微积分极限法（标准分析）的本质及问题详析

1、 微积分极限法（标准分析）的本质及问题详析 沈卫国 （西北工业大学前逻辑与人工智能研究所，西安 710072）摘要：为了解决牛顿、莱布尼兹求导法所产生的贝克莱悖论问题，微积分极限法（标准分析）被提出。但后者成立的前提是这个极限必须存在。笔者经分析得到结论，增量比值函数在0点的极限与函数值一样，也不存在。于是极限法并没有也不可能解决根本问题。此问题的解决，必须要有新的思想。关键词：微积分；标准分析；极限；增量比值函数；贝克莱悖论；导数；芝诺悖论 一、以二次函数为例对传统微积分极限法求导过程的分析 微积分极限法（标准分析）的提出是为了解决牛顿、莱布尼兹求导法产生的贝克莱悖论的（尽管其实牛顿等早就试

2、图用极限来解决其理论困境）【6】。但首先这个极限必然是“不可达极限”，否则极限值就是增量比值函数的函数值，一切问题都没有变，贝克莱悖论仍在。但既然所论函数永远达不到这个极限，它又有什么意义？尽管可以将其重新定义成函数值，但这只能是一个新的硬性定义出来的函数，与原求函数是不同的（起码在0点）。同时极限法的合理性，显然起码要依赖于这个极限在0点的存在性。但笔者经分析发现，增量的比值函数在0点的极限与其函数值一样，也不存在，于是极限法赖以成立的依据就不存在了。以往那种本来就很牵强的以不可达极限值取代增量比值函数在0点无意义的函数值（为0/0）的做法也随之不能成立。 笔者在【文献4】中初步对此进行了讨

3、论，但囿于当时的研究水平，仍显不甚透彻及中肯。本文将从根本上彻底解决这一问题。为兼顾初学者，并不失一般性，本文不拟采用更形式化的专业行话，同时直接从实例入手讨论问题。下面以二次函数为例更详细地分析这个问题。 -(1) 公式1就是极限法求二次函数=2导数的最经典的式子。无疑，二次函数的增量比值函数在x=0点的函数值是无意义的0/0，这显然是学界所公认的，否则也没有必要再去求其极限值了。因为显然，微积分极限法也就是标准分析的根本目的，就是为了解决此类问题的（所谓贝克莱悖论）。它以一个函数的增量比值函数在x=0的极限值取代为0/0的函数值，去定义该函数在x=0点的导数值。试图以此迂回手段解决或回避贝

4、克莱悖论，并声称已经解决了理论困境，这个问题不再存在。但事实真的如此吗？我们由公式1右数第二个等号两边可知，当x趋于0时，其自身也就是x本身的极限明确等于0。由此上式中左数第一个等号的右边项，当x趋于0时，无论分子还是分母中的x的极限均为0，于是整个比式的极限与其函数值一样，为无意义的0/0，也就是“没有有意义的极限”。这从“两个极限之比的极限存在的必要条件为分母的极限不能为0”的极限运算法则也可印证。从函数的连续性要求，我们也应该能够得出这一结论。连续性不应该只对有意义的函数值及极限值存在，对无意义的0/0也应该存在。既然在x=0已经得到了0/0这个函数值（哪怕是“无意义的”），其在该点的极

5、限值当然没有理由不是0/0。退一步说，就算这个极限值不一定是0/0，但其可能性也无法排除（既然函数值都可以是0/0）。既然如此，在公式1右数第二个等号的右边项，实际上是分子分母相除消去了分母上的x而得到的。任何人都清楚，如果分母为0，就不能做除法，但现在却在前述分母为0、退一步说起码是可能为0的情况下不加任何说明地分子分母相除先消去了分母上已经是或可能产生0的因素x，这等于宣称直接排除分母为0的任何可能。换言之，在所求最终结果分母为0或可能为0的前提下，就根本不应被允许去做目的是消去分母上已经存在或可能存在的0的除法操作。更不能在做了这样的除法人为地“消去”了分母上出现或可能出现的0后，就算“

