2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(大纲全国卷)文

1、2014年普通高等学校招生全国统一考试(大纲全国卷)数学(文科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014大纲全国,文1)设集合m=1,2,4,6,8,n=1,2,3,5,6,7,则mn中元素的个数为().a.2b.3c.5d.7答案:b解析:m=1,2,4,6,8,n=1,2,3,5,6,7,mn=1,2,6,mn中元素的个数为3,故选b.2.(2014大纲全国,文2)已知角的终边经过点(-4,3),则cos =().a.45b.35c.-35d.-45答案:d解析:设角的终边上点(-4,3)到原点o的距离为r,则r=(-4)

2、2+32=5,由余弦函数的定义,得cos =xr=-45,故选d.3.(2014大纲全国,文3)不等式组x(x+2)>0,|x|<1的解集为().a.x|-2<x<-1b.x|-1<x<0c.x|0<x<1d.x|x>1答案:c解析:x(x+2)>0,|x|<1,由得,x<-2或x>0,由得,-1<x<1,因此原不等式组的解集为x|0<x<1,故选c.4.(2014大纲全国,文4)已知正四面体abcd中,e是ab的中点,则异面直线ce与bd所成角的余弦值为().a.16b.36c.13d.33

3、答案:b解析:如图所示,取ad的中点f,连ef,cf,则efbd,异面直线ce与bd所成的角即为ce与ef所成的角cef.由题知,abc,adc为正三角形,设ab=2,则ce=cf=3,ef=12bd=1.在cef中,由余弦定理,得coscef=ce2+ef2-cf22ce·ef=(3)2+12-(3)22×3×1=36,故选b.5.(2014大纲全国,文5)函数y=ln(3x+1)(x>-1)的反函数是().a.y=(1-ex)3(x>-1)b.y=(ex-1)3(x>-1)c.y=(1-ex)3(xr)d.y=(ex-1)3(xr)答案:d解

4、析:由y=ln(3x+1),得ey=3x+1,3x=ey-1,x=(ey-1)3,f-1(x)=(ex-1)3.x>-1,yr,即反函数的定义域为r.反函数为y=(ex-1)3(xr),故选d.6.(2014大纲全国,文6)已知a,b为单位向量,其夹角为60°,则(2a-b)·b=().a.-1b.0c.1d.2答案:b解析:由已知得|a|=|b|=1,<a,b>=60°,(2a-b)·b=2a·b-b2=2|a|b|cos<a,b>-|b|2=2×1×1×cos 60°-1

5、2=0,故选b.7.(2014大纲全国,文7)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有().a.60种b.70种c.75种d.150种答案:c解析:从6名男医生中选出2名有c62种选法,从5名女医生中选出1名有c51种选法,故共有c62·c51=6×52×1×5=75种选法,选c.8.(2014大纲全国,文8)设等比数列an的前n项和为sn.若s2=3,s4=15,则s6=().a.31b.32c.63d.64答案:c解析:s2=3,s4=15,由等比数列前n项和的性质,得s2,s4-s2,s6-s4成等

6、比数列,(s4-s2)2=s2(s6-s4),即(15-3)2=3(s6-15),解得s6=63,故选c.9.(2014大纲全国,文9)已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为f1,f2,离心率为33,过f2的直线l交c于a,b两点.若af1b的周长为43,则c的方程为().a.x23+y22=1b.x23+y2=1c.x212+y28=1d.x212+y24=1答案:a解析:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为33,ca=33,abc=363.又过f2的直线l交椭圆于a,b两点,af1b的周长为43,4a=43,a=3.b=2,椭圆方程

7、为x23+y22=1,选a.10.(2014大纲全国,文10)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为().a.814b.16c.9d.274答案:a解析:由图知,r2=(4-r)2+2,r2=16-8r+r2+2,r=94,s表=4r2=4×8116=814,选a.11.(2014大纲全国,文11)双曲线c:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为3,则c的焦距等于().a.2b.22c.4d.42答案:c解析:e=2,ca=2.设焦点f2(c,0)到渐近线y=bax的距离为3,渐近线方程为bx-a

8、y=0,|bc-a×0|b2+a2=3.c2=a2+b2,b=3.由ca=2,得cc2-b2=2,c2c2-3=4,解得c=2.焦距2c=4,故选c.12.(2014大纲全国,文12)奇函数f(x)的定义域为r.若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=().a.-2b.-1c.0d.1答案:d解析:奇函数f(x)的定义域为r,f(-x)=-f(x),且f(0)=0.f(x+2)为偶函数,f(-x+2)=f(x+2).f(x+2)+2=f(-x-2+2)=f(-x)=-f(x),即f(x+4)=-f(x).f(x+8)=f(x+4)+4=-f(x+4)=-(-f(

