近世代数-环与域题解讲解

1、近世代数第四章-环与域题解讲 解第四章 环与域§ 1环的定义一、主要内容1. 环与子环的定义和例子。在例子中，持 别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线 性变换环，以及集M的幂集环.2. 环中元素的运算规则和环的非空子集S作成子环的充要条件：a tiG S >戊 f 占 S *3 循环坏的定义和性质.；加群是循环群的环称为循环环其性債在本节内的主要有s1）循环环必为交怏环；，2）循坏环的子环也是循坏环；3循环环的子加群必为子环；.'4）pq是互异素数）阶环必为循环环*二、释疑解难1 设R是一个关于代数运算十，作成的环应注意两个代数 运算的地位是不平等的，是要讲究次序

2、的.所以 有时把这个环记为（R,十，）（或者就直接说“ R 对十，作成一个环”）但不能记为R,-,十）因 为这涉及对两个代数运算所要求满足条件的不 同我们知道，环的代数运算符号只是一种记 号.如果集合只有二代数运算记为:,®，又R对：作成一个交换群，对®满足结合律且对:满足左、右分配律，即by） = （仍叮门门*（力匸=0小底芒扎则就左能说尿对叫，静作成一个氐或记为侦宀X就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺 序.2 设R对二代数运算十，作成一个环那 么，R对“十”作成一个加群，这个加群记为（R, 十）；又R对“ ”作成一个半群，这个乍群记 为（R，- ）再用左、右分配

3、律把二者联系起来就 得环（R，十.）.现在啊，引：K 中的这个半辟（氏，* 是占lit有可能作血一小將 呢？回甞是百定的"降非I 1 = H禺若tJA刖空#?中任蕊元隶 日兴O懸右<.D-0=0,这说.明Q 不是尺* 7杓单悅元.W.B. <1在C R,）中坦逑有逆元* 因此- ） Hftfe作血半PT而不能作庇曲.遊-比"如覲去艸 OiPA R 的全睹耶呼元索对乘怯是否作成 群呃？这是可能的.例如任何敢據就舅于这轴繪磁.芳播，R旳全 休卄*元血荷不fife作就靜的*如傾數环和整觀歼等等-& 由于在环 K 中倉；a *0 = （） P =<D &#

4、187;寂-'芒显7?的左电右rXX边）单位兀=!=>芒启半那杞* 的屋g r双边单便元.儿丹阶诟环环的稠竽元和其有単悅元酌承件-设 R<a> 0 > cz » Su .< n 1£1、戈一个 n 阶餡环环，且/ 臭业収T 三例阐弱艮有学位元的鋼件和I其稱警兀的情况-以下三例均假W 尺=<« ）. h 阶馅环环，B- a2 山WWE.0>1 1 R有单位元 Mn 保1. 证发、则有整救材心茨矗 lt+ HU = 1 -于屋对R中仟意元巌如冇（伍心）（珂“ ）（sztjfc »U = 5< 1 NTT

5、 JtL Sti 由于斥足可换环，故叫是尺的单也元*反之+设尺有樂位尤-=炖则w = a、 «(r<? * =s C/>r>Hti U(tk 1 ><!/ = 0 T于是算I M 丄”设th 一 1 =呵丫则tk + «<7 >1 > 放"山)1“例2 田是R的科等元=> k泌产一札证 设S显环尺的科尊元，耻£«>'= t2Au = co > CA；F f)a=0,01由于aR灼加醉的H砂応索.枚比I和一"反之设kt “则因科皿一0.故(点卢一i、0=a冃.ta

6、 jfer14 e£ *ku = <iu)却皿是*的幕等元.例3 环R有2冲一"屛个幕零元Jl中少【小为扣的不同*因 数的个栽声 n 为压与打 的盘大公闵ffcdm的不同素因数的 个數.证 设”=时拧金冇 是啊旋标准分解式由上例知R中壽 等充的个数就足冋余式kI1 J 0 (nvl rr)( 1 )的解的个數疝这牛同余式的济的个数等于m个同余式b匕工* j=0 < mod<i1 ,2 »*- t JM)< 2)的解的个敷的来税.但易知，对一令固定2,当帆I矗时ft(2)R 冇册小半a杠fll-bT(X故脅證致获仪|总剔=1.于是 p.Vt戸

7、？丨此匸一】* 悄讥屋巳一、一2 工战卞是方磊住> 的一个非零粧*又0晁然为其一解哀而冃方程(仍没 冇别昶擀.即此时方程O 只有阿亍解.干堆同余式门)有 2旳l申w个解,即R有旷梢计名柿牛慕奪元.三、习题4. 1解答11H 虽據覇知乘怯。満足结合律，又。对+也構足左分配律卜但 是右分配律不満足團如易知£<1+(1)>2 = 0, (1«2) + <<1>*2> = 4?9(1 - ( 1)吃#门辺)十仇一门记)，故R对+汁不作成环.解 F上一切方阵样显然作成环但不可换個为冏如L二者不相鸳又屜然切方眸I ； f V此环的左单也元.但无

8、右单位元”臥而此环无单位元；' 3.» R对斯给加法士兼法作成一个有单位元的交换拆单位元 是（1匕又当心y/0时<«L>>有逆兀mJ人而当生-0 时如皿门段有逆元.4.证 设R址布尔环T则对R中任意元素S占有心亠由=<a-!*&）=直2 +a&昴十应胡+ d序f加H-右*故"+珀= ）（1 ）在上戒屮取心宀则由于R中元累都是鬲聲元.故有-Het3 0 ”卩 n +肚=0；再由日十吃=0择（t=a.从面由d）武得u6 一 ba = bci即布尔环R为交换环.）5.证 设&的全体口同态映射作成的集合为R,则J?