6、求”出了分母没有0的有意义的极限值，同时声称原增量比值函数尽管在x=0时函数值为0/0，但却可以有分母上无0的非0/0型的、有意义的极限值。也就是说，在这样一个多余的步骤或操作（除法）下，我们还能说最后“得到”的有意义的非0/0型的极限值，是我们通过合理的运算“求”出来的吗？显然，它是直接定义出来的。使用的隐蔽手段是不加声明、不顾使用条件地悄悄做了本来根本不能被允许的除法（因为除数与被除数都是0或可能是0），预先人为地也是非法地消去了讨厌的分母上出现或可能出现的那个“0”，然后又说分母上原本就没有“0”（或求出了“没有0”，或证明了“没有0”）。当然，如果非要做这个“除法”，那也要求定义域不能

7、包括x=0点，因为在那里分母会或起码可能出现0。而如此一来，我们还能“求出”在定义域之外的x=0上的有意义的非0/0型的极限来吗？总之，在x=0点，不应该出现“没有非0/0型的有意义的函数值，但却可以有非0/0型的有意义的极限值”的情况。 当然，公式1的做法也许（笔者未见有人明确提出）是依据教科书中的一条规定（也算极限运算“法则”之一）：“对于0/0型的极限，因式分解约去分母上的零因子后求解”。但此“规定”或“法则”在一句话中就前后自相矛盾：先是要有一个“0/0型极限”（也就是极限为0/0），而后才谈的上“对于”它如何。同时马上又令消去分子分母上的共同的“零因子”而“求解”出另一个非0/0型的

8、极限。而这个所谓的“约去”，本质上不过是对分母上为0（起码是将要为0）的因子进行相除，也就是0除以0（即0/0）。于是上面的这条“规定”不能不变成“对于0/0型的极限，因式分解后进行0/0类型的相除操作，然后求出非0/0型的极限”。显然，除非如此求出的极限是其它函数的，否则自相矛盾。此外，一个分式，哪怕分子、分母中有共同因子，也没有必须相除成为非分式的道理，始终保持分式形式在数学上、逻辑上无任何问题。如此一来，即使在0点函数本身根本没有定义（函数的定义域不包括0点），它的极限值也应该是0/0，而不是任何非0/0型的有意义的值。同时，所谓分子、分母相除“以约去分母上的零因子”，其本质就是0除以0

9、后还要等于1，即0/0=1，这当然不合理。退一步说，就算该比值函数的定义域一开始就不包括0点（事先规定、定义的），此时分母倒是不再为0了，似乎分子、分母可以被允许相除以得到一个有意义的非0/0型极限。但前已论及，即使如此，这种“相除”也根本就不是必须的，完全可以选择不去相除，因此随分母上自变量趋于0函数在0点的极限完全可以仍旧是0/0。如此，这种定义域不包括0点的分母上为自变量的比值函数，根据分子、分母的相除与不相除（也就是消去与不消去分母上的自变量），竟然可以分别得到两个不同的、而且直接矛盾的结果（极限值），一个是0/0型的，一个是非0/0型的。这本质上就是一个隐性的贝克莱悖论，预示着理论在

10、什么地方出了问题，需要解决。同时，一个函数在0点有无意义的函数值0/0，但却可以有有意义非0/0型的极限值，本身也是非常牵强的。可见，前述教科书中对“0/0型极限”的“求解”得到有意义的非0/0型极限值的方法、规定根本就不能成立。以下对此问题进行更为详细的分析。 普遍地，我们在做除法或分母的消去运算之前，必须搞清楚这个运算究竟意味着什么？显然，以往对这个看似简单至极的问题，实际并没有彻底澄清。比如，6/2=3，或0.6/0.2=3，究竟意味着什么？实际上都是把分母上的数“折合”成1也就是1个单位所得到的数，严格讲，它仍旧是个比值，这才能与原式的比值特性相一致。在上例中，也就是3/1。有人会说，

11、3=3/1，这又有什么区别？“3”不是一个比值函数，如果以一个纵坐标表示，它就是一条横线，在自变量为0处仍然有确定的值3。而3/1本质上是一个比值函数，只是在自变量也就是横坐标值“1”处与作为函数的3在数值上相等，但它涉及的是比值函数3x/x，函数图形在坐标图上虽然也是一条横线，但在x=0点显然无值（或说有无意义的0/0值）。这在直观上也好理解：两个各自为0的量，怎么还能有比值？于是我们知道，一个比式特别是比值函数相应地做除法时，其结果严格讲也必须是一个比式，哪怕其分母不过等于1也罢（又比如不能整除的1÷3=1/3=0.333333.，实际严格地应该是等于（1/3)/1或者(0.33