9、x)=f(x).f(x)是以8为周期的周期函数,f(8)=f(0)=0,f(9)=f(8+1)=f(1)=1.f(8)+f(9)=0+1=1.故选d.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2014大纲全国,文13)(x-2)6的展开式中x3的系数为.(用数字作答) 答案:-160解析:由通项公式得t4=c63x6-3(-2)3=-8c63x3,故展开式中x3的系数为-8c63=-8×6×5×43×2×1=-160.14.(2014大纲全国,文14)函数y=cos 2x+2sin x的最大值为. 答案:32解析:y=

10、cos 2x+2sin x=1-2sin2x+2sin x=-2sinx-122+32,当sin x=12时,ymax=32.15.(2014大纲全国,文15)设x,y满足约束条件x-y0,x+2y3,x-2y1,则z=x+4y的最大值为. 答案:5解析:画出x,y的可行域如图阴影区域.由z=x+4y,得y=-14x+z4.先画出直线y=-14x,再平移直线y=-14x,当经过点b(1,1)时,z=x+4y取得最大值为5.16.(2014大纲全国,文16)直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线.若l1与l2的交点为(1,3),则l1与l2的夹角的正切值等于. 答案:43

11、解析:如图所示,设l1与圆o:x2+y2=2相切于点b,l2与圆o:x2+y2=2相切于点c,则ob=2,oa=10,ab=22.tan =obab=222=12.tanbac=tan 2=2tan1-tan2=2×121-14=43.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)(2014大纲全国,文17)数列an满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.(1)设bn=an+1-an,证明bn是等差数列;(2)求an的通项公式.分析:本题主要考查等差数列的概念、通项公式以及累加法求数列通项公式.(1)可用定义证明bn+1-bn=2(常数

12、)即可.(2)利用(1)的结果,求出bn的通项公式及an+1-an的表达式,再用累加法可求数列an的通项公式.(1)证明:由an+2=2an+1-an+2得an+2-an+1=an+1-an+2,即bn+1=bn+2.又b1=a2-a1=1,所以bn是首项为1,公差为2的等差数列.(2)解:由(1)得bn=1+2(n-1),即an+1-an=2n-1.于是k=1n(ak+1-ak)=k=1n(2k-1),所以an+1-a1=n2,即an+1=n2+a1.又a1=1,所以an的通项公式为an=n2-2n+2.18.(本小题满分12分)(2014大纲全国,文18)abc的内角a,b,c的对边分别为

13、a,b,c,已知3acos c=2ccos a,tan a=13,求b.分析:先由已知及正弦定理,将边的关系转化为角的关系,再由同角三角函数基本关系化弦为切,求出tan c.根据三角形内角和定理及两角和的正切公式求出tan b,即可求角b.解:由题设和正弦定理得3sin acos c=2sin ccos a.故3tan acos c=2sin c,因为tan a=13,所以cos c=2sin c,tan c=12.所以tan b=tan180°-(a+c)=-tan(a+c)=tana+tanctanatanc-1=-1,即b=135°.19.(本小题满分12分)(201

14、4大纲全国,文19)如图,三棱柱abc-a1b1c1中,点a1在平面abc内的射影d在ac上,acb=90°,bc=1,ac=cc1=2.(1)证明:ac1a1b;(2)设直线aa1与平面bcc1b1的距离为3,求二面角a1-ab-c的大小.分析:解法一:(1)由已知可证平面aa1c1c平面abc,再由面面垂直证线面垂直,利用三垂线定理即得线线垂直.(2)为利用已知,先寻找并证明aa1与平面bcc1b1的距离为a1e.再由三垂线定理,确定二面角a1-ab-c的平面角为a1fd.最后通过解直角三角形求出a1fd的正切值,即可得出二面角的大小.解法二:建立空间直角坐标系,利用向量知识求解

15、.(1)设出a1点坐标,确定点及向量坐标,利用数量积为0,证明线线垂直.(2)设法向量,由已知垂直关系,确定坐标.利用向量夹角公式求二面角大小.解法一:(1)证明:因为a1d平面abc,a1d平面aa1c1c,故平面aa1c1c平面abc.又bcac,所以bc平面aa1c1c.连结a1c.因为侧面aa1c1c为菱形,故ac1a1c.由三垂线定理得ac1a1b.(2)bc平面aa1c1c,bc平面bcc1b1,故平面aa1c1c平面bcc1b1.作a1ecc1,e为垂足,则a1e平面bcc1b1.又直线aa1平面bcc1b1,因而a1e为直线aa1与平面bcc1b1的距离,a1e=3.因为a1c

16、为acc1的平分线,故a1d=a1e=3.作dfab,f为垂足,连结a1f.由三垂线定理得a1fab,故a1fd为二面角a1-ab-c的平面角.由ad=aa12-a1d2=1得d为ac中点,df=12×ac×bcab=55,tana1fd=a1ddf=15.所以二面角a1-ab-c的大小为arctan 15.解法二:以c为坐标原点,射线ca为x轴的正半轴,以cb的长为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系c-xyz.由题设知a1d与z轴平行,z轴在平面aa1c1c内.(1)证明:设a1(a,0,c),由题设有a2,a(2,0,0),b(0,1,0),则ab=(-2,1,0),