9、一定包含 &的零同态趴故RH0.又任直 cyC J?g?G,则，、：.&+“】盘=恥亠gbg （tr 卜庄=<juT <ru = 0 T口十 r） +（r+ r）aH-/arw） I yu= 即十（w + yG 別（+ r+y）a = &十匸十和庄*比十a的任盘性.故由L诸式辭ff 0A/J * (?+皿=夕*<<r H-r> 亠”件+ fF)*卄L r*r<Ji即R时所翳仙決来说/为零元，-a为口的负元且加決満足結合 津奁换律故R作就加群一 XE<?r>rJa<tfr)<y«>r(7a>

10、壬宛(r/)a J = Hf/) Ju +.otr ' y) Ju fff <t + y)a ru4- ya )=b( ra)十<K ya) Ci7r)a d-<(?7>a *故crCr-F/)=兀+蓿人类個地有"十 wr>.却乘扶満址结台聲*乘法対加法構足分配律、故K时所第加恢和 乗法作成环*'乂显然G前恒等自同构迪这个环的单位元.6.证 设艺星环尺附单侑元idtfrE R.则(口 一刃丫"+优)=a+刃一机存十a)=“十占 +一总)(+«) h(口 + b)十(一巧( ea=皿 + 血十(洁b 亠 C tf>

11、u = eadr«F+(已)_占+ (e)a 二旳+ 0+(1总应弓>十(一e_)h = (h枚口+ b =開R中的加法碉足交换徉.7iff 因为n+b=“故有(1a) (1W *- la十肋十血=1”又国为1-0可逆，故l-6=(l-a)_从丙1 =( 1 仍(1 一&)“1 a+切 I 加 I ab + Iki因圮ab=g8.证明：循环环必是交换环，并且其子环 也是循环环.证设加一sOz,為为循环环且* =対 则任取工*衣岭攵一JUt yla. Jl>| jcyyx stka.故R可换-又由于循环辞的子群仍为循环群，故備环环的子环仍为械环坏.§ 4.

12、 2环的零因子和特征一、主要内容1. 环的左、右零因子和特征的定义与例子.2. 若环R无零因子且阶大于1,则R中所 有非零元素对加法有相同的阶.而且这个相同的 阶不是无限就是一个素数.这就是说，阶大于I且无零因子的环的特征 不是无限就是一个素数.有单位元的环的特征就是单位元在加群中 的阶.3. 整环（无零因子的交换环）的定义和例子.二、释疑解难1.由教材关于零因子定义直接可知，如果 环有左零因子，则R也必然有右零因子.反之亦 然.但是应注意，环中一个元素如果是一个左零因 子，则它不一定是一个右零因子例如，教材例 I中的元素P 0 j就是一个例子反之，一个右零因子也不一定是一个左零因子.例如，设

13、置为由 一切方阵(-x,y Q)对方阵普通加法与乘法作成的环则易知爲是R的一个右零因子，但它却不是 R的左零因子. 2关于零因子的定义.关于零因子的定义，不同的书往往稍有差异， 关键在于是否把环中的零元也算作零因子. 本教 材不把零元算作零因子，而有的书也把零元算作 零因子.但把非牢的零因子称做真零因子. 这种 不算太大的差异，读者看参考书时请留意.3.关于整环的定义.整环的定义在不同的书中也常有差异.大致有 以下4种定义方法：定义1无零因子的交换环称为整环（这是本 教材的定义方法）.定义2阶大于I且无零因子的交换环，称为 整环.定义3有单位元且无零因子的交换环，称为 整环.定义4阶大于1、有

14、单位元且无零因子的交1 .换环，称为整环.以上4种定义中，要求整环无零因子、交换是 共同的，区别就在于是否要求有单位元和阶大于 1.不同的定义方法各有利弊，不宜绝对肯定哪 种定义方法好或不好.这种情况也许到某个时期 会得到统一.但无论如何现在看不同参考书时应 留意这种差异.本教材采用定义1的方法也有很多原因，现举 一例。本章§ 8定理1:设P是交换环R的一个 理想.则P是R的素理想二R/ P是整环.这样看起来本定理表述显得干净利索.但若整环 按定义2（或定义3、4）要求，那么以上定理表述 就需变动.究竟要怎样变动，作为练习请读者自 己给出.。三、习题4. 2解答1）设S是由叶出的全体

