2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(天津卷) (2)

1、2016年普通高等学校招生全国统一考试天津文科数学1.(2016天津,文1)已知集合a=1,2,3,b=y|y=2x-1,xa,则ab=()a.1,3b.1,2c.2,3d.1,2,3答案a由题意知,当x=1时,y=2×1-1=1;当x=2时,y=3;当x=3时,y=5.因此,集合b=1,3,5.故ab=1,3.2.(2016天津,文2)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是12,甲获胜的概率是13,则甲不输的概率为()a.56b.25c.16d.13答案a令a=“甲、乙下成和棋”,b=“甲获胜”,c=“甲输”,则c=“甲不输”.p(a)=12,p(b)=13,p(c)=1-12-13

2、=16 .p(c)=1-16=56.故甲不输的概率为56.3.(2016天津,文3)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为()答案b由题意得该长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,如下图所示:易知其左视图为b项中图.故选b.4.(2016天津,文4)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为25,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为()a.x24-y2=1b.x2-y24=1c.3x220-3y25=1d.3x25-3y220=1答案a双曲线x2a2-y2b2=1(a&

3、gt;0,b>0)的焦距为25,c=5.又该双曲线的渐近线与直线2x+y=0垂直,渐近线方程为y=12x.ba=12,即a=2b.a2=4b2.c2-b2=4b2.c2=5b2.5=5b2.b2=1.a2=c2-b2=5-1=4.故所求双曲线的方程为x24-y2=1.5.(2016天津,文5)设x>0,yr,则“x>y”是“x>|y|”的()a.充要条件b.充要而不必要条件c.必要而不充分条件d.既不充分也不必要条件答案c当x=1,y=-2,1>-2,但1<|-2|,x>yx>|y|,x>y不是x>|y|的充分条件.对于x>|y

4、|,若y0,则x>|y|x>y;若y<0,x>0,则x>y,x>|y|x>y.x>y是x>|y|的必要条件.“x>y”是“x>|y|”的必要而不充分条件.故选c.6.(2016天津,文6)已知f(x)是定义在r上的偶函数,且在区间(-,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-2),则a的取值范围是()a.-,12b.-,1232,+c.12,32d.32,+答案cf(x)是定义在r上的偶函数,且在区间(-,0)上单调递增,f(x)在(0,+)上单调递减.由f(2|a-1|)>f(-2)=f(2)可得2|

5、a-1|<2=212.|a-1|<12.-12<a-1<12,即12<a<32.故选c.7.(2016天津,文7)已知abc是边长为1的等边三角形,点d,e分别是边ab,bc的中点,连接de并延长到点f,使得de=2ef,则af·bc的值为()a.-58b.18c.14d.118答案b法一(基向量法):如图所示,选取ab,ac为基底,则af=ab+be+ef=ab+12bc+12de=ab+12(ac-ab)+12×12ac=12ab+34ac,bc=ac-ab.故af·bc=12ab+34ac·(ac-ab)=34a

6、c2-14ac·ab-12ab2=34-14×1×1×12-12=18.法二(坐标法):建立如图所示的平面直角坐标系,则a0,32,b-12,0,c12,0,f18,-38,于是af=18,-583,bc=(1,0),af·bc=18.8.(2016天津,文8)已知函数f(x)=sin2x2+12sin x-12(>0),xr.若f(x)在区间(,2)内没有零点,则的取值范围是()a.0,18b.0,1458,1c.0,58d.0,1814,58答案df(x)=1-cosx2+12sin x-12=12sin x-12cos x=22si

7、nx-4.由f(x)=0,得x-4=k,kz,x=k+4,kz.f(x)在区间(,2)内没有零点,有t22-=,且k+4,(k+1)+42,由t2,得t2,0<1.由k+4,(k+1)+42,解得4k+144k+58.当k=-1时,-3418,>0,0<18;当k=0时,1458;当k-2或k1,kz时,不满足0<1.综上,的取值范围是0,1814,58.9.(2016天津,文9)i是虚数单位,复数z满足(1+i)z=2,则z的实部为. 答案1因为(1+i)z=2,所以z=21+i=1-i.所以z的实部为1.10.(2016天津,文10)已知函数f(x)=(2

