第14篇算法初步、推理与证明、复数(DOC)

1、第十四篇 算法初步、推理与证明、复数第 1 讲 算法的含义及流程图知识梳理1. 算法与流程图(1) 算法通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤， 这些程序或步 骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.流程图是由一些图框和流程线组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中 的文字和符号表示操作的内容，流程线表示操作的先后次序.2. 三种基本逻辑结构(1) 顺序结构是由若干个依次执行的处理步骤组成的，这是任何一个算法都离不开 的基本结构.其结构形式为(2) 选择结构是指算法的流程根据给定的条件是否成立而选择执行不同的流向的结 构形式，也称为分支结构.其结构形式为(3) 循环结构是

2、指在算法中，需要重复执行同一操作的结构.反复执行的处理步骤称为循环体.循环结构又分为当型和直到型.循环结构主要 用在一些有规律的重复计算的算法中，如累加求和，累乘求积等问题常常需要用 循环结构来设计算法.其结构形式为3赋值语句、输入语句、输出语句赋值语句用符号表示，其一般格式是变量-表达式(或变量)，其作用是对程 序中的变量赋值；输入语句“ Reada, b”表示输入的数据依次送给 a, b，输出语 句“ Print x表示输出运算结果 x.4.算法的选择结构由条件语句来表达，条件语句有两种，一种1IfAThemiI是 If Then- Else 语句，其格式是5.算法中的循环结构，可以运用循

3、环语句来实现.(1)当循环的次数已经确定，可用“For 语句表示“For 语句的一般形式为说明：上面“Fo 和“End for 之间缩进的步骤称为循环体，如果省略“ Step 步长”，那么重复循环时，I 每次增加 1.(2) 不论循环次数是否确定都可以用下面循环语句来实现当型和直到型两种语句结 构.当型语句的一般格式是直到型语句的一般格式是学生用书第 188 页辨析感悟1.对算法概念的认识(1)任何算法必有条件结构.(X)(2) 算法可以无限操作下去.(X)2.对程序框图的认识(3) ?是赋值框，有计算功能.(X)(4) 当型循环是给定条件不成立时，执行循环体，反复进行，直到条件成立为止.(X

4、)(5) (2012 江西卷改编)下图是某算法的流程图，则算法运行后输出的结果是3.(2)3.对算法语句的理解(6) 5 = x 是赋值语句.(X)(7) 输入语句可以同时给多个变量赋值.(2)感悟提升三点提醒 一是利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是 用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特 点是先执行一次循环体，再判断；二是注意输入框、处理框、判断框的功能，不能混用，如(3);三是赋值语句赋值号左边只能是变量，不能是表达式，右边的表达式可以是一个 常量、变量或含变量的运算式.突破*高频考点以厠求法举-反三考点一基本逻辑结构【例 1】(1)(

5、2013 山东卷改编)执行两次如图 1 所示的流程图，若第一次输入的 a 的值为一 1.2，第二次输入的 a 的值为 1.2，则第一次、第二次输出的 a 的值分别为（2013 广东卷改编）执行如图 2 所示的流程图，若输入 n 的值为 3,则输出 s 的值是_ 解析 执行流程图，第一次输入 a= 1.2V0, a= 0.2v0, a= 0.80 且 0.8v1,故输出 a= 0.8;第二次输入 a= 1.2 0 且 1.2 1, a= 0.2v1,故输出 a = 0.2. 第1 次执行循环：s= 1, i = 2（2 3 成立）；第 2 次执行循环：s= 2, i = 3（3 3 成立）；第三

6、次执行循环：s= 4, i= 4（4 3 不成立），结束循环，故输出的 s= 4.答案（1）0.8,0.2 （2）4规律方法此类问题的一般解法是严格按照流程图设计的计算步骤逐步计算，逐次判断是否满足判断框内的条件，决定循环是否结束要注意初始值的变化，分清 计数变量与累加（乘）变量，掌握循环体等关键环节.【训练 1】（2013 天津卷改编）阅读下边的流程图，运行相应的程序，则输出 n 的 值为_解析 第 1 次，S= 1,不满足判断框内的条件；第 2 次，n = 2, S= 1,不满足判断框内的条件；第 3 次，n = 3, S= 2,不满足判断框内的条件；第 4 次，n =Y tfT p+1J

7、=J+(-L)T/feAjt /4,S= 2,满足判断框内的条件，结束循环，所以输出的n = 4.答案 4考点二 流程图的识别与应用问题【例 2】（1）（2013 新课标全国U卷改编）执行如图 1 的流程图，如果输入的 N= 4,那么输出的 S=_ .学生用书第 189 页114X3X2+5X4X3X2（2013 重庆卷改编）执行如图 2 所示的流程图，如果输出 s= 3,那么判断框内应填入的条件是_ k 6; k 7； k 8; k 911 1解析（1）由框图知循环情况为：T= 1, S= 1, k= 2;T=2S= 1 + ?,k= 3;T=2X3， 1 +-+ + -；十 2十 3十 4