12、3333.)/1）。因此，我们必须牢记，比式或除法的结果写成一个数的形式，比如上面的6/2=3、1/3、0.3333333.等只能是一个简化写法，它只涉及具体数值，而不是全部信息。也就是，这种写法下，它的信息（具体说就是比值信息）是要丢失的。我们在数学上的“单位”、物理上的“量纲”上也可以看出这个问题。比如几何上一个三角形的两个直角边之比或坐标系的纵、横坐标之比，严格讲都应该标上单位“a直角边值/b直角边值”或“纵坐标值/横坐标值”，或者“距离/时间段”（速度）等等。而这些单位或者量纲是保持运算始终的，也就是即使由除法表面上“消去”了分母上的数或变量，它们也应该保持者，因此之故，所谓的“消去”

13、分母，严格讲不过是分母为“1”之值罢了。由于1除什么数值不变，因此通常可以省略（当然并不严格，这从量纲不变还是分式可以明显看出来）。比如，有50人，分成5组，就是50人/5组=10人/1组，可以简写为10（人/组）。而50人，每组5人，可分为几组？则应是是50人/（5人/1组）=10人/（1人/1组）=（10人/1人）×1组=10倍×1组=10组，也就是可以“消去”分子分母上共同的“人”而简化成“10组”，但这里实际上也同时“消去”了一些信息，也就是关于“人”即每组多少人的信息，信息不完整了。当然，如果我们只要知道可以分为多少“组”，则足够了。对50人是5人（或更一般地，5

14、0份是5份）的多少倍这样的问题，50人/5人=10人/1人=10（倍，“倍”的定义：一方为单位多时，另一方是多少。其量纲分子分母相同，比如“个/个”、“人/人”、“份/份”等等），似乎可以“随手”消去分子分母上的单位“人”（或者一般地“份”）。但真正严格地，我们还是应该写单位“人/人”或“份/份”这样的“量纲”，进而严格地分母上不能少个“1”。如果消去它们，以一个“倍”字代替，也是另起一个简化名字的意思，甚至消去后连“倍”字也省略掉，我们也应该知道它的实际意义是“倍”，否则就是信息丢失。也就是，真正严格地，上面例子的简化结果“10组”，其实写全了应该是“10（人组）/1人”，或稍加简化也可写为

15、“10（人组/人）”。这样所包含的信息才完全。即如果以1人为一组，可以组成10组之意。而如果只写成“10组”，则仅从字面上上无法知道一组为多少人。信息丢失了。 在以上讨论的基础上，不失一般性，我们就可以很容易地证明二次函数也就是公式1所求的在x0时极限，不可能是通常认为的2x。 证明：假设公式1也就是二次函数求出的x0时的极限就是2x，而按前面讨论得知，它实际上只能是一个分母为1的比式，也就是2x/1，直观上，如果代表物理上速度这个物理量，则其量纲为“距离/时段”，分母上的“1”，表示“单位时段”，也就是“1个时段”。2x此时为也仅为单位时段1下的距离值，也就是在任何其它时段下也得不到2x值。

16、于是，当公式1中x0时，如欲得到极限为2x，也就是2x/1，必须要有在公式1中未写出的2xx/x项中的x1或x=1，但这显然与x0的要求矛盾，除非x0=1，这当然不可能。因此极限公式1也就是二次函数在x0时的极限不可能是2x。那么，会不会二次函数在x0点的极限恰巧和x1点的极限数值上一样呢？我们看公式1右数第一个等号左边的第一项，按前述理由，必须x1或x=1才能得到；而其第二项，却必须x0或x=0才能得到（参见公式2。其中右数第一个等号左边的第一项“2x”，严格讲应该写成“2x/1”，因为不是没有分母，而是分母被趋于1或者等于1而得到的“2x”）。- (2) 在一个式子中的两个项中相同的x，要

