集合中元素个数的探究及应用

1、集合中元素个数的探究及应用【教材位置】必修1集合第13-14页.【基础知识】淫习集合的子交并补运算，及其符号表示、venn图表示.【教学目标】1、了解集合元素个数的表示法；2、理解两(三)个元索集合的交、并集的元索个数的求法；3、会求两(三)个元素集合的交、并集的元素个数；4、了解venn图在集合屮的作用，并会用venn图分析集合问题；5、了解有限集与无限集元素个数的区别.【教学过程】一、有限集元索个数记法把含有有限个元素的集合a叫做有限集，用card (a)表示集合a中元素的个 数(card是英sc cardicardal(基数)的缩写,有的教材如记作n(a)例如:集 合a=a, b, c中

2、有三个元素,我们记作card(a) =3.二、问题引入学校小卖部进了两次货，第一次进的货是铅笔、水笔、橡皮、笔记本、方便 而、矿泉水共6种，第二次进的货是铅笔、圆珠笔、火腿肠、方便而共4种，两 次一共进了儿种货？分析：用集合的角度考虑问题记第一次进货的品种为集合a,第二次进货 的品种为集合b.则a=铅笔、水笔、橡皮、笔记木、方便面、矿泉水,b=铅笔、圆珠笔、火腿肠、方便而这里card (a) =6, card (b) =4.求两次一共进了儿种货？指的是card (a u b) 而两次进货里有同的品种，相同品种个数实际就是card(aab).因此 card (a u b)二8, card (a

3、q b) =2.三、结论的探究与证明探究一：两个有限集合的并集中元素个数问题.若 adb=，显然有 card (a u b) =card (a) +card (b)；若aqbh，利用venn图表示如图1,”card (aub)与 card (a) +card (b)相比, 后者比前者多了二者的公共部分(即 card(aab),由此我们可得结论1：已知两个有限集合a, b,有:u b)二card(a)+ card(b) -card(a a b).探究二：三个集合的并集中元素的个数问题.为了便于说清楚问题，我们考虑aceh®、cqbh、ac1ch、anbaco的情况，利用维恩图表示如图2

4、,相对 card(aubuc)来说 card (a) +card (b) +card (c)的数目中多计了 a, c, d 一次，b两次，由此建立等量关系式：a=card(a ab)-card(a a b a c),c=card(ba c)-card(a a b a c),d 二 card (a q c) -card (a abac)故 card (a u b u c)=card (a)+card(b)+card(c)- l card (a a b)-card(a a b a c)-card (b a c)-card(a a b a c)- card (a d c) -card (a d b

5、d c)-2card (aqbqc)整理得，card(aubuc)=card (a) +card (b) +card (c) -card (a a b) -card (a a c) -card (b a c) +card (a a ba 0,由此我们可得结论 2：已知三个有限集合 a, b, c,有 card (a u b u c) = card (a) +card (b) + card (c)-card (a ab)-card(a ac)-card(b ac)+card(a a b a c).四、应用举例例i学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次 球类运动会，这个班冇1

6、2名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人，两次运动 会中，这个班共有多少名同学参赛？分析：设a为iii径运动会参赛的学生的集合，b为球类运动会参赛的学生的 集合，那么aab就是两次运动会都参赛的学生的集合,card (a), card (b), card (a a b)是已知的，于是可以根据上面的公式求出card (a u b).解：设2田径运动会参赛的学生, b=球类运动会参赛的学生, aab=两次运动会都参赛的学生,aub=所有参赛的学生 因此 card (a u b) =card (a) +card (b) -card (a a b) =8+12-3=17. 答：两次运动会中，这个班共有1

7、7名同学参赛.例2某校对68名学生去游览a、b、c三个公园的情况进行调查，统计结果 如下：(1) 每个人至少去过a、b、c三个公园中的一个；(2) 到过a和b, b和c, c和a两个公园的人数分别为25人，21人，19 人；(3) 到过a或b, b或c, c或a公园的人数分别为60人，59人，56人. 试问，这些学生到过a、b、c公园的人数分别各为多少？三个公园都到过的学生有多少？分析：本题是关于集合屮元素个数公式的运用的一个题目，主要是考察学生 对集合中元素个数的理解与两个集合与它们交，并这四个集合间的元素个数公式 的运用对于第二问应该要从题口各个条件的分析屮找到答案.解：设人二去过a公园游

