第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算

1、1基础篇之四#第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算杆的两端承受大小相等、方向相反、作用平面垂直于杆件轴线的两个力偶，杆的任意两横截面将绕轴线相对转动，这种受力与变形形式称为扭转（torsi on）本章主要分析圆轴扭转时横截面上的剪应力以及两相邻横截面的相对扭转 角，同时介绍圆轴扭转时的强度与刚度设计方法。4- 1外加扭力矩、扭矩与扭矩图作用于构件的外扭矩与机器的转速、功率有关。在传动轴计算中，通常给出传动功率 P和转递n，则传动轴所受的外加扭力矩Me可用下式计算：PkwMe = 9549N ?mn r/mi n其中P为功率，单位为千瓦（kW）; n为轴的转速，单位为转/分（r/min ）。如功率

2、P单位用马力（1马力=735.5 N ?m/s），则M e = 7024 P马力N ?mnr /mi n外加扭力矩Me确定后，应用截面法可以确定横截面上的内力一扭矩，圆轴两端受外加 扭力矩Me作用时，横截面上将产生分布剪应力，这些剪应力将组成对横截面中心的合力矩 称为扭矩（twist moment），用Mx表示。(t)用假想截面m-m将圆轴截成I、n两部分，考虑其中任意部分的平衡，有Mx Me= 0由此得到Mx = Me与轴力正负号约定相似，圆轴上同一处两侧横截面上的扭矩必须具有相同的正负号。因此约定为：按右手定则确定扭矩矢量，如果横截面上的扭矩矢量方向与截面的外法线方向一 致，则扭矩为正；相

3、反为负。据此，图4 1b和c中的同一横截面上的扭矩均为正。当圆轴上作用有多个外加集中力矩或分布力矩时，进行强度计算时需要知道何处扭矩 最大，因而有必要用图形描述横截面上扭矩沿轴线的变化，这种图形称为扭矩图。 绘制扭矩图的方法与过程与轴力图类似，故不赘述。图。【例题4 1】变截面传动轴承受外加扭力矩作用，如图4 2a所示。试画出扭矩图4 2 例题41图3#解：用假想截面从 AB段任一位置（坐标为 x）处截开，由左段平衡得：Mx = 2Me 0 >x >l-因为扭矩矢量与截面外法线方向相反，故为负。同样，从BC段任一位置处将轴截为两部分，由右段平衡得到BC段的扭矩:Mx= +3Me l

4、+ >x >2l因为这一段扭矩矢量与截面外法线方向相同，故为正。建立OMxX坐标，将上述所得各段的扭矩标在坐标系中，连图线即可作出扭矩图，如图 4 2b所示。从扭矩图可以看出，在B截面处扭矩有突变，其突变数值等于该处的集中外加扭力矩的数值。这一结论也可以从B截面处左、右侧截开所得局部的平衡条件加以证明。42剪应力互等定理剪切胡克定律图4 3剪应力互等4 2 1剪应力互等定理考察承受剪应力作用的微元元体（图4 3）,假设作用在微元左、右面上的剪应力为 T,这两个 面上的剪应力与其作用面积的乘积，形成一对力， 二者组成一力偶。为了平衡这一力偶，微元的上、 下面上必然存在剪应力 T

5、9;,二者与其作用面积相乘 后形成一对力，组成另一力偶，为保持微元的平衡这两个力偶的力偶矩必须大小相等、方向相反。 于是，根据微元的平衡条件有：”M = 0,( Tydz)dx-(Tdxdz)d y = 0Txy = Tx由此解得:(4 - 1)这一结果表明：在两个互相垂直的平面上，剪应力必然成对存在，且数值相等，两者都垂直 于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线，这就是剪应力成对定理(pairingprinciple of shear stresses)。微元的上下左右四个侧面上，只有剪应力而没有正应力，这种受力状况的微元称为纯剪切应力状态 (stress state of th

6、e pure shea),简称 纯剪应力状态。4- 2-2剪切胡克定律通过扭转试验，可以得到剪应力T与剪应变丫之间的关系曲线(图 4 4)。(专何图4 4剪应力与剪应变曲线4#Y曲线的直线段表明，剪应力与剪应变成正比，直线段剪应力的最高限称为剪应力 比例极限，用t表示。直线段的剪应力与剪应变关系为：t= Gr(4 2)这一关系称为剪切胡克定律(Hooke law),其中G为材料的弹性常数，称为 剪切弹性模量或剪 切弹性模量(shear modulus)。因为丫为无量纲量，故 G的量纲和单位与 t相同。在第3章曾提到各向同性材料的两个弹性常数一杨氏模量E与泊松比v，可以证明E、v与G之间存在以下

