费马点与中考试题

1、“ 费马点 ” 与中考试题1 / 5 “费马点”与中考试题费尔马，法国业余数学家， 拥有业余数学之王的称号，他是解析几何的发明者之一费马点 就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点费尔马的结论：对于一个各角不超过 120 的三角形，费马点是对各边的张角都是120 的点，对于有一个角超过120 的三角形，费马点就是这个内角的顶点下面简单说明如何找点p 使它到abc三个顶点的距离之和pa+pb+pc 最小？这就是所谓的费尔马问题图 1 解析 ：如图 1，把 apc 绕 a 点逆时针旋转60 得到 apc ，连接 pp 则 app 为等边三角形，ap= pp，pc =pc，所以 pa+pb+pc=

2、pp+ pb+ pc点 c 可看成是线段ac 绕 a 点逆时针旋转60 而得的定点， bc为定长，所以当 b、p、p、c 四点在同一直线上时，pa+pb+pc 最小这时 bpa=180 -app=180 -60 =120 ，apc=a pc=180 -ap p=180 -60 =120 ，bpc=360 -bpa-apc=360 -120 -120 =120因此， 当abc的每一个内角都小于120 时，所求的点p 对三角形每边的张角都是120 ，可在 ab、bc 边上分别作120 的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是p 点；当有一内角大于或等于120 时，所求的p 点就是钝角的顶点费尔马问题告诉

3、我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换本文列举近年“费马点”走进中考试卷的实例，供同学们学习参考例 1 （2008 年广东中考题）已知正方形abcd 内一动点e 到 a、b、c 三点的距离之和的最小值为26，求此正方形的边长“ 费马点 ” 与中考试题2 / 5 图 2图 3分析 ：连接 ac，发现点e 到 a、b、c 三点的距离之和就是到abc三个顶点的距离之和，这实际是费尔马问题的变形，只是背景不同解如图 2，连接 ac，把 aec 绕点 c 顺时针旋转60 ，得到 gfc ，连接 ef、bg、ag，可知 efc、 agc 都是等边三角形，则ef=ce又

4、fg=ae，ae+be+ce = be+ef+fg（图 4） 点 b、点 g 为定点（ g 为点 a 绕 c 点顺时针旋转60 所得） 线段 bg 即为点 e 到 a、b、c 三点的距离之和的最小值，此时e、f 两点都在bg上（图 3） 设正方形的边长为a，那么bo=co=22a，gc=2a, go=62a bg=bo +go =22a+62a 点 e 到 a、 b、c 三点的距离之和的最小值为2622a+62a=26，解得a=2注本题旋转 aeb、 bec 也都可以，但都必须绕着定点旋转，读者不妨一试例 2 （2009 年北京中考题）如图 4，在平面直角坐标系xoy中， abc 三个顶点的坐

5、标分别为6,0a，6,0b，0,4 3c，延长ac 到点 d, 使 cd=12ac,过点 d 作deab 交 bc 的延长线于点e. （1）求 d 点的坐标；“ 费马点 ” 与中考试题3 / 5 （2）作 c 点关于直线de 的对称点f,分别连结df 、ef，若过 b 点的直线ykxb将四边形 cdfe 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设 g 为 y 轴上一点，点p 从直线ykxb与 y 轴的交点出发，先沿y 轴到达 g点，再沿ga 到达 a 点，若 p 点在 y 轴上运动的速度是它在直线ga 上运动速度的2 倍，试确定 g 点的位置，使p 点按照上述要求到达a 点所用的时

6、间最短分析和解 ： （1）d 点的坐标（ 3，6 3） （过程略）（2） 直线 bm 的解析式为36 3yx（过程略）yxedcbaoyxodmfecba图 4 （3）如何确定点g 的位置是本题的难点也是关健所在设q 点为 y 轴上一点， p 在 y轴上运动的速度为v，则 p 沿 mqa 运动的时间为2mqaqvv，使 p 点到达 a 点所用的时间最短，就是12mq aq 最小，或mq2aq 最小解法 1 bq=aq，mq2aq 最小就是mqaq bq 最小，就是在直线mo上找点 g 使他到 a、b、m 三点的距离和最小至此，再次发现这又是一个费尔马问题的变形，注意到题目中等边三角形的信息，考

7、虑作旋转变换把 mqb 绕点 b 顺时针旋转60，得到 m q b，连接 qq 、mm （图 5） ，可知qq b、 mm b 都是等边三角形，则qq=bq又 mq=mq，mqaqbq= mq+ qq+aq点 a、m 为定点，所以当q、q 两点在线段a m上时， mqaqbq 最小由条件可证明 q 点总在 am上，所以 a m 与 om 的交点就是所要的g 点（图 6） 可证 og=12mg“ 费马点 ” 与中考试题4 / 5 图 5 图 6 图 7解法 2 考虑12mqaq 最小， 过 q 作 bm 的垂线交bm 于 k， 由 ob=6， om=6 3，可得 bmo30 ，所以 qk12mq

8、要使12mq aq 最小，只需使aqqk 最小， 根据“垂线段最短” ，可推出当点a、q、k 在一条直线上时，aq+qk 最小，并且此时的qk 垂直于 bm，此时的点q 即为所求的点 g（图 7） 过 a 点作 ahbm 于 h, 则 ah 与 y 轴的交点为所求的g 点.由 ob=6，om=6 3，可得obm=60 ， bah=30在 rtoag 中， og=aotanbah=2 3g 点的坐标为（0，2 3） （g 点为线段oc 的中点）例 3 （2009 年湖州中考题）若点p 为 abc 所在平面上一点，且apb=bpc=cpa=120 , 则点 p 叫做 abc 的费马点（1）若 p

9、为锐角 abc 的费马点，且 abc=60 ， pa=3， pc=4, 则 pb 的值为；（2）如图 8，在锐角 abc 的外侧作等边acb，连结 bb求证： bb过 abc 的费马点 p，且 bb =pa+pb+pc图 8 解： （1）利用相似三角形可求pb 的值为2 3（2）设点 p 为锐角 abc 的费马点，“ 费马点 ” 与中考试题5 / 5 即 apb=bpc=cpa=120如图 8， 把 acp 绕点 c 顺时针旋转60 到 b ce， 连结 pe， 则 epc 为正三角形 b ec = apc =120 ， pec=60 b ec+pec=180即 p、 e、b 三点在同一直线上 bpc=120 , cpe=60 ， bpc +cpe =180 ，即 b、 p、e 三点在同一直线上 b、p、e、b四点在同一直线上，即bb 过 abc 的费马点p又 pe=pc，be= pa， bb=e b+pb+pe=p a+pb+pc注通过旋转变换，可以改变线段的位置，优化图形的结构在使用这