8、 ；14X3X21 , V 11+2+3+4+11 1 + -+13X2/输人川/=4;依次循环，第六次进入循环体，s= 3, k= 8,此时终止循环，贝 U 判断框内填 k5,执行赋值语句 y= 7.5x= 7.5x20= 150.答案 150I课堂小结I1.在设计一个算法的过程中要牢记它的五个特征：概括性、逻辑性、有穷性、不 唯一性、普遍性.(1)图 1 的运行结果为(2)图 2 的运行结果为s-o1“Ii W hile S20iIt:End hileii:Printi :- - .1.Si.解析 图 1 的伪代码是先执行 SJS+ i,LTiI洽 T:IIiWhileS20iII；i-1

9、+ 1!:End W liileI:PrintiS2后执行 iJi + 12算法的思想与数学知识的融合会是新高考命题的方向，要注意此方面知识的积 累.3条件语句一般用在需要对条件进行判断的算法设计中，如判断一个数的正负， 确定的两个数的大小等问题都要用到条件语句.4循环语句有“直到型”与“当型”两种，要区别两者的异同，主要解决遇到需 要反复执行的任务时，用循环语句编写伪代码.学生用书第 190 页培养-解题 能力散惊解题提升能力教你审题 12算法语句的识别与读取【典例】(2013 陕西卷改编)根据如图所示的伪代码，当输入 x 为 60 时，输出 y的值为_ReadxIgkf A 50 Then

10、IIiav =0. 5卓tI-IH亡1Iv = 25 +0. 6 * (A- 50)jiBRIfiaIii世也丄.:审题一审图：本题是一个含条件语句的伪代码.二审过程：实际是一个分段函数求值问题.三审结论：要求 y 值，应根据 x 的取值找对应的解析式.解析 通过阅读理解知，算法语句是一个分段函数 y 二 f(x)二0.5x，x50， y=f(60)=25+0.6X(6050)=31.答案 31反思感悟计算机在执行条件语句时，首先对 If 后的条件进行判断，如果条件符合，就执行 Then 后的语句 1,若条件不符合，对于 IfThen Else 语句就执行 Else 后的语句 2,然后结束这一

11、条件语句对于 IfThen 语句，则直接结束该条件语 句.【自主体验】为了在运行下面的伪代码后输出 y= 16,应输入的整数 x 的值是_ .；Read .II!IfA0 ThenIl!j：+ 1 )JII:I:I I!iEnd IfIIII：Print vi；r解析 当 x0 时，由 1 x2= 16 得 x2= 15,矛盾.答案 5基础巩固题组（建议用时：40 分钟）一、填空题1. （2013 新课标全国I卷改编）执行如图所示的流程图，如果输入的t 1,3 ，则输出的 s 的范围为_ .解析作出分段函数 s=3t,1tv1,2的图象(图略)，可知函数 s 在 1,2上单调递增，在2,3)上

12、单-t+4t,1 8,满足条件，输出 a = 9.答案 97. （2013 江苏卷）如图是一个算法的流程图，则输出的 n 的值是_解析 第一次循环：a= 8, n = 2；第二次循环：a = 26, n = 3.答案 38如下给出的是用条件语句编写的一个伪代码，该伪代码的功能是 _JT始5* O,Jt * 1/ 输入R /第 5 题图S-l+2Sit* Jt+1/输出宫/结束:Read ,rIf .t 3EkeEnd If:End IfI:Flint v了 2x, x39. (2014 临沂一模)某流程图如图所示，该算法运行后输出的k 的值是311S= 3+ 2= 11, k= 3;第四次循环

13、，S= 11 + 2 , k= 4;第五次循环 S= 11答案 410. (2014 枣庄模拟)如图是一个算法的流程图，若输出的结果是31，则判断框中整数M的值是_ .Then:-1.V解析循环,+ 211aa + b；lihba+6 :End lilelIH:Printb!I-3 十 3-1十十149.4.（2013 湖北卷）阅读如图所示的流程图，运行相应的算法若输入m 的值为 2,则输出的结果 i 二_ .解析 i = 1, A= 2, B= 1i= 2, A=4, B = 2i = 3, A= 8, B= 6 i = 4, A= 16,B = 24,满足 AvB,输出 i = 4.答案

14、45.（2014 淄博二模）执行如图所示的流程图，若输出的结果是8，则输入的数是 解析 由 ab 得 x2x3,解得 x 1.所以当 x 1 时，输 出 b=x3.所以当 x 1,由 b = x3第 4 题图第 3 题图二 8,得 x= 2,所以输入的数为 2 或一 2 2.答案 2 或2 26.（2014 丽水模拟）依据小区管理条例，小区编制了如图所示的住户每月应缴纳 卫生管理费的流程图，并编写了相应的算法已知小张家共有4 口人，则他家每个月应缴纳的卫生管理费（单位：元）是解析 当 n = 4 时，S= 5+ 1.2X(4 3)= 6.2.答案 6.2学生用书第 191 页第 2 讲合情推理