15、止则元作成的集合井令sbES,且3矶亡w于是得a （be= 0*但乜是止则元故5（ -0.又因b是正则元.哉i -O.同理.rfl旷3庁）=0可得f =0.因此yA也足正则元*即 讪E S, 从血S作成半辟.、2）设4#0是环R的止则兀，且aju = 0/于是讥如 =0.从而 g = U.:故工T.艮之，设兀素建満足条件，且 W则便有研加一0- 从而6=0.同理”若如=0便有盘如=g从而&=Q殊“不是零丙子，从 而是止则元*2 .惟 由腿设，对任意工w丘右応从而由出艺W知#产S 又因为而R无右零同子，故"一H=0,*=g.从而r是R的单位元.3证 用MNF）表不数戦F上的就阶

16、全阵开任取OHAC MXF，如臭IAIH0.JU A有迎方阵材从而A是仝阵环M" 的可逆元，如果iAl =0,则齐欢线性方程组4X=0有非零解.任取及一非零解乂血际则以此非零解为任一列而其余列全是零的推 阶方曲B芒。则有AB=O,即A是全阵环WKF的零因子.4 .证 股尺是一个交换环，其全体驀零元作成的集合为S任取r=Q“蔑屮期"为正整SG则由尺可换知二一生)*1三犷以比-4”小古+一存厂丄十(一1)9；卄犷旷+(1>*1 Cit1 k 1 尸 i ( 一 严+“#*=“" G, * 用 % 卄咕+(- 1 严7 Cab*' 十1FC：+耗邛*十一1

17、丫丹比3旷7护占4 +I 一“必*=0.拽血山一内W5从而SM丸5.证 设旳是最小止整数使皿如果令砒u抑如十厂 4口卅).Idi则由护-0可得0 = /=口叫小=a和“但是0<i 4叮0皿这与m的展小性牙庫 因此，用>炳再设，n=mq + r (0 罐厂 On*于是有；若r=0iB| ii-ii 0;若/>(h则起千犷* /=(!总之也尸"6.JC0Q、0 o、M例如Jj所有hA0!»np及所有D*专P 0100 01100所有4）所有乐）所有送上】00 0及所有0JF3Qt*r «11 -100一上"Q 0 1丨及所有<工,.0

18、* 0 f-、10 00o0Q0Q0及所有 *« ' 4f1-f1 00斗000g?1及所有7 设R是一个无零因子的环.证明：若R偶数，贝V R的特征必为2.证 设乩 是艮的习題z2第4题知，尺+必有s 阶元又&为交换群+故2整除&中战大阶元的阶何2上血匸戏 月i方而由于丘是右限的无零因子年，因此tchar K 一定是 蠹数卜再山21 char R知，必char 尺=2«8 .证明：P环无非零幂零元.£ 设尺是 个P-环*且“是R的一十痔零冗n故可设R是 使才二仆的最小正整数.若np令斤一阿十于，4尹/） 则因/ = 故当厂0吋， 护=红戶

19、”二（出）f =胪，/ 屮+=_0*当r0时，有护肚用一（屮户=/ =山即0' = 0血擡月一加十4汁门这与71的最小性孑舀故7p 若n=pi则由于屮=（h而 =0,故a-=0;若丹»*令n+ （p - n$则4 = 4?=严=讥宀=0.总之皿=0*即R无耶零悬零元*§ 4.3除环和域一、主要内容1 除环和域的定义及例子四元数除环.2 有限环若有非零元素不是零因子，则必 有单位元，且每个非零又非零因子的元素都是可3 有单位元环的乘群（单位群）的定义和例 子.有单位元的环的全体可逆元作成的群， 称为该环的乘群或单位群.除环或域的乘群为其全体非零元作成的群； 整数环Z的

20、乘群为Z* =1,_1;数域上n阶全阵环的乘群为全体n阶可逆方阵对 乘法作成的群；Gaus s整环的乘群为U(Zi) =1,1, i - i二、释疑解难1阶大于I的有限环可分为两类：”1) 一类是有零因子的有限环例如，有限集 M(|m| > 1)上的幂集环P(M)，不仅是个有零因子 的有限环，而且除单位元 M外其余每个非零元 素都是零因子；后面§5所讲的以合数n为模的 剩余类环Zn也是一个有零因子的有限环.2) 另一类就是无零因子的有限环实际上根 据本节推论和魏得邦定理可知，这种有限环就是 有限域例如，以素数p为模的剩余类环Zp以 及教材第六章所介绍的伽罗瓦域都属于这种倩形.这

21、就是说，阶大子1的有限环或者有零因子或 者无零因子，从而为域.2-峻材泄理A指出：阶女于1的环R是除环=对R中任意元緊心心 4方躍uxb £或 ytt = h >在尺中台解*与群定义中要求两个方程ax= b与ya= b都 有解不同，这里仅要求方程ax = b或y a= b (-0工 a, b R)中有一个在R中有解即可.教材中利用 方程ax= b有解得到R的全体非零元有右单位元且每个非零元素都有右逆元，从而得到R是除环.如果利用方程ya= b在R中有解，则将得到 R的全体非零元有左单位元且每个非零元都有 左逆元，从而也得到只是除环.3 关于有单位元环的单位群.设R是阶大于I的有