17、同时趋于或等于不同的值，这显然不可能，也是个矛盾。所以，公式1的极限值，不可能是2x，而只能是0/0（当然，如果公式2左数第二个等号右边的第二项（右项）中的x也趋于1，则得到导数“2x+1”,也不行）。用物理的速度概念解释，就是时段x再小，只要不为0，它也可以“折合”成时段为1（单位时段）下的距离值，而时段一旦为0时，运动距离只能也同时为0，不可能出现时段为1（单位时段）下的运动距离2x。如果有，也只能是重新定义意义下的“瞬时速度”（数学上就是“导数”），详见【参考文献1】中笔者相关论述。 于是，非常清楚了，公式1所“求出”的极限2x，仅仅是非增量比值函数2x+x（已经不是比式，也自然不会在分

18、母上出现x）在x0时的极限，而绝不会是公式1左边的增量比值函数在x0时的极限。也就是显然，x0时的极限就是0，而导数的原始定义也就是公式1左边的比式的分母中出现了它，按比值函数的极限仍是比式的原则，分母中x自身趋于0的极限，当然是0，于是不可避免地会有0/0，而不是2x，后者是分子分母相除消去分母上的x后得到的，而作为比值函数，前面已经讨论了，这不能被允许。或者我们也可以理解成2x/1，也就是一个以1为分母的比式，如此，除非x1，否则在x0条件下无法对2x/1的分母运用传统的极限定义法则。对于极限定义的法则，有必要多讨论几句。传统上以为，只要有不带分母的一个数，满足的一套描述，该数就是极限，比

19、如这里的2x。但实际上，前面已经讨论了，这个2x必须保持比值特性，也就是实际是2x/1，于是，所谓的一个数2x，表面看没有分母，实际必须有分母为1。于是，表面上看单纯的以一个数2x为极限（x0时），实际上还是个比式的极限，而且其分母已经达到其极限值“1”了（也就是分母上实际已经x=1，即已经达到了x1之值1了）。因此，不能不有分母的x1或x=1与分子的x0的矛盾。也就是的步骤走不下去。由以上讨论可以看出，导数的确切含义，需要重新定义。以并不存在的极限值（这个例子中即“2x”），是无法继续定义导数了。 二、对一个更简单的函数/及(sin)/的极限、求导问题的分析 再举一个简单但明确的例子：对于特

20、殊的线性函数y=x(其函数图像就是一个等边直角三角形）,其增量函数为y=x,增量比值函数就是y/x=x/x，这实际就是函数y=x的导函数，它在0点之值传统上认为就是该函数在0点的极限值1，显然它必须通过分子分母先相除得到函数1后再求极限才能得到0点的极限1，见公式3。- (3) 而可以这么做的前提显然是在x0时x/x=1。既如此，我们是不是可以就此反过来认为“1”这个函数在x=0点（x0时）也无有意义的极限，也就是极限为0/0而不是“1”？显然从未见过有人这么认为。总之，函数x/x在0点的极限为1而不是0/0（虽然不是有意义的值）的结论极其不自然。于是，我们并没有函数1在x=0点的极限为“1”

21、，就自然地有了 x/x在x=0点的极限也为“1”这样的证明结论。总之，对全域而言(此处指定义域包含x=0点）， x/x与1是两个不同的函数。前者在=0点无有意义的值（“等于”0/0)，后者有有意义的值（仍为1）。显然，传统微积分极限论完全无视了这两种不同的情况的区别。产生以上问题的原因，本文第一节中对二次函数极限问题的分析中已经讨论了，与之类似，这就是：对于x/x，通常以为当x0时有极限为1。但这是在对该式先做除法消去分母、分子上的x后得到的，于是一个比值函数最终变成了非比式，而前文已述，所谓除法或消去分母上的自变量之类的操作的本质，本应是将分母上的原数或变量“折合”成“1”（仍在分母上）这个