15、与演绎推理诊断-基础知识由践入棵夯基固本知识梳理1.归纳推理（1）定义：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物有这种属性的推理或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)归纳推理的特点1归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理；2归纳推理的结论不一定为真；3归纳的个别情况越多，越具有代表性，推广的一般性命题就越可靠.2. 类比推理(1) 定义：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的 其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征的推理，称为类比推理类比 推理是两类事物特征之间的推理.类比推理的特点1类比推理是由特殊到特殊的推理；2类

16、比推理属于合情推理，其结论具有或然性，可能为真，也可能为假；3类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，类比得出的命题就 越可靠.3. 演绎推理(1) 定义：演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新 结论的推理过程.(2) 演绎推理的特点1演绎推理是由一般到特殊的推理；2当前提为真时，结论必然为真.(3) 演绎推理的主要形式是三段论，其一般模式为：1大前提一一已知的一般原理；2小前提 所研究的特殊情况；3结论一一根据一般原理，对特殊情况作出的判断.辨析感悟1.对合情推理的认识(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.(x)(2)由平面三角形

17、的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.(V)(3)在 类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.(X)(4)(教材习题改编)一个数列的前三项是 1,2,3,那么这个数列的通项公式是 an= n(nN*)(X)(2014 安庆调研改编)在平面上，若两个正三角形的边长比为 1 : 2,贝尼们的面 积比为 1 : 4,类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为 1 : 2,贝 U 它们的体 积比为1 : 8.(V)2.对演绎推理的认识“所有 3 的倍数都是 9 的倍数，某数 m 是 3 的倍数，则 m 定是 9 的倍数”， 这是三段论推理，但其结论是错误的.(V)(7)

18、在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.(X)感悟提升三点提醒 一是合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确， 其结论的正确性是需要证明的.二是在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误，如(3).三是应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的.如果大前提错误，尽管推理形式 是正确的，所得结论也是错误的.如(7).学生用书第 192 页突破*高 频考点以欄求法举一反三考点一归纳推理【例 1】古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究

19、过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10,，第 n 个三角形数为。号1二；n2+*n，记第 n 个 k 边形数为 N(n， k)(k3),以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式：1 O1三角形数N( n,3) = 2门2+刃，正方形数N( n,4) = n2,照此规律，第 n 个等式可为五边形数321N( n,5) =刃刃,六边形数2N( n,6) = 2n n可以推测 N(n, k)的表达式，由此计算 N(10,24)=_121 解析由 N(n,3) = 2+ Qn,220N(n ,4) = Qn + Qn,4|2N(n ,6) = |n + n,推测 N(n, k)=k- In

20、2+kIn, k 3.2从而 N(n,24)= 11n 10n, N(10,24)= 1 000.答案 1 000规律方法 归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结 论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命 题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法.【训练 1】(1)(2014 佛山质检)观察下列不等式：1总1；护影屉挣示+為心则第 5 个不等式为_(2013 陕西卷)观察下列等式(1+1)=2X12(2+1)(2+2)=22X1X3解析(2)由已知的三个等式左边的变化规律，得第n 个等式左边为(n+ 1)(n +2)(n+ n)，由已

21、知的三个等式右边的变化规律， 得第 n 个等式右边为 2n与 n 个奇 数之积，即 2nX1X3X5X-X(2n1).(2)(n+1)(n+2)(n+n)=2nx1X3X-X(2n1)考点二类比推理N( n, 5) = |n2+-1-n,【例 2】在平面几何里，有“若 ABC 的三边长分别为 a，b, c,内切圆半径为 r， 则三角形面积为 SAAB尸 2(a+ b+ c)r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体A BCD 的四个面的面积分别为 SI，9, S3，$，内切球的半径为 r，则四面体的 体积为_.审题路线 三角形面积类比为四面体的体积？三角形的边长类比为四面体四个面1 1的面积？

22、内切圆半径类比为内切球的半径？二维图形中类比为三维图形中的-?得出结论.1答案 V四面体A-BCD= 3(S1+ S2+ S3+ S4)r规律方法 在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球， 面积对应体积等等；找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等.【训练 2】 二维空间中圆的一维测度(周长)l = 2n，二维测度(面积)S=n2，观察 发现S= l;三维空间中球的二维测度(表面积)S= 4n2，三维测度(体积)V=3 nr3, 观察发现 V=S.则四维空间

23、中“超球”的四维测度W=2n4，猜想其三维测度 V度的导函数.类比上述结论，“超球”的三维测度是四维测度的导函数，即 V= W=（2 尤4）=8n3.答案 8nr3考点三演绎推理(2)Sn+1= 4an. （n + 2）Si n（Sn+1 Sn），即 nSn+1 2（n + 1）Sn.-n+12 学，又辛一0，（小前提）故弓是以 1 为首项，2 为公比的等比数列.（结论）（大前提是等比数列的定义，这里省略了）Sn+1 4( n+ 1)与4n+n-1 n-14an（n2），（小前提）又 a2 3S1 3， S2 a1+ a2 1 + 3 4 4a1，（小前提）对于任意正整数 n，都有 Sn+1