22、单位元的环.则显然R是除环二R的单位群是 R0；R是域二R 0是交换 群.显然，除环或域有“最大的单位群又显 然幂集环P（M）的单位群只有单位元（因其他元素 那是零因子），它是“最小”的单位群.三、习题4. 3解答1. 证略.2. 证略.3. 证明：域和其子域有相同的单位元.证 设F】是域F的子域J 雄F的单傥无"呈巧 的单位 元.则任取口已F冃出云0.由Fj是域甘，町 E F,貝 必一1 = 13 H a,* 1i * 】，故（= 1 . *即F与Fi有相同的单位元.（也可由F*与fi有 相同单位元直接得出）4.Uh 令幺=化-*-切：十砒口# f十十加直（英中叫仏 为实数）.则直

23、接根据四元数乘医可得；OT0阳 =2（盹爲一如橋卅丄2（弼&1 中矗），+£（qi6n伽）怎*又易知当占=咼扌+斗j+乂花时，护=一诸巴成一協是实散-它同 任就元数均可换，因此（卓一护是实数它同任意四元数可 换*即有(apfla ,= Yfcrfi妙S5.解 1）易知尺柞底一个有单位元的交换环，但不一定柞成域. 例如，当F为实数域时，方阵属于从但1遇| =0,枚A在氏中没有逆兀，从洵此时A不能作战 域又此时尺的单位群电1（: ?）Z朴2）個屋当F为有理数城时很能作成域”事实上设览R中任一非零方薛（即出是不全対0的有理数几则 IA 卜=Z 2!/.因若不然设|A|=fl,则有/

24、 =于星必然&护0,且这蔓不可能的.fc IaIto.从而.4右逆方阵，且即A在R中有逆元纵而此时尺作成城.证 1设城F的特征是素数旷则F中每亍非零元集的阶 （作为伽群）都是仪但|F|=4故和4,从而尸占即cti&r F 2_6.2)设F-fgl山八刚对F的乘法作成一个聊即城F的求群.由于s；在&中的阶整 除G|=3,故心“的阶只能足汇令工是口：中的任一卜则 x=ia之工一l-x-l I )=0.但工且域兀零因子*故j：: + 丈气 1 = 0 或 xT = jc 1*又因chai F=2*故£=41 = 1，从而有F工十1”§ 4环的同态与同构一、

25、主要内容1. 环的同态映射和同构映射的定义和例子2. 环同态映射的简单性质.设®是环R到环豆R的同态满射，则1) ®(0)是 R 的零元，®( a) = _® (a) ($aR)；2) 当R是交换环时，R也是交换环；3) 当R有单位元时，R也有；并且R的单位 元的象是R的单位元.3. 在环同态映射下，是否有零因子不会传 递.即若环RR，则当R有零因子时，R可能没 有，当R无零因子时，R却可能有.二、释疑解难1. 在§ 1已经强调过，对于环的两个代数 运算一定要区分前后顺序.同样，对于环的同态 映射，也要注意其保持运算必须是：加法对加法，乘法对乘

26、法.即(a+ b) = (a) + (b),(ab) =0 (a)® (b).第一式中等号左边的加号“ + ”是环 R的加法， 而等号右边的加号“ + ”是环R的代数运算.二 者虽然都用同一符号，但在实际例子中这两个代 数运算却可能点很大差异，根本不是一回事.对上述第二个式子中等号两端的乘法完全 类似，不再赘述.2. 由于零因子在环同态映射下不具有传递 性，因此，若环RR，则当R为整环时，R不一 定是整环；又当 R不是整环时，R却可能是整 环教材中的例1和例2说明了这一点.3. 关于环的挖补定理，设"是环*又且密门【尺一3= 0.挖补杲说可 在坏R市把干环自甘防出来世計补”

27、进去，从而可把S吞作尺 的 子环(妊间构意:戈F九，累实挖补定理对群也成立不再赘述* ：三、习题4. 4解答1. 证略.2.证 设e是有理数城Q的一个白同构.曲于在同构映射下单 位兀与单位元对应，贵元与负元对应*逆元与逆元对应，仪存(1)弋 1 * 虫2)=已(1十2.一般地2(附)=机2一皿=协，甚中m为正整数*又易览V.C 1 ) = _ 1 +/w/ ( /« MO )-即存为Q的恒等自同构，从而有理数域只有恒等自同构”3.证 恒等变换和try十尉 一a-bi显然是数域Q(i)的两个自 同构.现在设r也是Q(i>的一个自同构*则由上曲知”对枉意有理数 s启H=d另外，设必

