立体几何精讲题

1、第一部 精讲题第一节 简单几何体A组1下列命题中，不正确的是_棱长都相等的长方体是正方体有两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱底面为平行四边形的四棱柱叫平行六面体2纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如图的平面图形，则标“”的面的方位是_3对于四面体ABCD，下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD三条高线的交点；若分别作ABC和ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合；任何三个面的面积之和都大于 第四个

2、面的面积；分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点4下列三个命题，其中正确的有_个用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；有两个面互相平行，其余各面都是等腰梯形的六面体是棱台5下面命题正确的有_个长方形绕一条直线旋转一周所形成的几何体是圆柱过圆锥侧面上一点有无数条母线三棱锥的每个面都可以作为底面圆锥的轴截面(过轴所作的截面)是等腰三角形6.如图所示，长方体的长、宽、高分别为4 cm,3 cm,5 cm，一只蚂蚁从A到C1点沿着表面爬行的最短距离是多少？B组1对于四面体ABCD，下列命题正确的是_相对棱AB与CD所在的直

3、线是异面直线；由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD三条高线的交点；若分别作ABC和ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合；任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点2下面是关于三棱锥的四个命题：底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥其中，真命题的编号是_(写出所有真命题的编号)3.关于如图所示几何体的正确说法为_ 这是一个六面体这是一个

4、四棱台这是一个四棱柱这是一个四棱柱和三棱柱的组合体这是一个被截去一个三棱柱的四棱柱4对于四面体ABCD，下列命题正确的是_ 相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD三条高线的交点；若分别作ABC和ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合；任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点5给出以下命题：底面是矩形的四棱柱是长方体；直角三角形绕着它的一边旋转一周形成的几何体叫做圆锥；四棱锥的四个侧面可以都是直角三角形其中说法正确的是_6下列结论正确的是 各个面都是三角形的几何体是三棱锥以三角形的一条边所在直线为旋转轴

5、，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线7过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°，则该截面的面积是_8如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中，假命题是_等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上9如图(1)，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升

6、水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P.如果将容器倒置，水面也恰好过点P(图(2) 有下列四个命题：A正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PC任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点PD若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是：_(写出所有真命题的代号)10一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1，h2，h3，求h1h2h3的值11一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上已知正三棱柱的底面边长

7、为2，求该三角形的斜边长12如果把地球看成一个球体，求地球上北纬60°纬线长和赤道线长的比值第二节 空间图形的基本关系与公理A组1以下四个命题中，正确命题的个数是_不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；依次首尾相接的四条线段必共面2给出下列四个命题：如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；两条直线可以确定一个平面；若M，M，l，则Ml；空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内其中真命题的个数为_3平行六面体ABCDA1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1

8、共面的棱的条数为_4正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是_5已知直线m、n及平面，其中mn，那么平面内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：(1)一条直线；(2)一个平面；(3)一个点；(4)空集其中正确的是_6如图，已知平面、，且l.设梯形ABCD中，ADBC，且AB，CD.求证：AB，CD，l共点(相交于一点)证明：B组1有以下三个命题：平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；直线l在平面内，可以用符号“l”表示；若平面内的一条直线a与平面内的一条直线b相交，则与相交，其中所有正确命题的序号是_2下列命题

9、中正确的是_若ABC在平面外，它的三条边所在的直线分别交于P、Q、R，则P、Q、R三点共线；若三条直线a、b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点，则这四条直线共面；空间中不共面的五个点一定能确定10个平面3对于空间三条直线，有下列四个条件：三条直线两两相交且不共点三条直线两两平行三条直线共点有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交其中使三条直线共面的充分条件有：_.4对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面，使得_a，ba，b a，ba，b5正方体AC1中，E、F分别是线段C1D、BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是_6设，是三个不重合的平面，l是直线，给出下列四个命题：若

10、，l，则l；若l，l，则；若l上有两点到的距离相等，则l；若，则.其中正确命题的序号是_7给定下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另一个平面平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，为真命题的是_8如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF，则下列结论中错误的是_ACBEEF平面ABCD三棱锥ABEF的体积为定值异面直线AE，BF所成的角为定值9.如图，=l，A，B，A、B到l的距离分别是