24、4an.（结论）（第问的大前提是第 问的结论以及题中的已知条件）学生用书第 193 页规律方法演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解 决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，贝冋以省略.【例 3】数列an的前 n 项和记为 Sn，已知 ai= 1,Sn(n N ).证明:证明(1) - an+1 Sn+1 Sn,n + 2an+1&,由可知Sn+1n+ 1Sn-14n1(n 2)，Sn-1n + 2（1）数列【训练 3】“因为对数函数 y logax 是增函数（大前提），而 y log：是对数函数（小4前提），所以 y= log1x 是增函

25、数（结论）”，以上推理的错误是 _ .41大前提错误导致结论错误；小前提错误导致结论错误；推理形式错误导致 结论错误；大前提和小前提错误导致结论错误.解析 当 a 1 时，函数 y= logax 是增函数；当 Ovav1 时，函数 y= logax 是减函 数故大前提错误导致结论错误.答案I课堂小结I1 合情推理主要包括归纳推理和类比推理数学研究中，在得到一个新结论前， 合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为 证明提供思路与方向.2演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理方法，是由 一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论数学问题的证明主要通过

26、演绎推 理来进行.3 合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确而演绎推理得 到的结论一定正确（前提和推理形式都正确的前提下）.培养*解题能力散你解题理升能力创新突破 12新定义下的归纳推理【典例】（2013 湖南卷）对于 E = ai, a2,，aioo的子集 X=aii, ai2，aik，定义 X 的“特征数列”为 XI，X2，X100，其中 xil= xi2= xik= 1，其余项均 为0.? I 例如：子集a2，a3的“特征数列”为 0,1,1,0,0,，0.?（1）子集a1, a3, a5的“特征数列”的前 3 项和等于_ ；若 E 的子集 P 的“特征数列” P1, P

27、2,，P100满足 P1= 1 , Pi+ Pi+1= 1,1wi 99；E 的子集 Q 的“特征数列” q1,q2,，q100满足 q1= 1,q + qj+1+ qj+2= 1,1wjw98, 则PAQ 的元素个数为_ .突破 1 ：读懂信息？，对于集合 X=ai1, ai2,，aik来说，定义 X 的“特征数列”为 X1, X2,，X100是一个新的数列，该数列的 xi1= xi2= = xik= 1,其余项 均为0.突破 2：通过例子？： “子集a2, a3的特征数列为 0,1,1,0, 0,，0”来理解“特 征数列”的特征；第 2 项，第 3 项为 1,其余项为 0.突破 3:根据

28、pi= 1, pi+ pi+1= 1 可写出子集 P 的“特征数列”为：1,0,1,0,1,0,，1,0,归纳出子集 P;同理，子集 Q 的特征数列为 1,0,0,1,0,0,，1,0,0,归纳出子 集 Q.突破 4:由 P 与 Q 的前几项的规律，找出子集 P 与子集 Q 的公共元素即可.解析(1)根据题意可知子集a1, a3, a5的“特征数列”为 1,0,1,0,1,0,0,，0, 此数列前3 项和为 2.(2)根据题意可写出子集 P 的“特征数列”为 1,0,1,0,1, 0,，1,0，贝 U P = a1,a3,，a2n-1,，a99(1nW50),子集 Q 的“特征数列”为 1,0

29、,0,1,0,0,，1,0,0,1，则 Q= a1, a4,，a3k-2,， a100(1 k 34),则 PAQ= a1, a7, a13,，a97，共有 17 项.答案(1)2 (2)17反思感悟此类问题一定要抓住题设中的例子与定义的紧密结合，细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，需有一定的逻辑推理能力.【自主体验】1若定义在区间 D 上的函数 f(x)对于 D 上的 n 个值 X1, X2,，Xn总满足 n【f(X1)+ f(X2)+ f(xn)f+Xn，称函数 f(x)为 D 上的凸函数.现已知 f(x) = sin x在(0,n上是凸函数，则在 ABC 中，sin A+ sin

30、B+ sin C 的最大值是_.解析 已知 $f(X1)+ f(X2) + + f(Xn) /Xz X1+ X2+ + Xn/亠二+曰、f -,(大刖提)I n 丿因为 f(x)= sin x 在(0,n上是凸函数，(小前提)即 sin A+ sin B + sin C 3sin因此 sin A+ sin B+ sin C 的最大值是色3.答案穿课时-题组训练基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、填空题1 正弦函数是奇函数，f(x) = sin(x2+ 1)是正弦函数，因此 f(x) = sin(x2+ 1)是奇函数, 以上推理_.结论正确；大前提不正确；小前提不正确；全不正确.解析 f(x