28、加则一 a 玖卩)一 (c+di)2 一甘一日 +2ML这貝有cO.c/ ±1.但齊止=1时.由v(a)a f r(i)i可得+柄三口十弘艮卩t为恒等自冋构辛当d=-l时又得 厂S十撷)=叼一bi *即r=c故Q有且只有朗个自同构.4.证 Q(O与Q<V2)不冏梅*丙若同构设心毘QG/T)到Q£i)的 一亍同构映射，则ffCDl.从而穴4) = 4*、令Q(门，则-1k .乳2谑)厂旅松+匹=旗揽、-r ©Q至、=2応K - i .于是P方面小辰焜妪而另一方面肴魚擂宀冋=总5皿妊、=工-2jt'=2xa t故4=£工但易知Q中不冇在运样的

29、厂从而这与声屋从Qf虑到QO 的同构映射矛盾.故城Q( i：与Q(.V2)不徇构，5.证令K及其二运算如教材中本题提示所示則可验粹出KM此二运算作成一个有单位兀的环.其单垃兀魁“八儿再令比=仁心也£说.则易知护辿 一(G尺到& 的一个环同构映射因此.R=R于是若现定3,0=宀则即无单位元环R撤包含在有单位 兀的环K中.证 显然对所规定的針运算曲"建封闭的令尺対新运算 忤痕的集合记为尺曲“下向在R与Rf®, >之问蘿直映射*<p:工 P"十 if' t 兴 WR）*易切这足尺到JKCD-）的怒射、即R的双射变换.衰皆£

30、 £*+&=«口 +巾十"亠“十！/） （ b十肚）一"F【££）+u（ZO 一14 务 5fr） 爭5、"牡B、l g 肋0彷、韶=（&+&*）u > < a 十“柑,it b u ） -F «- + 托ah- utt- ub- el;仔m t/ 剔由m1 -b4- u=农占+忆=尹Cm也）,：.固此许 是R到r<®问构映射.由于蠢是环故尺（e.2也是环且与尺同构.7.-址 设屋实数域R的任一自同构，于堪由第？题知，t < n / jri） = xi/#n

31、.又设«为实数尸且& A 0.则必r G* ） > 0 ；因为设qH 则£（口=就扮）= r尸AO.乂若 “Af *则曲丁 口一 c>0*敞1-/ ?.-rCat：） rf«） r（O0” 现在设4为任一实数M存住冇理数 m 使F-V&V.于览由 上面所证知；.-、M/OVr<QV>（e * 即 /-<r<a）Cs.这就建说"才滿足的住何有理数干“必有广 U） V $*囚比必r<C=d 即r&R 的恒等自同构.§ 4. 5模n剩余类环'主要内容1. 以正整数用为模的朴个同

32、余类叭丁，LT关于同余类 的加1法与乘法*作成一个有单位元的片阶交换环，记为 乙，穂为樓 M剩余类环*若w-1,则乙=心人因此，以下假设n>l.环乙有以下性质：1>若（血川）=则总为乙中町逆元，从而乙，中有卩5）仔可 逆若册,忆）鼻1、则示是环的零因于”2）Z"的特征是也又Zp为St数足域$又当冲为合数吋， 監有零因子从而不是域.飞一 3> 盘乙，亡=> n | m,: *. ' . 2. 循环环定义、例子和简单性质.'1）整数环及其子环以及剩余类环及其子环 都是循环环.而且在同构意义下这也是全部的循 环环.2）循环环是交换环，但不一定有单位元

33、.而 且这种环的子加群同子环、理想三者是一回事.因此，n阶循环环有且只有T（n）（n的正因数 个数）个子环（理想）.二、释疑解难1. 剩余类环是一类很重要的有限环，因为 这种环是一种具体的环，特别是它的特征、子环 （理想）、零因子、可逆元和单位群等都很清楚.因 此，在环的讨论里常常以它作为例子来加以利 用，并说明问题.2. 整数环的任二不同的非零子环， 作为加群， 它们显然是同构的（因为它们都是无限循环 群）但是，作为环，它们并不同构因为，例 如设< J）= 1 心 2和* < £> = *-* t /tOf.其中整数$鼻士仆且疔芜0”若二"几且卩为其一同

34、构映射令带）=良“ 护（片=上，于是由爭心）=尬又得f<rs）rkK从而rkllt rk ln 怡二 ±1.若h = l*则甲心=于是强疋二仏从而sf 矛盾若 k= 1,则 ?Cs> = 于是 = f 从而*=一 才盾.因此，S与T不能同构.3. 剩余类环Zn中任二不同的子环也不能同 构.事实上，Zn的任二不同阶的子环当然不能同 构又设置为Zn的任意k阶子环，则kn .但由 于（Zn, + ）是n阶循环群，从而对n的每个正因 数k，（Zn，+ ）有且只有一个k阶子群，于是环 Zn有且仅有一个k阶子环因此，Zn的任二不 同的于环当然不同构.4 但是，有有限环存在，其有二不同

35、子环 是同构的例如：令 R是Z2上的2阶全阵环, 则R = 16,且易知都是R的4阶子环，而且易知Ri还是一个域.但 是，R2无单位元（且不可换，又非零元都是零因 子），因此，Ri与R2不能同构.此外易知：< H oK-=（： M ：）C ；）Ri, R2, R3, R4也都是环R的4阶子环，而且都是互不同构的.对此不再详述，兹留给读者作 为练习.有文献已经证明，互不同构的 4阶环共有11 个对此不再赘述.三、习题4. 5解答1证明：同余类的乘法是 Zn的一个代数运 算.证 设7=7了=7 （八均为整数），则-.n I i $ * n i t.于是真整除从而匚j =斗即同余类的乘法是乙，