22、“单位数值”，而比值性质不能变。当然同理，一个比值函数的极限，严格讲应该还是一个比式，哪怕这个比式的分母为1也罢。于是，1严格讲应该写成1/1，以区别于非比值的1（所谓“非比值”，可以理解成函数值与其自变量数值无关）。于是所谓的求x0时有极限为1，成了个定义：x0时的极限就是x1或者x=1时的极限，而谈不上什么“求出”。见公式4。- (4) 那么，这个定义成立吗？当x1或x=1时，x/x分子分母分别为1得到1/1，按同样的求极限的原则，当x0时x/x分子分母分别为0，得到0/0，显然它与1/1不同，除非0=1。换言之，如果x0时x/x的极限值与x1或x=1时的一样也为1/1，那么，同样理由，既

23、然为同一个函数，也自然就应该有x1时x/x的极限值与x0或x=0时x/x的值0/0一样。显然，这要求0=1，因此不可能实现。于是前述定义不成立。 至于公式5 .（5） 的传统证明，它的基础是，当充分小时（不妨设它为正），有： sintan .(6) 用sin（这是正数）通除6式，得到： 1/sintan/sin=1/cos .(7)最后一项，当0时，cos1，得证【6，P31】。这里不得不又用到了除法。目的无非还是把5式中的分母上的自变量，用7式中最后一项的1/cos来代替，以求的当0时或直截了当地=0时，分母上的cos都为非0的1。但我们看出，当cos1或cos=1时，7式等号左边项tan/

24、sin的分母sin0或者sin=0，而左数第一个不等号的右边的/sin，分子分母也都会趋于0或等于0。这严重违背了前面以sin“通除6式”的前提条件“这是正数”，当然是个矛盾。因此，从7式等号左边推导得到等号右边的1/cos ，实际是通过消去分子分母上已经或可能变成0的、也就是sin的定义所依赖的三角形的已经或可能变成0的竖边所得到的。当然，此时得到的cos ，定义中并不依赖三角形的竖边，而只依赖三角形的横边。在竖边等于0也就是角为0时，横边为1而不为0。所以，7式的等号并不严格成立，它人为地通过除法排除了tan/sin分子分母同时为0的情况（进而也当然排除了5式分子分母同时为0的情况）。有些

25、书中在7式中有意无意不写tan/sin而只写最后一项1/cos ，深究下来总给人一种想故意掩盖什么的感觉。也就是直白地说，必须老老实实地把5式的极限写为0/0。只有这一种结果。那什么时候它的极限可以为1（实际更严格地是1/1，这前面已经一再分析过了）？按前文对二次函数和自函数y=x的分析，直接令5式中的1时，也就是分母为1时。但应注意，由于角度的标度可以有很多种，比如度，弧度等等，数值都不一样。作为一个比式，显然分子分母的标度应该一致。5式分子上sin的标度定义在01之间，那么，作为同一个比式的分母，的标度也应该在01之间。以求得唯一的、有“可比性”的结果。 此外，以往总是说，实数的连续统理论

26、奠定了极限论的理论基础，因此微积分极限论的理论也就是完备的。但人们忽视了一点：0/0并不是实数，这意味着微积分极限论在所求导数的那一点上是没有有意义的极限的，于是建立其上的理论自然要重新考虑。 还经常听到有人说：“0/0没有定义，是因为0乘任何数都为0，这个比值可以是任何数，所以我们不知道它是什么。但是如果我们知道一个有确定比值的数列收敛于一个数，那么我们就能确定这个分子和分母都趋向0的比值的极限。”首先所谓“分子和分母都趋向0”，就是分子分母的极限分别为0，也就是0/0，还有什么有限极限值？自相矛盾。况且真能如此，求导数就应该可以允许把公式1左边项分母上的自变量乘到右边项，然后令其为0，其系

27、数不就是导数值，还用如此麻烦地用极限法吗？举一个最简单的例子：x=x，当两边无论是等于0还是极限为0，都是0=0。据此我们可以把0除下来得到0/0=1吗（无论函数值还是极限值）？如果是0=5×0，我们可以得到0/0=5吗？这个逆运算在数学上是不成立的。所以说0/0无定义，绝不是“可以是任何数”，而是不能为任何数。其理由正是0=A×0中的A可以是“任何数”。 三、传统微积分极限法虽有问题，但却可以得到正确结果的本质原因 参见图1。我们通常所说的y/x，其中无论函数的增量y还是自变量的增量x，都只涉及曲线上的两个点。这个增量是曲线上二点间的纵坐标值之差与横坐标值之差。这个增量之