31、)= si n(x2+ 1)不是正弦函数而是复合函数，所以小前提不正确. 答案2._ (2014 西安五校联考)观察下式：1 = 12; 2+ 3+ 4= 32; 3 + 4+ 5 + 6+ 7 = 52; 4 + 5+ 6+ 7+ 8 + 9+10= 72，-，则得出第 n 个式子的结论： _ .解析 各等式的左边是第 n 个自然数到第 3n-2 个连续自然数的和，右边是中间 奇数的平方，故得出结论：n+(n+ 1)+ (n+ 2)+ (3n 2) = (2n 1)2.答案 n+(n+ 1)+ (n + 2)+ (3n 2) = (2n 1)23. 若等差数列an的首项为 a1，公差为 d，

32、前 n 项的和为 Sn，则数列学为等差数所以 f(A) + f(B) + f(C) 3fA+ B+C0,且 a 1,下面正确的运算公式是 _ .1S(x+y) = S(x)C(y) + C(x)S(y);2S(x y) = S(x)C(y) C(x)S(y);32S(x+ y) = S(x)C(y) + C(x)S(y);42S(x y) = S(x)C(y) C(x)S(y).解析 经验证易知错误.依题意，注意到2S(x+ y) = 2(ax+y a-x-y), S(x)C(y)+ C(x)S(y)= 2(ax+y axy)，因此有 2S(x+ y)= S(x)C(y) + C(x)S(y)

33、;同理有 2S(x y)二 S(x)C(y) C(x)S(y).答案7. 由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：1“ mn=nm” 类比得至 U “ a b= b a”；2“ (m+ n)t = mt+ nt” 类比得到“ (a+ b) c= a c+ b c”；3“(m n)t = m(n t)” 类比得到“(a b) c= a (b c)”；4“t丰0, mt= xt? m=x” 类比得到“ pM0, a p= x p? a= x”；5“|m n|= |m| |n|” 类比得到 “ |a b|=|aI ”；以上式子中，类比得到的结论正确的是 _.解析 正确；错误.答案8. （2

34、014 南京一模）给出下列等式：V2= 2cosn，寸 2+2 二 2cos 才,Qn? Q(其中 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示要证的结论).(3) 分析法定义：从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结 为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等.这样的思维方法称为分析 法.框图表示：Q?PlfPl?P2 P2?P3T-得到一个明显成立的条件.2.间接证明(1) 反证法定义：在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者必居其一.我们可 以先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定 理相矛盾，或与命题中

35、的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论 的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立.这种证明方法叫作反证法.(2) 反证法的证题步骤是：1作出否定结论的假设；2进行推理，导出矛盾；3否定假设，肯定结论.辨析感悟对三种证明方法的认识(1) 分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.(X)(2) 反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾.(X)(3) 在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问 题的过程.(V)(4) 证明不等式.2+ 7 .3+ .6 最合适的方法是分析法.(V)感悟提升两点提醒一是分析法是“执果索因”，特点是从“未知”看“需知

36、”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是寻找使结论成立的充分条件，如(1);二是应用反证法证题时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法所谓矛盾主要指：与已知条件矛盾；与假设矛盾；与定义、公理、定理矛盾；与公认的简单事实矛盾；自相矛盾突破高频考点硼求法举1考点一综合法的应用【例 1】(2013 新课标全国U卷)设 a，b，c 均为正数，且 a+ b+ c= 1,证明: 1a2b2c2(1) ab+ bc+ ac 2ab，b + c 2bc，c + a 2ac 得a + b + cab+ bc+ ca.由题设得(

37、a+ b + c) = 1， 即 a2+ b2+ c2+ 2ab+ 2bc+ 2ca= 1.1 所以 3(ab+ bc+ ca) 1，即 ab+ bc+ ca2a，匚 + c2b -+ a2c， bca2b22故 b + 石 + : + (a+ b+ c) 2(a+ b+ c)，2,222,22abcabc即匚+一+一a+ b+ c.所以匸+一+一1.bcabca规律方法综合法往往以分析法为基础，是分析法的逆过程，但更要注意从有关不等式的定理、结论或题设条件出发，根据不等式的性质推导证明.学生用书第 195 页1 1 1 【训练 1】(1)设 a0，b 0，a+ b= 1，求证：a+ +王8.