36、的一个代数运算.2. 试指出环Z8中的可逆元和零因子，再给 出它的所有子环.解易卿，玉的全部可逆元为；T<3*5,L-丽Z的全部零悯子为亡刁恳'.'又由于乙是循环环，武子加群就是子环（也是理想八故可知 其全部子环有T（8）丄4个'它们是，阴, 0,2 J.6）,厶3. 试给出Zio的所有子环，并指出它们各自 的特征.斛 Z®有T（1O） = 1个子坏.这4个子环是<0K （0,5, <0.2,4.6.8 乙而且它们的杵征依次是仁2心人也4.证 由于乙 中的元素k岸可逆元当自仅当（如泊=n伯小于 料且与冷互素的正整数有华（/0个*于是乙中的全休

37、可逆元对乘芸 作成一个甲3）阶交换群由于Q）= L，股习是这个群中的元素. 于是由Lagrange定理可知0在这个群屮的阶整除这个群的坊 平5“从和区旳=乳郎屮 ml （m（?d注1制0年费马提出，若（ar=l S是素数）时|有afi '壬1 （mod ph此称为费马小定理，被欧拉于1736年证明.后于17«0年被欧拉证明了更一般惜形，即本题结论，故常称其为欧拉定理*.'5.证 设莒（工一純十切文十十.由于Zp与多项式环z二刃的特征均为A且对任意aGZp有 S故r=（仙十口口十十丹"4”+疋工*）11=仙+6工（>* = g（ j>,即以石）卩=

38、打（0）6.证 任取环乙曲亠介需零元"11存在正整数，使"二 n I a1 - 冲撐垃"从而松：a （i= I,e ）.但白于Z扎宀“九是互异的素数，故 彼必丸Ju，从而Q W芯九反之*若Si內化八即，令jf= rnaxtz息严f爲），则（仇為“|应但是尸碎p?p> I（P】P上久儿故小；因此、即"4BJ是乙的全体黑零元作成的集合宴际挺由Pi扎化生成的乙的子环*又由于5；必仅由以卜元素构成：中、叭pj 土丽，（珅Tp?T疔'“s严p 故乙有冲-】诗-】亠必"个昂零元，7. 证明：整数环的不同子环不同构， 证: 见上面“释疑解难”部

39、分中的 2.8.证设R兰忌且R=<G"#=也人则由于在局构映 射下生成元与生成元相对应，故R的生成元d的象记为云也是 r的一个主成元.而且也有a2ka （0O<n）反之，设口与云分别为R与丘的生成元，且“壬=财* 护=菸石（00上 <即）.则易知为非负整数）是环R与氏的一个同构映 射故R二臣§4. 6理 想一、主要内容1. 左、右理想、理想的定义和例子.2 单环的定义以及单环的一个重要性质. 设环R有单位元，则R上全阵环Rnx n的理 想都是R中某个理想上的全阵环.由此可知：Rnx n是单环u R是单环. 特别，除环和域上的全阵环都是单环.3. 由环中元素

40、山ai, a?,，am生成的理 想ai, a2,，am >.特别，由一个元素 a生 成的主理想a>.在一般情况下，主理想a>中元素的表达 形式在特殊环（交换环和有单位元的环）中a> 的元素表达形式如下：1）在有单位元的环 R中：3= >阴呵.爼7 &皿內正整数 *i'2）在交换环R中；也=厂口 +啦|广3）在有单位元的交换环尺中農4 理想的和与积仍为理想.二、释疑解难1.关于理想的乘法.我们知道，如果A，B是群G的二子集或（正 规）子群，则A与B的乘积是如下规定的：AB = aba A, b B.但当A, B是环R的理想时，如果仍按以上规定 相乘，

41、则一般而言其乘积 AB不再是理想由于 这个原因，环中理想的乘法规定为AB = 有限和送 aibilai A, , bi B 易证明，此时AB(R2. 对任意环R,则R至少有平凡理想0 和R.通常把R本身叫做R的单位理想，这是 由于以下原因：对R的任意理想N，显然都有RWN，NMN.但当R有单位元时，则显然又有RN N，NR N 从而有RN = NR = N.这就是说，此时R在理想乘法中的作用类似于数1在数的乘法中的作用.3. 设R为任意环，a R.贝U易知N = raR是R的一个左理想.若 R是交换环，则当然 、“.但是应注意，由于R不一定有单位元，故 不一定有a N .从而也不能说N是由a生