17、ac=(-2,0,0),aa1=(a-2,0,c),ac1=ac+aa1=(a-4,0,c),ba1=(a,-1,c).由|aa1|=2得(a-2)2+c2=2,即a2-4a+c2=0.于是ac1·ba1=a2-4a+c2=0,所以ac1a1b.(2)设平面bcc1b1的法向量m=(x,y,z),则mcb,mbb1,即m·cb=0,m·bb1=0.因cb=(0,1,0),bb1=aa1=(a-2,0,c),故y=0,且(a-2)x+cz=0.令x=c,则z=2-a,m=(c,0,2-a),点a到平面bcc1b1的距离为|ca|·|cos<m,ca&

18、gt;|=|ca·m|m|=2cc2+(2-a)2=c.又依题设,a到平面bcc1b1的距离为3,所以c=3.代入解得a=3(舍去)或a=1.于是aa1=(-1,0,3).设平面aba1的法向量n=(p,q,r),则naa1,nab,即n·aa1=0,n·ab=0,-p+3r=0,且-2p+q=0.令p=3,则q=23,r=1,n=(3,23,1).又p=(0,0,1)为平面abc的法向量,故cos<n,p>=n·p|n|p|=14.所以二面角a1-ab-c的大小为arccos14.20.(本小题满分12分)(2014大纲全国,文20)设每个

19、工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;(2)实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用.若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1,求k的最小值.分析:(1)先用字母表示各事件,再由互斥与独立事件的概率可求.(2)由(1)分析k的可能取值情况,比较即得结果.解:记ai表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备,i=0,1,2,b表示事件:甲需使用设备,c表示事件:丁需使用设备,d表示事件:同一工作日至少3人需使用设备,e表示事件:同一工作日4人需使用设备,f表

20、示事件:同一工作日需使用设备的人数大于k.(1)d=a1·b·c+a2·b+a2·b·c,p(b)=0.6,p(c)=0.4,p(ai)=c2i×0.52,i=0,1,2,所以p(d)=p(a1·b·c+a2·b+a2·b·c)=p(a1·b·c)+p(a2·b)+p(a2·b·c)=p(a1)p(b)p(c)+p(a2)p(b)+p(a2)p(b)p(c)=0.31.(2)由(1)知,若k=2,则p(f)=0.31>0.1.又e

21、=b·c·a2,p(e)=p(b·c·a2)=p(b)p(c)p(a2)=0.06.若k=3,则p(f)=0.06<0.1.所以k的最小值为3.21.(本小题满分12分)(2014大纲全国,文21)函数f(x)=ax3+3x2+3x(a0).(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)在区间(1,2)是增函数,求a的取值范围.分析:(1)由于导函数的判别式含参数a,因此要根据导数值的正负判断单调性,需对a进行分类讨论.当判别式为正时,导函数有两根,为比较两根的大小,需对a进行二重讨论.(2)根据f(x)在(1,2)上是增函数可列出关于a的不等式,注

22、意对a>0或a<0进行讨论.解:(1)f'(x)=3ax2+6x+3,f'(x)=0的判别式=36(1-a).若a1,则f'(x)0,且f'(x)=0当且仅当a=1,x=-1.故此时f(x)在r上是增函数.由于a0,故当a<1时,f'(x)=0有两个根:x1=-1+1-aa,x2=-1-1-aa.若0<a<1,则当x(-,x2)或x(x1,+)时f'(x)>0,故f(x)分别在(-,x2),(x1,+)是增函数;当x(x2,x1)时f'(x)<0,故f(x)在(x2,x1)是减函数;若a<0

23、,则当x(-,x1)或(x2,+)时f'(x)<0,故f(x)分别在(-,x1),(x2,+)是减函数;当x(x1,x2)时f'(x)>0,故f(x)在(x1,x2)是增函数.(2)当a>0,x>0时,f'(x)=3ax2+6x+3>0,故当a>0时,f(x)在区间(1,2)是增函数.当a<0时,f(x)在区间(1,2)是增函数当且仅当f'(1)0且f'(2)0,解得-54a<0.综上,a的取值范围是-54,0(0,+).22.(本小题满分12分)(2014大纲全国,文22)已知抛物线c:y2=2px(p>0)的焦点为f,直线y=4与y轴的交点为p,与c的交点为q,且|qf|=54|pq|.(1)求c的方程;(2)过f的直线l与c相交于a,b两点,若ab的垂直平分线l'与c相交于m,n两点,且a,m,b,n四点在同一圆上,求l的方程.分析:(1)设出q点坐标,利用|qf|=54|pq|列出关于p的方程,借助于p的几何意义及抛物线的性质确定p.(2)通过题设分析判