8、览的学生; b=去过b公园游览的学生；c=去过c公园游览的学生 ； aub=去过a或b公园游览的学生；buc=去过b或c公园游览的学生 ； cua=去过c或a公园游览的学生 aubuc=去过a,或b或c公园游览的学生；aab-既去过a也去过b公园游览的学生bnc=既去过b也去过c公园游览的学生cq人二既去过c也去过a公园游览的学生 anbac=三个公园都去游览过的学生由题意 card(aubuc)=68； card (a ab) =25； card (b pc) =21； card(c qa) =19； card (a ub)=60, card(b uc)=59, card(c ua)=56(

9、1)由公式:card (a) +card (b) =card (a a b) +card (a u b)card(b) +card(c)=card(ba c)+card (buc)card(c)+card(a)=card(ca a)+card (cua)得：card (a) +card (b) =85card(b)+card(c) =80card (c)+card(a) =75由得 card (a)二40, card (b)二45, card (c) =35.(2)由公式 card(aubuc)=card (a) +card (b) +card (c) -card (a a b) -card

10、(a a c) -card (b a c) +card (a ab a 0得 68=40+45+35-25-21-19+card (a q b q c),所以，card (an ba c)=13答：学生到过a、b> c公园的人数分别为40人、45人、35人，三个公园都 到过的学生有13人.五、无限集中的元素个数思考：“冇限集合屮元素的个数，我们可以一一数岀来，而对于元素个数无 限的集合，如:a二1,2, 3,4,，n, , b=2, 4, 6, 8,，2n,我们 无法数出集合屮的元素个数，但可以比较这两个集合的元素个数的多少。你能设 计一个比较这两个集合中元索个数多少的方法吗？ ”等势的

11、定义：设a, b为两个集合，若在a, bz间存在着一一对应的关系： y： a-b （即集合a屮的每一个元素都冇集合b屮惟一的一个元素与z对应，集 合b中的每一个元素都有集合a中的惟一的一个元素与之对应），则称a与!3 是对等的，记作：ab,也称集合a, b等势（equipotent）.康托尔也提出用一 一对应准则來比较无穷集元索的个数，把元索间能建立一一对应的集合称为个数 相同，即称为等势.冇点像函数屮的对应.那么由“等势”的概念，集合a二1,2, 3, 4,n,与集合b二2, 4, 6, 8,，2n,是可以找到一个一一对应的，集合a屮的每一个元素都有集合 b中惟一的一个元索与之对应，集合b中

12、的每一个元索都冇集合a中的惟一的一 个元素与z对应，所以两个集合中的元素个数是相同的，即等势.任何一个冇限集都不能与它的一个真子集建立一一对应的关系，对于无穷集 这一点就不成立了.从而表面上看，有限集和无限集只是数量上的差别，但是却 从“量变”引起了 “质变” 因此，一个无穷集可以定义为能够与它的一个真子 集一一对应的集.无限集合有许多冇限集合所没冇的特征，而冇限集合的一些特 征也不能任意推广到无限集合中去，即使有的能推广，也要做某些意义上的修改.六、课后练习1.某班的54名学生对美术选修专题素描和速写的选择情况如下（每位学生至少选1个专题):两个专题都选的有6人，选速写的学生数比选素 描的多

13、8人，则只选修了素描的学生有人.解析:根据已知条件设选修专题素描的学生为x,结合card (aub)=card (a) +card (b) -card (aab),构造关于x的方程，解出x值后，进而可得只 选修了索描的学生人数.解：设a=选修专题素描的学生, b=选修专题速写的学生,则 人213二某班全体学生设 card (a) =x,贝ij card (b)二x+8, card (aub) =54 , card (aab) =6vcard (aub)二card (a) +card (b) -card (aab)54二2x+2解得x=26则只选修了素描的学生有26-6=20人.2已知 card (m) =10, acm, bcm, aab=0, card (a)二2, card (b) 二3若集合x满足axcy,则集合x的个数是；若集合y满足yum,且aqy, bqy,则集合y的个数是(用数字