8、x+1)ex,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(0)的值为. 答案3f'(x)=(2x+3)ex,f'(0)=3.11.(2016天津,文11)阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出s的值为. 答案4解析第一次循环:s=8,n=2;第二次循环:s=2,n=3;第三次循环:s=4,n=4,满足条件,结束循环,输出s=4.12.(2016天津,文12)已知圆c的圆心在x轴的正半轴上,点m(0,5)在圆c上,且圆心到直线2x-y=0的距离为455,则圆c的方程为. 答案(x-2)2+y2=9解析设圆心c的坐标为(a,0)(a>

9、;0),则|2a|5=455a=2.又点m(0,5)在圆c上,则圆c的半径r=22+5=3.故圆c的方程为(x-2)2+y2=9.13.(2016天津,文13)如图,ab是圆的直径,弦cd与ab相交于点e,be=2ae=2,bd=ed,则线段ce的长为. 答案233解析设ce=x,如图,连接ac,bc,ad,则由相交弦定理得de·ce=ae·be,de=2x,又bd=de=2x,所以ac=ae=1.因为ab是直径,所以bc=32-12=22,ad=9-4x2.由题意可知,bcedae,则bcad=ecae,即229-4x2=x1,解得x=233.14.(2016天

10、津,文14)已知函数f(x)=x2+(4a-3)x+3a,x<0,loga(x+1)+1,x0(a>0,且a1)在r上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-x3恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是. 答案13,23解析由函数f(x)在r上单调递减可得0<a<1,3-4a20,3af(0)=1,解得13a34.当x0时,由f(x)=0得x0=1a-1.又a13,1a-12,即x0(0,2.如图,作出y=|loga(x+1)+1|(x0)的图象,由图知当x0时,方程|f(x)|=2-x3只有一解.当x<0时,|f(x)|=2-x3,即x2+(4a-3

11、)x+3a=2-x3只有一负实根,整理得x2+4a-83x+3a-2=0,=4a-832-4×1×(3a-2).(1)当=0时,解得a=23.3a-2=0,此时方程的解为x=0,不符合题意.(2)当>0时,解得a>1712或a<23.又a13,34,a13,23.方程有一负根x0和一零根,则有x0·0=3a-2=0,解得a=23.显然与a23矛盾.方程有一正根x1和一负根x2,则有x1·x2=3a-2<0,解得a<23.又a13,34,所以a13,23.由(1)(2)可知,a的取值范围为13,23.15.(2016天津,文1

12、5)在abc中,内角a,b,c所对的边分别为a,b,c.已知asin 2b=3bsin a.(1)求b;(2)若cos a=13,求sin c的值.解(1)在abc中,由asina=bsinb,可得asin b=bsin a,又由asin 2b=3bsin a,得2asin bcos b=3bsin a=3asin b,所以cos b=32,得b=6.(2)由cos a=13,可得sin a=223,则sin c=sin-(a+b)=sin(a+b)=sina+6=32sin a+12cos a=26+16.16.(2016天津,文16)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要a,b,c三种主要原

13、料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:原料肥料abc甲483乙5510现有a种原料200吨,b种原料360吨,c种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.解(1)由已知,x,y满足的数学关系式为4x+5y200,8x+5y360,3x+10y300,x0,y0.该二元一次不等式组所表

14、示的平面区域为图1中的阴影部分:图1图2(2)设利润为z万元,则目标函数为z=2x+3y.考虑z=2x+3y,将它变形为y=-23x+z3,这是斜率为-23,随z变化的一族平行直线,z3为直线在y轴上的截距,当z3取最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=2x+3y经过可行域上的点m时,截距z3最大,即z最大.解方程组4x+5y=200,3x+10y=300,得点m的坐标为(20,24).所以zmax=2×20+3×24=112.答:生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元.17.(2016天津,文17)如图

15、,四边形abcd是平行四边形,平面aed平面abcd,efab,ab=2,bc=ef=1,ae=6,de=3,bad=60°,g为bc的中点.(1)求证:fg平面bed;(2)求证:平面bed平面aed;(3)求直线ef与平面bed所成角的正弦值.(1)证明取bd中点o,连接oe,og.在bcd中,因为g是bc中点,所以ogdc且og=12dc=1,又因为efab,abdc,所以efog且ef=og,即四边形ogfe是平行四边形,所以fgoe.又fg平面bed,oe平面bed,所以,fg平面bed.(2)证明在abd中,ad=1,ab=2,bad=60°,由余弦定理可得bd