28、比y/x在数值上等于该曲线上过此二点的割线的斜率，我们令其为g/f，其中g与f，是这个割线上的任意二点间纵、横坐标值的增量。注意这里是“任意”，不受曲线上那两个点的限制，受该二点限制的是“割线段”，也就是割线与曲线的两个交点之间线段(图1中的AB段），它的“长度”是会随二点重合而为0的（如图2所示）。但显然一般意义的割线上的二点在求斜率时不应重合成一点，因为“斜率”不可能仅仅由一个点来求得。在0时，当然有y/x=g/f，见公式8。 .（8） 由于在x=0时f0，也就是当曲线上的两点（与割线的交点）“收缩”成一点时，原先是过曲线上二点的割线，此时变成了切线。因此，不失一般性，为明确起见我们可以就

29、令fx，gy，于是，当x=0时虽然有y/x=0/0，无意义，但此时f0，因此g/f仍有确定的值，也就是原先是割线、现在已是切线的那根线的斜率（见图2，公式9）。我们求的实际就是它，而不是通常被误解而会产生诸多逻辑问题的y/x。 .（9） 也就是说，当x0时，我们实际求的并不是y/x（会产生0/0)，而是g/f(不会产生0/0）。这也就是我们说极限法虽有逻辑问题，但却可以产生正确结果的原因，一旦被揭示，的确很简单。总之，在x=0时，意味着曲线上的两个点合二为一了。但增量的比值函数本身要求必须要有两个点，这是非0增量的本质性要求，于是，在曲线上那个唯一点（由图1中A、B两点重合得到的，见图2）处还

30、能够满足两个点要求的，只有过该点的切线上的两个点，而且是任意的两个点（图中为C、D）。也就是这个增量的比值是切线的斜率，它只涉及曲线上的一个点，也就是所求导数点（A点、B点已经重合为一点）。而只要涉及曲线上的两个点，无论它们靠得多近，哪怕是无穷小，也会产生“精度”问题。如果仅仅涉及曲线上的一个点，而不涉及切线上的两个点，也不行（有0/0的问题），这就是著名的贝克莱悖论产生的根本原因。所以尽管很多教科书中早就明确指出导数与切线斜率在“数值”上相等（但导数“必须作为一个“整体”，是一个所谓的“完整的数”，也就是不能再以分式的形式出现而有分子、分母”云云），但在传统微积分理论下，二者显然有本质上的不

31、同，否则根本就没有必要颇费周折地使用相当麻烦而且充满问题的极限法来求出这个本很简单的“斜率”。因此这个斜率定义在哪里，传统理论实际上不可能说清楚。无论是“无穷小区段”（所谓微分三角形）还是区段的“极限”，更何况由本文的讨论可知，这个所谓的极限（指非0/0型有意义的极限）还根本就不存在。总之，问题出在以往没人认识到导数会是两个普通的宏观量的比值。因此，也可以本质地认为，传统微积分求导中的问题，是把导数看成是曲线上二点间的割线“段”（只是整个割线的一部分）的纵、横坐标增量的比值，于是，当曲线上二点趋于一点时，这个“线段”必然趋于0，因此产生0/0的问题。但如果曲线上的二点不趋于一点，则必有误差，哪

32、怕是无穷小；而笔者的“导数观”，不过是只要求“过”曲线上二点的那个割线上的“任意”二点，如此涉及的点的总数，不仅仅是原先理论中的曲线与割线的两个交点，还有割线上的另外两个任意点，也就是一共涉及4个点（图1中的A、B、C、D点，当然A、C二点可以重合，但不是必须重合）。于是在曲线上的A、B二点趋于一点时，涉及的切线上的另外C、D二点不受此限制，不会趋于一点，因此仍有求斜率的条件，也就是过曲线上一点的切线的斜率。同时，既然不过是切线的斜率，就不必一定采用这种重新被解释的“极限法”（此时仅有形式、过程本身了）来求导数，笔者提出的代数法起码在理论上也可以【1】。总之，传统微积分（无论牛顿法还是“极限法