38、(2)已知 a， b，c 是全不相等的正实数，求证：b+； * +a+：_b+a+c3.证明(1)Ta+ b= 1，111 a+ b a+ b a+ b.一+一+=+ + -a+b+ab a b ab=2+ 2 + 4 = 8.当且仅当1a= b =时等号成立=1+b+1+b+霁2+2.aa+a+ ba+ b2(2)va, b, c 全不相等, 且都大于 0b r_a c r_a c r_b:b与a, a与 a, b与b全不相等,b a c a c b:b+a2, a+a2, b+b2,b c c a a b二式相加得 a+a+c+a+c+c6, b+ a-1 +b+ b-1 +坦 a 丿 9

39、 b 丿a+b-1 3,即吐口 +寺匕+吐口 3.考点二分析法的应用【例2】已知 a0,求证：、a2+壬-迈a+ * 2.审题路线从结论出发？观察不等式两边的符号？移项（把不等式两边都变为正项）?平方？移项整理？平方？移项整理可得显然成立的结论.证明（1）要证a2+1只需要证.a2+；2+ 2 a+ a+ 2.a 0,故只需要证即 a2+ 右 +4/ + +4a2+ 2 + 土+ 2 2 a+1+ 2,从而只需要证只需要证 41+ a22a+7a2+2+ 事,1Ja2+古+2卜 $+a+21即 a2+2,而上述不等式显然成立，故原不等式成立.a规律方法(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通

40、过反推，逐步寻找使结论成 立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.(2)证明较复杂的问题时， 可以采用两头凑的办法， 即通过分析法找出某个与结论 等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证.【训练 2】 已知 m0，a，b R，求证： J 匚石 2=?证明/ m0，二 1 + m0.所以要证原不等式成立， 只需证(a+ mb)2 0，即证(a b)2 0，而(a b)20 显然成立，故原不等式得证.考点三反证法的应用【例 3】 等差数列an的前 n 项和为 Sn，a1= 1+ 2，S3= 9+ 3 2.(1)求数列an的通项 an与前 n 项和 S

41、n；Q设 bn=(n N*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列.故 an= 2n 1+ , 2， Sn= n(n+ 2).Snl(2)证明由(1)得 bn=石=n+ 2.假设数列bn中存在三项 bp，bq，br(p，q，r N*，且互不相等)成等比数列，贝 U b2=bpbr.即(q+ ,2)2= (p+ 2)(r + .2).(q2 pr) + 2(2q p r)= 0.二 pr，(p r)2= 0.(1)解由已知得彳a1= .2+1，p, q， r N ，-2q pr = 0，2q p r = p= r，与 pHr 矛盾.二数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列.规律

42、方法用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反 面；(2)必须从否定结论进行推理， 即应把结论的反面作为条件， 且必须依据这 条件进行推证；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛 盾，有的与已知事实矛盾等，且推导出的矛盾必须是明显的.【训练 3】 已知 a 1，求证三个方程：x2+ 4ax 4a+ 3 = 0，x2+ (a 1)x+ a2=0，x2+ 2ax 2a= 0 中至少有一个方程有实数根.证明假设三个方程都没有实数根，则2(4a) 4( 4a+ 3 戶 0，a124a2v0，.2a24X 2av03“ 一 2vav 1.这与已知 a 1 矛

43、盾，所以假设不成立，故原结论成立.I课堂小结I1 分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知.2.综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知.3分析法和综合法各有优缺点分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思 路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决 问题，但不便于思考.实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然 后再用综合法叙述出来.4.利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，没 有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的.培养-解题能力312vav2，a 或 av 1，2vav0，答题模板 13反证法在证明题中的应用x2

44、2【典例】（14 分）（2013 北京卷）直线 尸 kx+ m（m 0）与椭圆W：+y2=1 相交于 A, C 两点，O 是坐标原点.（1）当点 B 的坐标为（0,1）,且四边形 OABC 为菱形时，求 AC 的长；当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时，证明：四边形 OABC 不可能为菱形.规范解答（1）因为四边形 OABC 为菱形，所以 AC 与 OB 相互垂直平分.（2 分）所以可设 A t, 1，代入椭圆方程得 4 +卜 1, 即 t = 土, 3.所以|AC 匸 2 3.（5 分）假设四边形 OABC 为菱形.因为点 B 不是 W 的顶点，且 AC JOB，所以 kM0.x2+ 4

45、y2= 4，由消 y 并整理得y= kx+ m2 22（1 + 4k ）x + 8kmx+ 4m 4= 0.（7 分）设 A（X1，y”，C（X2，y2），贝 U因为M为 AC 和 OB 的交点，且 mM0，kM0，X1+ X24km1 + 4k2,y1+ y2X1+ x2k2 +m=m21+ 4k所以 AC 的中点为M4kmJ+4k2，m21+ 4k2,（9 分）1所以直线 OB 的斜率为4k.（11 分）因为 k-4k 工1,所以 AC 与 OB 不垂直.(13 分)所以四边形 OABC 不是菱形，与假设矛盾.所以当点 B 不是 W 的顶点时，四边形 OABC 不可能为菱形.(14 分)反