42、成的 理想.例1 设R为偶数环，a=4，则N =厂lfi* 一5* r,R 4低N,和且宴師上N足制敷环冲由召生成的主理想*即J = Sr + iiTtXI <Sn但足rtr R t Z) = 4n nZ31, 8 t 4 ?0 »4 T乩；.因此工沁儿实际上足 nnug.住一収环屮当然：如果环R有单位元时 '则晶黙，*N"口|虫糾=3.4教材中只介绍了由一个元恚生成的主理想 <小和由有限个 元素咗战的理想3】旳匸皿2其实这一概念也可因推广.设S为环R的任一韭空子集则R中所有包含S的連想的仝 记为$儿它足R中包含占两最小理憩，并称其为尺中由t生战的 理想

43、.当S只包含一个元素或有限个元素时，就是我们上面灰 说旳理想.5."阶循环环的有单位元的理患£子环人例2 没为科阶循环环且”=心则R的丁（2个子 环理想）中冇2曲叫55（参考前面§ 1释疑解难中的例3）个有单 位兀的于环，它们正好都是由帚等生成元生成的子歼*it 设尹是环尺的一个辛等元，则由衣生成的子环亦即予加 群）2中* f壬取一个尤素厂令工=r,则君苫 e（re） = re" = re =工、故世是子环 <小的单位元.其次，设e和於都是环说的壽等元，且八则由上面知b *和/是F子环的单位元，故/=即不同的毎薯元t成不同的有 单位元的FiR最后设

44、NW&且N有单位元则（QUM另一方面，任取 hW U测血=工但“是子环从而也堀理想，故工老E<Q，因此 NG3八N-G）.得证.三、习题4. 6解答1. 证略.2. 证 1）略.2）由于a.rj h Z2ft = a< rt r3 >ft , rarj h * dtr£ b = fl < T）r2 » 其中故得aRbn.住般uRb不是环尺的理iSL3.证 舸s 表示s的全体左零化子作成的集命呈然oesf +又 苦 a卩 uS = DS = O.于 MxrCLMS 及 f K 有5 h）j?= ffrr Zrr =。*= 0*即理一乩til此*

45、勻是取的一b左理爆+ 类似有S的右零化子和S刖右零化理想.3. 证参考上面“释疑解难”部分3.5.证 1 > z是為单位兀的奁1ft环，又N.故 又任取占WN*并令* 'b -r CO忑广Va>.-则r= b N.再由a的最小性知订=0*从而b = q* Wit*.M NU J儿因此,25、2)任取3 £ <5皿亍.*并令由于dit故由业从而 a G kdy *仪1 *口£ *、U(d>反之，由于(叭 心，皿J = d,故存在難数切山厂如使d = i u( 一比蚣 H 如口 就 W(口 | *城丫,丫5、故<dU仙 '处，孤:从

46、而得证.由于<7 ： s $故</2.，从而口 F < MMs心二日- 反之卞由F (a ( »«-十g他)一 r/*枚存在酪Sft切*盹"s镂tZ J161. (7.u± I 十冷“灯 w <口 |它犷*，吃 M，枚7 S_ < M 9 t -£* i> f ' * * t rrj 匚从而得证”6-证明：域 F上多项武环FOI的毎牛理想鄒是主理想. 证 说 2 O若 N = 2八则 Z = 0 I若 Z H 0八则中存在次数最小的多项式和任取Z令八工、=(7< -z ? wi C丿)十厂 J)

47、共屮 Ym)=o或以工)的次数力、于 <r>的以数.因为wj ( zW ?V > 卩匸疋1 iA号严(工)=/Xjt> gtjr'mtz怎 AJ.但 mCr>J& N 屮秋敢最小的君项式，故7-( jr) =0,即ft =/r »斛(才),2匸<”江 r)>,又 55X 匸Z 他 N=5a、.I7,举例指出I环R的中心不一定是R的理想、« 例如有JS数域Q±«(«>1)阶全阵环Q“的中心为FC = 5EeCQ；,它不是Q,的珥想，因为易知存柱AQ八使 uE A=aA $ C*其中口

48、工0又例如，设R为数域F上的2阶全阵环其中心C为F上一 切纯量方阵eE JEF*E为2阶单位矩阵作成的子环.但C不是 R的理想：因为例如8. &证明：§ 4中例3中的环Fn，当N为 降秩方阵时，不是单环.证 设穴因N为降秩方阵，故0<r<n.而且线性方 程组NX-0 与 YN=Q均有季零解.各取其非零解，设分别为及（也-”丿丁.现令A是第一列元素为小皿其余各列 元看全为0的范阶方阵，而B是第一行元素为挤，徐小、亠，英余 各行元素全为0的"阶方阵显然AB#O而且NA = E?V=O由此可知对任蔥CWF料都有C-MXB）-（AXB）C= O （VXCrw&g

49、t;T故易知W = IAXB1XF"<F小又显熬任何满秩方阵都不属于W+故W OF厂再因为ABO,而幷B从而WR 郎W是坏 心 的一个非平汕理想，故F制不是单址.辻 悴显然是一个零乘环.§ 4.7商环与环同态基本定理一、主要内容1设y则所有（关于加法的）陪集x十N(-x R)对于陪集的加法与乘法(a+ N)十(b+ N) = (a + b) + N ,(a +N)(b+ N) = ab+ N 作成一个环，称为R关于理想N的商环，记为R / N.R“ 一 jt + N).反之，若环R並且枝为N,则即在同构意义下，任何环能而且只能与其商环同态此称为环同态基本定理或环的第一

