2=2x. 5.【解析】选 c.求抛物线 c1:y2=2px(p0)与双曲线 c2:-

6、=1(a0,b0)的一条渐近线的交点: - 4 - / 8 解得所以= ,c2=5a2,e=,选 c. 【变式备选】(2013南安高二检测)双曲线-=1(a0,b0)的右焦点是抛物线 y2=8x 的焦点,两曲线的一个公共点为 p,且|pf|=5,则该双曲线的离心率为 ( ) a. b. c.2 d. 【解析】选 c.抛物线的准线为 x=-2,设 p(x0,y0), 则 x0+2=5, x0=3,=24. 解得 离心率 e= =2. 6.【解题指南】利用焦点弦的弦长公式,即 y1+y2+p. 【解析】抛物线 y= x2,即 x2=4y 的准线方程为 y=-1, |ab|=|af|+|bf|=y1

7、+y2+2=5+2=7. 答案:7 7.【解析】y2=2px(p0)的焦点为( ,0).由题意得 - 5 - / 8 =5,解得 p=4 或 p=-12(舍去). 答案:4 【误区警示】容易把点(-2,3)看成抛物线上的点,使用焦半径公式,而导致出错. 8.【解题指南】利用焦点弦公式. 【解析】设 a(x1,y1),b(x2,y2),则 ab 的中点的横坐标 x0=. 又抛物线的准线方程为 x=-1,且|ab|=10, x1+x2+p=x1+x2+2=10. x1+x2=8,=4. 答案:4 9.【解析】设所求抛物线的标准方程为 x2=2py(p0),设 a(x0,y0),m(0,- ). |

8、af|=3,y0+ =3, |am|=,+(y0+ )2=17, =8,代入方程=2py0得, 8=2p(3- ),解得 p=2 或 p=4. 所求抛物线的标准方程为 x2=4y 或 x2=8y. 10.【解题指南】运用解方程组分别求出 a,b 坐标,从而求出|oa|和|ob|,利用面积公式求出 p 即可. 【解析】因为 oaob,且 oa 所在直线的方程为 y=x,所以 ob 所在直线的方程- 6 - / 8 为 y=-x. 由得 a 点坐标(,), 由得 b 点坐标(6p,-2p). |oa|= |p|,|ob|=4|p|, soab=p2=6,所以 p= . 即该抛物线的方程为 y2=3

9、x 或 y2=-3x. 【拓展提升】抛物线中恒过定点问题 过抛物线 y2=2px(p0)的顶点任作两条互相垂直的直线 oa 和 ob,则直线 ab 恒过定点(2p,0). 【举一反三】若本题中 oa 的直线方程为 y=kx,“aob 的面积为 6”去掉,证明 ab 恒过定点(2p,0). 【证明】由得 a 的坐标为(,), oaob,ob 的直线方程为 y=- x. 由得 b 的坐标为(2pk2,-2pk). - 7 - / 8 kab=, ab 的方程为 y+2pk=(x-2pk2), 整理得 k(x-2p)+(k2-1)y=0. 由得 故直线恒过定点(2p,0). 11.【解题指南】先求出弦长|ab|,再求出点 p 到直线 ab 的距离,从而可表示出pab 的面积,再求最大值即可. 【解析】由解得或 a(4,4),b(1,-2), |ab|=3,设 p(x0,y0)为抛物线 aob 这段曲线上一点,d 为点 p 到直线 ab 的距离,则有 d=|-y0