专题一--乘法公式及应用

1、专题一一乘法公式及应用专题一乘法公式的复习一、复习：(a+b) (a-b)=a2-b2(a+b) 2=a2+2ab+b2(a-b) 2=a2-2ab+b2(a+b) (a2-ab+b2) =a3+b3(a-b) (a2+ab+b2)=a3-b3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：位置变化，(丹力(-丹 符号变化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-=，一，指数变化，(/炉)(f-分4-/系数变化，(2avb)(2a-b)=4a-l/ 换式变化，到*>+切盯Tz+妫=(劝”+助2=y/-<Z+2Z7)(2+ZD)=x y-z +z哈2 22 c 2-xyz -2zm-in 增项变

2、化，(>丹2)(尸尸2)-xy-xy¥/-z=x-2xy+y-z连用公式变化，Q+力(aj)(系+力 逆用公式变化9 (x-y+z)2-(xy-zj2=(x-y+z)+(x+yz) ( a 丹 z)-(日尸 z)=2x(-2y+2z)-xyrAxz例 1.已知a+6 = 2, ab = l9 解：V (a + b)2 = a2 +2ab + b2 a+ b = 2 9 ab= 1例2.已知 + 6 = 8, ab = 2 , 解：V (a + by = a' + 2ab-vb' (a +b)2 (a - bp - 4a hT a + b = 8 , ah = 2

3、求/+/的值。：.a2 +b2 = (a + b)2 -2ab.of 2? - 2x1 = 2求("b)2的值。(a-b)2 = a -2ab + b2：.(a-b)2 -4ab=(a-b)2.(a-b)2 =8?-4x2 = 56例 3：计算 1999?-2000X1998例 4：已知 a+b=2, ab=l,求 £+b?和(a-b)?的值。例 5：已知 x-y=2, y-z=2, x+z= 14。求 x?-z?的值。例6：判断(2+1)例2+1) (24+1)(22048+1 ) +1的个位数字是几?例7.运用公式简便计算(1) 1032(2) 1982例8.计算(1)

4、 (ayib-3c)(a-4b-3c)(2) (3x+尸2)(3x丹2)例9.解下列各式(1)已知最h&2=13, ab=6,求('E，(a-b1的值。(2)已知'6)2=7, (a-6)2=4,求 4+3,助 的值。(3)巳知"(热_彷=2,求与心的值。(4)已知工=3,求工4+的值。 XX例11.计算 (1)(f-刘4)2(2) (3处八0)2两数和的平方的推广(升/Hc)2=(a+8)+c2 =(a4-Z>)2+2(a4-A)- cH-c2 =a2+2aZH-Z>2+2a<H-2/>cH-c2=a2+A2 4-c2 -i-2abi

5、-2bc+2acBp (a+ZH-c)2=a2+A2+c2+2abi-2bci-2ac几个数的和的平方，等于它们的平方和加上每两个数的积的2倍。二、乘法公式的用法(一)、套用：这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公 式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能 提高学生的观察能力。例L计算：(51+3力何一3力 解：原式=何-(3/=25/-9寸(二)、连用：连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。例 2.计算：(1-必 + 1)(/ + 1)(/ + 1)例 3.计算：(3x + 2y-5z+1、一3工 + 2)'-5z-1)三、逆用：学习公式不能只会

6、正向运用，有时还需要将公式左、右两边 交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。例 4. 计算：(5a + lb-8c)2-(56/-7/7 + 8c)2四、变用：题目变形后运用公式解题。例 5.计算：(x + y - 2z)(x + y + 6z)五、活用：把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公式 为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：1. (a + b) - 2ab = a1 4- b22. (a - b)' + lab = a' +b23. (a + b)2 + (a-b)2 =2(a2 +b2)4. (a + b) (a b)'

7、; = 4ab灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用 知识的能力。例6.已知”-/2 = 4,必=5,求/+"的值。解：a2 +b2 = （ci b） + 2ah = 42 + 2 x 5 = 26例 7.计算：(ci + b + c d)' +(b + c + d a)三、学习乘法公式应注意的问题（一）、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”.例 1 计算（-2-5） （2x-5）分析：本题两个因式中“-5”相同，符号相反，因而“-5”是 公式（行6）（廿6）=3-4中的劣而“2V”则是公式中的b.解：原式=（-5-2力（-5+2右=（-5）2-（

8、2力2=25-4/例2计算（-淋+46）2分析：运用公式时，“-才”就是公式中的出 “dA” 就是公式中的6;若将题目变形为（46才）2时，则“46”是公式中的当而 “才”就是公式中的儿（解略）（二）、注意为使用公式创造条件例3计算（2广广z+5） （2r j+z+5）.分析：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“2/、 “5”两项同号，“一、“z”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原 式变形为符合平方差公式的形式.解：原式二（2户5） + （厂z） （2户5） - （厂z）二（2户5产-（厂力2=4x +20户25-尹2yzrz .例4计算（年1）2（3+91）2（3+才+1）2