33、”，本质一样）贝克莱悖论的产生本质，还是源于导数定义中作为增量比值函数的双点（也就是线段）要求，和同时导数又严格定义在曲线上一个点的基本事实间的关系没有厘清。也就是这两个导数的基本要素间的表观矛盾没有被澄清：如果仅仅拘泥于在曲线上，二点合一与不合一，都不行。而把问题分解到曲线上的一个点（切点，当然也是切线上的一个点）与切线上的另外两个点（任意的），则矛盾自消。事实上，我们可以将导函数看成一个特殊类型的泛函，只不过其过曲线上每点的函数，为线性且等值函数（等比函数，x/t不变，但t可以随意取值）而已。 从另一个角度看，线性函数的求导，根本就不需要极限法，比如上面讨论的x/x函数，其导数就是x/x=

34、1（x可为任何宏观量，而“1”按前文详析分析，严格讲应该写为“1/1”，当然可以简写为“1”，但要明确“量纲”或“什么量比什么量”，即使在数学上也要如此），很自然，根本无须什么从极限法求出的（无论无穷小意义的还是极限意义的）dy/dx=dx/dx=1。这里的“d”与原先的“”当然含义不同。同样，线性函数或“自变量”的微分也不需要现在教科书中通常的强令dx=x之类难以解释的做法了。微积分理论当然包括线性函数，而它的理论基础极限论如果真的是必不可少的，那么对线性函数也就应该是必不可少的。即没有极限论，也同样解决不了线性函数的求导问题，而不仅限于非线性的曲线函数。但由上面的分析，这当然不是事实。一个

35、理论，在复杂的情况下必须，对简单的情况反而不必须了，这说明什么？只能说明这个理论有问题。也就是说，应该把简单的线性函数下的理论作为本源性的出发点来解释较复杂的非线性函数下的理论，而不是相反。事实上，谁都知道非线性函数的导数在数值上等于其切线斜率，后者当然是线性函数，其斜率仅仅依赖于其上的任意两个不同的点。而极限法所要求的信息不但更多，而且多余。如：1、曲线上一点固定（导数点）；2、另一点不断趋近固定点；3、在最终到达该固定点的问题上出现两难问题，要么得到0/0，要么要有误差。总之，到与不到，都有问题。于是显然，恢复导数的本源，就把它直接定义成函数的切线斜率，而不仅仅是数值相等，是十分必要的、也

36、是最简单的唯一理论出路。而一旦导数被定义也仅仅被定义成切线斜率，只要能够求出曲线某点的切线自然就得到其斜率了，而无论用什么方法。 数学上的导数在物理上的对应概念“瞬时速度”如何描述或定义？毕竟微积分在很大程度上是源物理问题的。笔者在文献1中有详尽的讨论。这里只简单提一下。瞬时速度的新定义：当一受力作变速运动的物体在某瞬时受力解除或如果解除而做直线匀速运动时，这个匀速运动下的物体速度，即为原变速运动的物体在该瞬时的瞬时速度。 此外，导数问题不解决，微分中自变量的微分的定义问题也不可能从根本上解决。传统上定义微分dy为函数增量的线性部分（“线性主部”的说法不确【6】），即dy=f,x，如果像现有理

37、论那样令（或所谓的“证明”）dx=x，则有dy=f,dx，自变量与因变量地位互易，显然有dx=(1/f,)dy，由于此时dy是自变量，由同样的原则，我们当然有dy=y，于是显然又有dx=(1/f,)y，也即y=f,dx，从而有y=f,x，与传统微分定义明显不符，都知道y是函数的增量而不是微分dy，由此产生矛盾。但在笔者对导数的重新解释下，没有任何问题。详见前文论述及文后参考文献。 四、芝诺“飞矢不动”悖论与微积分贝克莱悖论（即0/0问题）的关联性分析及矛盾的化解以及“阿基琉斯”悖论与微积分极限法在本质上的对应性、同构性分析 事实上，微积分求导问题中的贝克莱悖论与古希腊的芝诺悖论中的“飞矢不动”