16、=3,进而adb=90°,即bdad.又因为平面aed平面abcd,bd平面abcd,平面aed平面abcd=ad,所以bd平面aed.又因为bd平面bed,所以,平面bed平面aed.(3)解因为efab,所以直线ef与平面bed所成的角即为直线ab与平面bed所成的角.过点a作ahde于点h,连接bh.又平面bed平面aed=ed,由(2)知ah平面bed.所以,直线ab与平面bed所成的角即为abh.在ade中,ad=1,de=3,ae=6,由余弦定理得cosade=23,所以sinade=53,因此,ah=ad·sinade=53.在rtahb中,sinabh=ah

17、ab=56.所以,直线ef与平面bed所成角的正弦值为56.18.(2016天津,文18)已知an是等比数列,前n项和为sn(nn*),且1a1-1a2=2a3,s6=63.(1)求an的通项公式;(2)若对任意的nn*,bn是log2an和log2an+1的等差中项,求数列(-1)nbn2的前2n项和.解(1)设数列an的公比为q.由已知,有1a1-1a1q=2a1q2,解得q=2,或q=-1.又由s6=a1·1-q61-q=63,知q-1,所以a1·1-261-2=63,得a1=1.所以an=2n-1.(2)由题意,得bn=12(log2an+log2an+1)=12(

18、log22n-1+log22n)=n-12,即bn是首项为12,公差为1的等差数列.设数列(-1)nbn2的前n项和为tn,则t2n=(-b12+b22)+(-b32+b42)+(-b2n-12+b2n2)=b1+b2+b3+b4+b2n-1+b2n=2n(b1+b2n)2=2n2.19.(2016天津,文19)设椭圆x2a2+y23=1(a>3)的右焦点为f,右顶点为a.已知1|of|+1|oa|=3e|fa|,其中o为原点,e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点a的直线l与椭圆交于点b(b不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点m,与y轴交于点h.若bfhf,且moa=ma

19、o,求直线l的斜率.解(1)设f(c,0).由1|of|+1|oa|=3e|fa|,即1c+1a=3ca(a-c),可得a2-c2=3c2,又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.所以,椭圆的方程为x24+y23=1.(2)设直线l的斜率为k(k0),则直线l的方程为y=k(x-2).设b(xb,yb),由方程组x24+y23=1,y=k(x-2)消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.解得x=2,或x=8k2-64k2+3,由题意得xb=8k2-64k2+3,从而yb=-12k4k2+3.由(1)知,f(1,0),设h(0,yh),有fh=(-1,yh)

20、,bf=9-4k24k2+3,12k4k2+3.由bfhf,得bf·fh=0,所以4k2-94k2+3+12kyh4k2+3=0,解得yh=9-4k212k.因此直线mh的方程为y=-1kx+9-4k212k.设m(xm,ym),由方程组y=k(x-2),y=-1kx+9-4k212k消去y,解得xm=20k2+912(k2+1).在mao中,moa=mao|ma|=|mo|,即(xm-2)2+ym2=xm2+ym2,化简得xm=1,即20k2+912(k2+1)=1,解得k=-64,或k=64.所以,直线l的斜率为-64或64.20.(2016天津,文20)设函数f(x)=x3-a

21、x-b,xr,其中a,br.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)存在极值点x0,且f(x1)=f(x0),其中x1x0,求证:x1+2x0=0;(3)设a>0,函数g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间-1,1上的最大值不小于14.(1)解由f(x)=x3-ax-b,可得f'(x)=3x2-a.下面分两种情况讨论:当a0时,有f'(x)=3x2-a0恒成立.所以f(x)的单调递增区间为(-,+).当a>0时,令f'(x)=0,解得x=3a3,或x=-3a3.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x -,-3a3 -3a3-3a3,3a33a33a3,+f'(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以f(x)的单调递减区间为-3a3,3a3,单调递增区间为-,-3a3,3a3,+.(2)证明因为f(x)存在极值点,所以由(1)知a>0,且x00.由题意,得f'(x0)=3x02-a=0,即x02=a3,进而f(x0)=x03-ax0-b=-2a3x0-b.又f(-2x0)=-8x03+2ax0-b=-8a3x0+2ax0-b=-2a3x0-b=f(x0),且-2x0x0,由题意