11、a和b，AB与、所成的角分别是和，AB在、内的射影分别是m和n.若ab，则与的大小关系为_，m与n的大小关系为_.10如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为D1C1、B1C1的中点，ACBDP，A1C1EFQ，若A1C交平面DBFE于R点，试确定R点的位置11如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M为AB的中点，N为BB1的中点，O为平面BCC1B1的中心(1)过O作一直线与AN交于P，与CM交于Q(只写作法，不必证明)；(2)求PQ的长12如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，BADFAB90°，BC綊AD，BE綊FA

12、，G、H分别为FA、FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？(3)设ABBE，证明：平面ADE平面CDE.第三节 平行关系A组1已知m、n是两条不同直线，是两个不同平面，下列命题中的真命题是_如果m，n，mn，那么如果m，n，那么mn如果m，n，且m，n共面，那么mn如果mn，m，n，那么解析：m，n，m，n没有公共点又m，n共面，2已知m、n是不同的直线，、是不重合的平面，给出下列命题：若m，则m平行于平面内的无数条直线；若，m，n，则mn；若m，n，mn，则；若，m，则m.其中，真命题的序号是_(写出所有真命题的序号)3给出下列关于互不相

13、同的直线m、l、n和平面、的四个命题：若m，lA，点Am, 则l与m不共面；若m、l是异面直线，l，m，且nl，nm，则n；若l，m，则lm；若l，m，lmA，l，m，则.其中为真命题的是_4设m，n是平面内的两条不同直线；l1，l2是平面内的两条相交直线，则的一个充分而不必要条件是_m且l1ml1且nl2 m且n m且nl26如图，ABCD为直角梯形，CCDA90°，AD2BC2CD，P为平面ABCD外一点，且PBBD.(1)求证：PABD；(2)若PC与CD不垂直，求证：PAPD；(3)若直线l过点P，且直线l直线BC，试在直线l上找一点E，使得直线PC平面EBD.B组1已知m，

14、n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是_若，则 若mn，m，n，则若mn，m，则n 若n，n，则2已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列4个命题：若mn，n，则m；若mn，m，n，则n；若，m，n，则mn；若m，n是异面直线，m，n，m，则n.其中正确的命题有_3已知m，n是平面外的两条直线，且mn，则“m”是“n”的_条件4设l1，l2是两条直线，是两个平面，A为一点，下列命题中正确的命题是_若l1，l2A，则l1与l2必为异面直线若，l1，则l1l1，l2，l1，l2，则若l1，l2l1，则l2或l25若a不平行于平面，且a，则下列结论成立的是_内的所有直线

15、与a异面内与a平行的直线不存在内存在唯一的直线与a平行内的直线与a都相交6设m、n是异面直线，则(1)一定存在平面，使m且n；(2)一定存在平面，使m且n；(3)一定存在平面，使m、n到的距离相等；(4)一定存在无数对平面与，使m，n，且.上述4个命题中正确命题的序号为_7如图，ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ_.8下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB面MNP的图形的序号是_(写出所有符合要求的图

16、形序号)9如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC中点点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足条件_时，有MN平面B1BDD1.10如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1，AB1，AD2，E为BC的中点，点M为棱AA1的中点(1)证明：DE平面A1AE；(2)证明：BM平面A1ED.11在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是AB，BC的中点(1)求证：平面B1MN平面BB1D1D；(2)若在棱DD1上有一点P，使BD1平面PMN，求线段DP与PD1的比12如图，四边形ABCD为矩形，BC平面ABE，

17、F为CE上的点，且BF平面ACE.(1)求证：AEBE；(2)设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点求证：MN平面DAE.第四节 垂直关系A组1设b、c表示两条直线，表示两个平面，则下列命题是真命题的是_若b，c，则bc若b，bc，则c若c，则c 若c，c，则2已知直线l平面，直线m平面，下面有三个命题：lm；lm；lm.则真命题的个数为_3已知、表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“ ”是“m ”的_条件4如图，在长方形ABCD中，AB2，BC1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点现将AFD沿AF折起，使平面ABD平面ABC.在平面ABD内过点D作DKAB，K为垂

18、足设AKt，则t的取值范围是_5已知a、b为两条不同的直线，、为两个不同的平面，且a，b，则下列命题中假命题的有_若ab，则；若，则ab；若a、b相交，则、相交；若、相交，则a，b相交6如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，AB4，BCCD2，AA12，E，E1分别是棱AD，AA1的中点(1)设F是棱AB的中点，证明：直线EE1平面FCC1；(2)证明：平面D1AC平面BB1C1C.B组1设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则能得出ab的是_a，b， a，b，a，b， a，b，2设，为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是_若m，