50、同构定理.2.环的滾二同构定理.设円总囂押塔JAL则1> HQ忑(H+N*乳 环的第三同构定陶. 眈人心巴石心夙小尺底鹏 二、释疑解难1. 环同态基本定理有的书包括： 但有的书不包括这一结论，而只指出：RR , N 为核=R/NR . 也有书称此为"环的第一同态定理"或"环的第 一同构定理”.甚至也有的书虽有此定理，但却 未给予任何名称.不过多数的书均明示“环同态 基本定理”且指出“ RR , N 为核=R /NR当然，这些问题是非本质的，只是在看参考书 时留意其差异即可.2, 环的第二同构定理与祥的聲二同构定理很类似”不仅定理 的杀件和第论类似，而且其证明

51、方法血基本相同.区别罠在于把康 来样中的子群H和帀规子郴N的裾积HN现在 严+代 换为/fd- N <现往”屋子环*N是理想九由此可if异同样園出此同枸宦理的示意图如右图，T1Q N3环的第三同构定理与群的第三同构定理也基本类似，只是其中有一部分转移到本节习题中去了.以上环的三个同构定理，从叙述（条件和结论）和证明方法应多与群的三个同构定理作比较，这样不仅可以加深理解而且可以增强记忆.三、习题4. 7解答1.证 必、魏性起然.观设 Kuu Z= 3八且尸<2=摯th）f a.站氐 R、*風lci 6 = 0.于 Ji. tt 打 0 a 4 叩-护 足-啊射从南肝是同杓映削一*.

52、.2.1± I、因为char尺8 +團禺啊1t n if < V zi C jV - e 足 It 的甲位兀.）足體数幵 Z 到环N 的单屈态.从而总乩2>旳为char R二宀网理易知tI Hr 屋-Jrt 的子环J?t = -jO«f»2F*'- 1 kp 到 i O . 1 -* »/> T 的诩构映射，故珂三北严3.证 设卩（讯>9尺则显黙;z 口巒7任取¥（） F旺丘丙则存在 ne N -ffi <p（n>乔=亦就.从而1-tpS 一，M）=护3 ） «3（ 77.） 0 f- .&

53、#39; :'i即"一并EKUM 令7壮=阳.Z -£iJj?+祐 EW”因此评一/丙）再由NgQ 盲h可知a_ La . "jBll1N二厂.4.貯： ( cb- Itu层环R到左的个双射.又由于響L (ci + ei i + <c + t/ii = *( ac > t 1 占+&i d + f心+廿bb制 a +=¥(+加-4护(斗"ij«0ft十川门=卩农匸一住H) + 2cf+加)iftiebd ud-hha ad be qc t>ii =样ci +护11-卜占i) f枚管足同构秧射，从而RZ

54、TR.5” 湮K为耶* Z右&, HE I列11 > W/JJ呵的型 ttXBPHc有丿侵快/<八7X 屮 K 显 斤 賄古 Z 旳 期想*2 i毎口核同公尺f K#Z NT ,R 的理痕 H misfed< H+ WF2诳 1)设K<R/Xf.且扛=21冷尺人则任取血， 爲WK*总尺，有鮎+ N/* + N氏，且(应+ N一£ 虹 +N) =£决1 ZiJ+NEX*CH-jV.JCfe, +- N > = rjk + JV t fC i<t=亡玄，即如-krky MwEK.从而 KR.且 nK/N-和因为Rt且在自然同倉下 H的

55、*为心3,卿任脱 血十 NEK/N，7?在 h 丹，使 + + N=+M 即 ft 一 HE M 令 & A小则庚=力 + 烈 H+N, KcH+ N.又任取h +斯円 + H/CW*则石+ ”衽自然同态之下的象怕內 4-w-b /VA 亠ZE KZ故 h + n K, H + N K因此 K = H 十 N，即 H 的象为(H + N) / N .§4.8素理想和极大理想一、主要内容 1 .素理想和极大理想的定义和例子.整数环Z的素理想为0、Z以及由任意素数p生成的理想< p>,而且< p> （p为任意素数） 还是Z的全部极大理想.< x &g

56、t; , < y>, < x, y>以及< x, y,2>者E 是环Z x, y 的素理想，而且< x, y,2>还是 Z x, y 的一个极大理想.2 交换环R中,理想P是素理想二R/P 是整环.在一般环R中，理想N是极大理想=R/N 是单环.3. 有单位元的可换单环必为域.1）设R是有单位元的交换环， W K7N 是以 <=> JV 是极大理想.2）有单位元的交换环中极大理想必为素理 想.二、释疑解难1. 关于素理想的定义.多数的书那是在交换环中定义素理捲I但1&49年麦珂<N. H.推广为在任意耳中定义需理想.盘叉 设卩足坏尺不一定町换的一个理想若对R的任意理想盘，E有Q AUP 或 卩则称P为环R的一个素理想.1 j,B1 K若P是现在意义下的索理患*则当片为交换坏