46、思感悟(1)掌握反证法的证明思路及证题步骤，明确作假设是反证法的基础, 应用假设是反证法的基本手段，得到矛盾是反证法的目的.当证明的结论和条件联系不明显、直接证明不清晰或正面证明分类较多、而反 面情况只有一种或较少时，常采用反证法.(3) 利用反证法证明时，一定要回到结论上去.答题模板 用反证法证明数学命题的答题模板：第一步：分清命题“ p- q”的条件和结论；第二步：作出与命题结论 q 相矛盾的假定綈 q；第三步：由 p 和綈 q 出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于所作的假设綈q 不真，于是原结论 q 成立，从而间接地证明了命题.【自主体验】设直线

47、li: y= kix+1， I2： y= k2x-1，其中实数 ki， k2满足 kik2+ 2=0.(1) 证明：11与 12相交；(2) 证明：11与 12的交点在椭圆 2x2+ y2= 1 上.证明(1)假设 11与 12不相交，则 11与 12平行或重合，有 k1= k2，代入 k1k2+ 2 = 0，得 k1+ 2 = 0.这与 k1为实数的事实相矛盾，从而 匕工 k2，即 11与 12相交.y= k1x+ 1，(2)由方程组y=k2x-1，解得交点 P 的坐标为 代，爲.从而 2x2+ y2= 2 k72+ k22k2 k1k2 k18+ k2+ k1+ 2kik2k2+ k?+

48、4=k2+k1- 2kik2= k1+ k2+ 4 =，所以 li与 12的交点 P(x, y)在椭圆 2x2+y2=1上.课时*题组训练阶梯训W练出髙分基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、填空题1. (2014 安阳模拟)若 avbv0,则下列不等式中成立的是1iii ba+尹b+a；b+aa+1； av解析(特值法)取 a= 2, b= i,验证正确.答案2.用反证法证明命题：“已知 a, b N，若 ab 可被 5 整除，则 a, b 中至少有一个能被 5 整除”时，应反设 _ 立.解析 由反证法的定义得， 反设即否 定结论.答案 a, b 都不能被 5 整除ii=i,当且仅当 x=

49、4x，即时取等号；反之,显然不成立.答案充分不必要4. (2014 张家口模拟)分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设abc,且 a+ b+ c= 0,求证寸 b2 acv怕 a”索的因应是_.a-b0；ac0；(ab)(ac)0；(ab)(ac)v0. 1；b+ ian.I3.（20I4 上海模拟）“a = 4”是“对任意正数 x,均有 x+旦I”的x条件.解析当 a =解析 由题意知 b2 acv,3a?b2 acv3a22 2?(a+c)acv3a2 2 2?a+2ac+cac3av02 2?2a+ac+cv0oo?2a ac c 0?(a c)(2 a + c) 0?(a c)(a

50、 b) 0.答案_ b d5.(2014 天津模拟 ma+ nc弋m + p(m, n, a, b, c, d 均为正数)，贝 U p, q 的大小关系为_ .解析 q= 寸 ab+mad+cdy ab+ 2 寸 abcd+ cd = VabVcd= p.答案 p0,ab0, b0，a0, b0 且 b0 成立，即 a, b 不为 0 且同号即可，故b a能使b+2 成立.a b答案 37已知 a, b, m 均为正数，且 a则“与吐田的大小关系是a a+ mb b+ m ab+ bm ab am m(b a)解析 _=,aa+ ma a+ ma a+ mb b+ ma b, m0,且 ab,

51、b b+ m/b aV，亍不答案一2；a2+ b22其中能推出：“a,b 中至少有一个大于 T 的条件的是_ (填序号)答案二、解答题9若 a, b, c 是不全相等的正数，求证：a+ bb+ cc+ alg + lg2+ lglg a+ lg b+ lg c.证明/a,b,c(0,+x),a ab0,bc0,ac0.又上述三个不等式中等号不能同时成立.上式两边同时取常用对数，a+ b b+ c c+ a .,得 lg 2T lg abc,a+ b , b+ c , c+ a ,.lg 厂 + lg-+ lg-lg a+ lg b+ lg c.10. (2014 鹤岗模拟)设数列an是公比为

52、q 的等比数列，Sn是它的前 n 项和.(1)求证：数列Sn不是等比数列；数列Sn是等差数列吗？为什么？(1) 证明 假设数列Sn是等比数列，贝 U s2= SS3,即 a1(1 + q)2= a1a1(1 + q + q2),2 2因为 3 工 0,所以(1 + q) = 1 + q+ q ,即 q = 0,这与公比 qM0 矛盾，所以数列Sn不是等比数列.(2) 解 当 q= 1 时，Sn= na1,故Sn是等差数列；当 qM1 时，Sn不是等差数列，否则 2S2= S1+ S3,即 2a1(1 + q) = a1+ a1(1 + q + q2),得 q = 0,这与公比 qM0 矛盾.综

53、上，当 q= 1 数列Sh是等差数列；当 qM1 时，Sn不是等差数列.能力提升题组a+ b b+ c c+ a2T abc 成立.(建议用时：25 分钟)一、填空题1111. (2014 漳州一模)设 a, b, c 均为正实数，则三个数 a+匚，b + -, c+-_b c a都大于 2;都小于 2;至少有一个不大于 2;至少有一个不小于 2解析.a0, b0, c0,-a+b+b+1+c+a =a+a+b+b+c+II 6,当且仅当 a= b = c 时，“=”成立，故三者不能都小于 2,即至少有一个不小于 2.答案2.已知函数 f(x)= gj, a, b 是正实数，A=,B= f/a