38、悖论是同构的。再以自函数x/x为例。都知道其有导数恒为1，按物理解释，就是速度为1。其量纲为“距离/时段”。从这个量纲也可以看出，时段x0。飞矢不动悖论，就是问的在x=0时，以恒定速度1（更本质地应该是1/1，见前文）运动（在这个具体的例子中）的“飞矢”，究竟是静止还是运动？按以往极限论的观点，x=0时，虽然没有函数值，也就是恒定速度值，但因为有这个恒定速度的“极限”，也就是令这个极限值为x=0点之值，并命名其为 “瞬时速度”。极限论者认为只要进行了这个“代换”，问题就算彻底解决了，而全然不顾在x=0时，分母为0，从速度的量纲上也可以看的出来，此时这个函数值为0/0，根本就没有有意义的所谓“速

39、度”。极限论成立的前提条件，显然是先要有这个“极限”值，但由前文分析我们现在知道，这个极限值根本就不存在（在x=0点），它与速度本身的值一样，也是0/0，无意义。因此想以这个本不存在的“极限值”去填补原速度函数在x=0点不存在的值是不能成立的。也就是它没有也不可能解决贝克莱悖论的问题。当然，对极限论的彻底分析，也有助于我们解决著名的芝诺悖论中的飞矢不动悖论。芝诺认为x=0时飞矢不动就等于速度为0，但这是错的，因为所谓“不动”可以是速度为0（指的是在时段x0时运动距离为0，而不是时段为0时的运动距离为0），也可以是时段本身就是0，也就是时刻、瞬时（可以想象成理想化的、现实中不可能实现的时间的静止

40、状态）时的飞矢状态，此时它当然没有移动。但后者不叫速度为0，而是在一个“瞬时”或时刻（不是时段，或时段为0）上，时间没有“移动”，飞矢自然也不会“移动”。但这不可能定义速度。因为它与速度的定义不符。这以在此点它的值为0/0体现出来。至于之所以会有“瞬时速度”之说，那只是一个重新定义的问题。是把本质上依赖于时段的本原的速度定义，重新定义在时刻上。是个次级定义。也必须重新解释【1】。 对应芝诺的“阿基琉斯悖论”，如果把其中的乌龟与阿基琉斯分别代换成微积分极限理论中的和，再以乌龟的参照系下的乌龟相对速度为0作为基准，简直就是微积分极限理论在线性函数（通常认为阿基琉斯与乌龟的速度都是匀速）下的翻版。如

41、果以乌龟与阿基琉斯之间不断接近的相对距离为函数，时间的增量为自变量，所谓“阿基琉斯永远追不上乌龟”，也就是二者不可能距离“重合”，只能不断接近，不就是微积分的极限定义吗？可以无限接近，但不可到达（一到瞬时速度就成0/0），而二者重合的点只能是个可望而不可及的“极限”。由此把微积分极限法（标准分析）对应、还原于以往并没有被彻底解决的阿基琉斯悖论也可看出，极限法并没有解决问题：无论速度还是瞬时速度都是客观存在的，也就是前文已述的“分母为1”单位时段物体所运动的距离。但此处却要求时段趋于0而有不能到达0。反之，由笔者的解释，微积分导数问题彻底解决，顺便也就解决了芝诺的阿基琉斯悖论。也就是阿基琉斯追上

42、乌龟时的瞬时速度（同样以单位时段下的运动距离来标度），与时间的增量的不断减小和与其对应的二者间距离的不断减小根本无关，是两回事。在匀速条件下（线性）此点比变速条件下（曲线、非线性）可以看的更清楚。显然，匀速运动的线性条件下，所谓瞬时速度就是平均速度或速度，无论从数值还是实质上。而作为微积分理论的统一描述要求，变速运动、曲线运动的非线性条件下，瞬时速度的定义也一样，只不过曲线运动的瞬时速度，并不是曲线运动的平均速度，而是所求瞬时速度的曲线上的那一点的切线上的平均速度（作为匀速直线运动，也就是速度，时段为1，也就是单位时段）。如此而已。 应该强调的是：即使微积分极限论（标准分析）以至于非标准分析都无错，都成立，也不就是笔者的“增量分析理论”【1、4、5】就有错、不成立。也就是，如果极限论等有问题，只有笔者这个方法可以消除其矛盾（消除矛盾依赖于笔者这个理论）；但反之，并不就是笔者这个方法依赖于极限论的错误。也就是不存在它不错笔者就错的情况。我这个增量分析方法如果无矛盾地解释了导数、微分等等，并且可以