19、n，mn，则若n，n，m，则m若m，n，mn，则若，n，mn，则m3设m，n是两条不同的直线， ，是两个不同的平面，则下列命题正确的是m，n，mn ，m，n mn，m，n mn ，m，nmn4已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面，则下列命题中正确的是_若m，n，则mn若m，n，则mn若m，n，则mn若m，n，则mn5设a，b，c表示三条直线，表示两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是_c，若c，则b，c是a在内的射影，若bc，则abb，若b，则b，c，若c，则bc6已知二面角l的大小为30°，m、n为异面直线，m平面，n平面，则m、n所成的角为_7如图所示，在斜三棱柱ABCA1B

20、1C1中，BAC90°，BC1AC，则C1在底面ABC上的射影H必在直线_上8在矩形ABCD中，AB3，AD4，P在AD上运动，设ABP，将ABP沿BP折起，使得平面ABP垂直于平面BPDC，AC长最小时的值为_9在正四棱锥PABCD中，PAAB，M是BC的中点，G是PAD的重心，则在平面PAD中经过G点且与直线PM垂直的直线有_条10如图，在三棱锥SABC中，OAOB，O为BC中点，SO平面ABC，E为SC中点，F为AB中点(1)求证：OE平面SAB；(2)求证：平面SOF平面SAB.11在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2BC，E，F，E1分别是棱AA1，BB1，A

21、1B1的中点(1)求证：CE平面C1E1F；(2)求证：平面C1E1F平面CEF.12如图，已知空间四边形ABCD中，BCAC，ADBD，E是AB的中点求证：(1)AB平面CDE；(2)平面CDE平面ABC；(3)若G为ADC的重心，试在线段AE上确定一点F，使得GF平面CDE.第五节 简单几何体的面积和体积A组1已知一个长方体的同一顶点处的三条棱长分别为1，2，则其外接球的表面积为_2若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是_3如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D为棱AA1的中点若截面BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为_4矩形A

22、BCD中，AB4，BC3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为_5已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且ACBC6，AB4，则球的半径等于_，球的表面积等于_6在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCDA1C1D1，且这个几何体的体积为.(1)证明：直线A1B平面CDD1C1；(2)求棱A1A的长；(3)求经过A1，C1，B，D四点的球的表面积B组1用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为_2在三棱锥ABCD中，侧棱AB、AC

23、、AD两两垂直，ABC，ACD，ADB的面积分别为，则该三棱锥的体积为_3已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是，则这个三棱柱的体积是_4、若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为_5已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M.若圆M的面积为3，则球O的表面积等于_6体积为8的一个正方体，其全面积与球O的表面积相等，则球O的体积等于_7若长方体的三个共顶点的面的面积分别是，则长方体的体积是_8在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为13，则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为_9正方体ABC

24、DA1B1C1D1的棱长为2，则四面体AB1CD1的外接球的体积为_10如图，在三棱锥PABC中，PAB是等边三角形，PACPBC90°.(1)证明：ABPC；(2)若PC4，且平面PAC平面PBC，求三棱锥PABC的体积11如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB2，F为CD的中点(1)求证：AF平面CDE；(2)求证：AF平面BCE；(3)求四棱锥CABED的体积12如图，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A、B的任意一点，A1AAB2.(1)求证：BC平面A1AC；(2)求三棱锥A1ABC的体积的最大值第二部 精练

25、题 高中数学立体几何大题训练一1.如图所示，在长方体中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点（）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；（）证明：平面ABM平面A1B1M12.如图， 在矩形中，点分别在线段上，.沿直线将 翻折成，使平面.（）求二面角的余弦值；（）点分别在线段上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长。3.如图，直三棱柱中，为的中点，为上的一点，（）证明：为异面直线与的公垂线；（）设异面直线与的夹角为45°，求二面角的大小4.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形PA平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点.

26、()证明：EF平面PAD；()求三棱锥EABC的体积V.5.如图，棱柱的侧面是菱形，（）证明：平面平面；（）设是上的点，且平面，求的值.6.已知三棱锥PABC中，PAABC，ABAC，PA=AC=½AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.（）证明：CMSN；（）求SN与平面CMN所成角的大小.7.如图BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，。（1） 求点A到平面MBC的距离；（2） 求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。8.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EFAB,EFFB,BFC=90°，BF=FC,H为BC的中点，()求证：FH平面EDB;（）求证：AC平面EDB; （）求四面体BDEF的体积；9.如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