9、分析：若先用完全平方公式展开，运算十分繁冗，但注意逆用嘉的运 算法则，则可利用乘法公式，使运算简便.解：原式二（a-1）（3+K1）（3+，+1）2= (a3-l) (aW+l)2= (a9-l)2=a18-2a9+l例 5 计算(2+1) (22+l) (24+l) (28+l).分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项(2-1), 则可运用公式，使问题化繁为简.解：原式二(2-1) (2+1) (2?+1) (2,+1) (241)= (2 -1) (22+1) (24+1) (28+1)=(24-1) (24+1) (28+1)=(2-1) (28+1)=216-1(三)、注

10、意公式的推广计算多项式的平方，由(/6)2=3+24什应 可推广得到：(a+Mc) 2=a+l/+c+2at2ac2bc.可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2 倍.例6计算(2封尸3)之解：原式=(24+，+(-3) 2+2 2x /2 2x(-3) +2 y(-3)=4x +六9+4 孙 12r 6y.(四)、注意公式的变换，灵活运用变形公式例7 (1)已知户片10, y+/=100,求/+/的值；已知：a+2j=7, xj=6,求(尸2"的值.分析：粗看似乎无从下手，但注意到乘法公式的下列变形：y+/= y) 2-2xy9 /+声(户y)力3可(广力，(a

11、+t> 2-47,问题则十分简单.解：,."+/=(广力。3盯(户力,将已知条件代入得lOCMOY灯10, :.7=30 故 jr2+/=(产0 2-2xy=102-2 X 30=40.(2)(方2。2=(户20 2-8aj=72-8 X6=l.例 8 计算(a+ZH"C)'(a+Z?-c) ?+(a-c)+ (6界。)2.分析：直接展开，运算较繁，但注意到由和及差的完全平方公式可变 换出(行6)2+(年8)2=2(3+为，因而问题容易解决.解：原式=(a+6) +°了+ (/8) -cr+c+(a-8) 2+c(a-8) 了=2()2+c2+2c2

12、+(a-A)2=2 (a+A) 2+ (a62 +4c2=4a2+4h2+4c2(五)、注意乘法公式的逆运用例 9 计算(a-2>3cy- (a+2/?-3c)T分析：若按完全平方公式展开，再相减，运算繁杂，但逆用平方差公式，则能使运算简便得多.解：原式二+=2 a (-4 从6 <?)=-8 物 123c.例 10 计算(23力)2-2(25+38) (564a)+ (4a-58)2分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆用完 全平方公式，则运算更为简便.解：原式=(2a+3» 2+2 (2a+38) (4年56) + (4年56)2二(2 卅 3b)

13、+ (4a-5b)了二(6a-28)2=36 齐 24 物4 4四、怎样熟练运用公式：(一)、明确公式的结构特征这是正确运用公式的前提，如平方差公式的结构特征是：符号左边是 两个二项式相乘，且在这四项中有两项完全相同，另两项是互为相反数； 等号右边是乘式中两项的平方差，且是相同项的平方减去相反项的平方.明 确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式.(二，理解字母的广泛含义乘法公式中的字母3、6可以是具体的数，也可以是单项式或多项式.理 解了字母含义的广泛性，就能在更广泛的范围内正确运用公式.如计算 (户2y3z) 2,若视鼾2y为公式中的a, 3z为b,则就可用(aA) 2=a 2abl

14、)来解 了。(三)、熟悉常见的几种变化有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算，此 时要根据公式特征，合理调整变化，使其满足公式特点.常见的几种变化是：1、位置变化 如(3K5y) (5y-3x)交换3x和5y的位置后即可用平 方差公式计算了.2、符号变化 如(-2m一7/7)(2o7)变为一(2加7刀)(2mIn) 后就可用平方差公式求解了(思考：不变或不这样变，可以吗？)3、数字变化 如 98X102, 992, 9V等分别变为(100-2) (100+2), (100 -1)。(90+1) 2后就能够用乘法公式加以解答了.4、系数变化 如(4切；)(21)变为2 (2加2

15、)(21)后即可2444用平方差公式进行计算了.5、项数变化 如(户3t+2z) (x3j+6z)变为(a+3j+4z2z) (x 3yHK2z)后再适当分组就可以用乘法公式来解了.7(四)、注意公式的灵活运用有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计 算更简便.如计算(3+1) 2.(才一1) 2,若分别展开后再相乘，则比较繁 琐，若逆用积的乘方法则后再进一步计算，则非常简便.即原式式(a2+l) (才-1) 2= (a41) 2=a23+1 .对数学公式只会顺向(从左到右)运用是远远不够的，还要注意逆向 (从右到左)运用.如计算(1一；)(1一；)(1一)>(1-9

16、)(1一7),2'3-4*9'10"若分别算出各因式的值后再行相乘，不仅计算繁难，而且容易出错.若注 意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式，则可巧解本题.即原式(1-i) (1+1)(1-1)(1+1) XX (1-1)(1+1)=1X 乙，JJ1 v/M3 X2 X 4 X9X 9 X11 = 1 X 11 = 112 3 3 Io To Io - 20 e有时有些问题不能直接用乘法公式解决，而要用到乘法公式的变式， 乘法公式的变式主要有：W+6= (a+Z?) 22ab, M+6= (a6) ?+2a6等.用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效.如已知研zf