54、b), C= f；+；J,则 A, B, C 的大小关系为_ .II2ab_=f陌=f+ b；答案 AWB 恒成立a b的卩的取值范围是_ .19解析，.a,bq0,+x)，且+1, a+ b= (a+ b) + - = 10+ 学+； 16,当且仅当 a = 4, b= 12 时等号成立，：a+ b 的最小值为 16.要使 a+ b 恒成立，需 16仏.0 ab 2aba+ bR 上是减函数，答案(0,16二、解答题4.是否存在两个等比数列an, bn，使得 bi ai, b2 a2, b3 a3, b4 a4成公 差不为 0 的等差数列？若存在，求an，bn的通项公式；若不存在，说明理由.

55、证明 假设存在两个等比数列an, bn使 bi ai, b2 a2, b3 a3, b4 a4成公差 不为 0 的等差数列.设an的公比为 qi, bn的公比为 q2,则 b2 a2 biq2 aiqi, b3 a3 biq2 aiqi,b4 a4 biql aiqi.由 bi ai, b2 a2, b3 a3, b4 a4成等差数列得?(biq2 aiqi bi ai+ (biq2 aiqi2(biq2 aiqi尸 biq2 aiqi+ (biq2 aiqiy|-J22kbiq2(q2 i) aiqi(qi i) 0.Xq2得 ai(qi q2)(qi i)2 0, 由 ai0 得 qi q

56、2或 qi i.i)当 qi q2时，由，得 bi ai或 qi q2 i, 这时(b2 a2) (bi ai) 0,与公差不为 0 矛盾.ii)当 qi i 时，由，得 bi 0 或 q2 i, 这时(b2 a2) (bi ai) 0,与公差不为 0 矛盾.综上所述，不存在两个等比数列an, bn使得 bi ai, b2 a2, b3 a3, b4 a4成 公差不为 0 的等差数列.学生用书第 i97 页第 4 讲数学归纳法及其应用诊断基础知识知识梳理i.数学归纳法证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行:(1) (归纳奠基)证明当 n 取第一个值 no(no N )时命题成立；(

57、2) (归纳递推)假设 n= k(k no, k N )时命题成立，证明当 n = k+ 1 时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从no开始的所有正整数 n 都成立.2.数学归纳法的框图表示辨析感悟1. 数学归纳法原理(1) 用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n= 1 时结论成立.(x)(2) 所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.(X)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.(X)2. 数学归纳法的应用(教材习题改编)在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 切一 3)条时，第一 步检验 n 等于 3.(2)111 1已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明 1

58、 2 + 3 4 +n = 2+ 已+ 2n 时，若已假设 n= k(k2 且 k 为偶数)时命题为真，则还需 要用归纳假设再证 n= k+ 2 时等式成立.(2)(6)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n= k 到 n= k+ 1 时，项数都增加了一项.(X)感悟提升1.数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题.证明时步骤(1)和缺一不可，步骤(1)是步骤的基础，步骤是递推的依据.2.在用数学归纳法证明时，第(1)步验算 n = no的 no不一定为 1,而是根据题目要求选择合适的起始值，如 ，检验 n 的值从 n = 3 开始，因此(1)不正确.第

59、步, 证明n= k+ 1 时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳 法，如.突破高频考点以例求法举-反三考点一用数学归纳法证明等式【例 1】(2012 天津卷改编)已知等差数列an的公差为 3,其前 n 项和为 Sn,等比 数列bn的公比为 2,且 ai= bi= 2.(1) 求数列an与 bn的通项公式；(2) 记 Tn= anb1+ an-1b2+-+ a1bn, n N*，证明 Tn+ 12= 2an+ 10bn(n N*).审题路线(1)代入等差、等比数列的通项公式求an，bn； (2)注意到所证结论是关于 n”的命题，可运用数学归纳法证明.(1)解 由 a1= 2，

60、公差 d = 3，. an= a+ (n 1)d = 3n 1. 在等比数列bn中，公比 q = 2,首项 b1= 2， bn= 2 2n-1= 2n.证明 当 n= 1 时，T1+ 12 = a1b1+ 12= 16, 2a+ 10b1= 16,故等式成立；假设当 n = k 时等式成立，即 Tk+ 12= 2ak+ 10bk,当 n= k+1 时，Tk+1= ak+1b1+ akb2+ ak-1b3+ abk+1=ak+1b1+ q(akb1+ ak-1b2+ abk)=ak+1b1+ qTk=ak+1b1+ q( 2ak+ 10bk 12)=2ak+1 4(ak+1 3) + 10bk+1 24