7、关系：(4 3)E2(1 +v)这表明，对于各向同性材料，三个弹性常数中只有两个是独立的。43圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度计算应用平衡方法可以确定圆杆扭转时横截面上的内力分量？扭矩，但是不能确定横截面上各点剪应力的大小。 为了确定横截面上各点的剪应力，在确定了扭矩后，还必须知道横截面上的剪应力是怎样分布的。研究圆轴扭转时横截面上剪应力的分布规律，需要考察扭转变形，首先得到剪应变的 分布；然后应用剪切胡克定律，即可得到剪应力在截面上的分布规律；最后，利用静力方程 可建立扭矩与剪应力的关系，从而得到确定横截面上各点剪应力表达式。这是分析扭转剪应力的基本方法，也是分析弯曲正应力的基本方法。这

8、一方法可以用图4 5加以概述。平面假定变 形A应变分布物性关系A应力分布5#静力方程应力公式图4-5应力分析方法与过程4 3 1平面假定与剪应变分布规律圆轴受扭前，在其表面画上小方格（图4 6a）,受扭后，圆轴的两端面相对转动了一角度（图4 6b）,而相距dx的两相邻圆周线，刚性地绕轴线相对转动了一角度，因相对 转动角度很小，故可认为相邻圆周线间的距离不变。根据圆轴受扭后表面变形特点，假定：圆轴受扭发生变形时，其横截面保持平面，并刚性地绕轴线转动一角度，两相邻截面的轴向间距保持不变。这一假定称为 平面假定（planeassumption）。根据平面假定，两轴向间距为dx的截面m m与n n相对

9、转角为d?（图4 6c）。考察两相邻横截面之间微元ABDC的变形：AB长为dx，扭转后由于相对转动，圆轴表面上的B点移动到BBB'= Rd?,于是微元ABCD的剪应变丫为:#BB Rd? M?Y= RAB dx dx根据平面假定，距轴心O为P处同轴柱面上微元BB'rPpd?AB1dxd?PdA1B1D1C1的剪应变为：（4 - 4）其中g?为扭转角沿轴线dxx方向的变化率，对某一x处的横截面,为常量。因此式dx6-4）表明：圆轴扭转时，横截面上某处的剪应变与其到横截面中心的距离成正比，亦即剪 应变沿半径方向线性分布。4- 3-2横截面上的剪应力分布根据横截面上的剪应变分布表达式

10、（4 -4）,应用剪切胡克定律得到:Tp =Grp = Gd?(4 - 5)#其中G为与材料有关的弹性常数。式（4 5）表明：圆轴扭转时横截面上任意点处的剪应力Tp与该点到截面中心的距离 p成正比。由于剪应变丫卩与半径垂直，因而剪应力作用线也垂直于半径（图4 7a）。根据剪应力互等定理，轴的纵截面上也存在剪应力，其分布如图4- 8b所示。#图4 7圆轴扭转时横截面与纵截面上的剪应力分布d?dx由于式（4 5）中的尚为未知，因而不能用以计算剪应力，为了确定未知量dx要应用静力学关系。4- 3- 3圆轴扭转时扭转角变化率以及横截面上的剪应力表达式作用于横截面上的分布剪应力T与其作用面积相乘，然向截

11、面形心简化，得到一力偶,这一力偶的力偶矩即为横截面上的扭矩，于是有下列静力学关系：(4 - 6)/Tp ?dA)?p=M图4 8圆轴扭转时横截面上剪应力与扭矩之间的静力学关系取半径为p厚度为d p的圆环作为微元，微元面积dA = 2 n ?d p （图4 8b）。将（4 5）代入（4-6）,积分后得到扭转角变化率的表达式：d?Mx=-（4 7）dx GJp其中2Ip= /pdA（4 8）为与截面形状和尺寸有关的几何量，称为截面对形心0的极惯性矩（polar moment cf inertiafor cross section ）。式（4 7）中 GIp 称为圆轴的 扭转刚度 （torsiona

12、l rigidity ）。«P)=将式（4 7）代入式（4 5）,即可得到圆轴扭转时横截面上剪应力表达式：(4 9)式中Mx为横截面上的扭矩，由截面法确定；p为所求应力点到截面形心的距离；I p为横截面的极惯性矩。根据式（4 9），圆截面和圆环截面上的剪应力分布如图4 9a所示。8#图4 9圆截面和圆环截面上的剪应力分布#n432根据式(4 8)，由积分可以算得直径我d的圆截面极惯性矩I p为(4 10)其中d是圆截面直径。对于内、外径分别是 D、d的圆管截面或圆环截面(空心圆轴)，极惯性矩I p为:(4 11)tD4(1- a4)d,a =32D4 34最大剪应力与扭转截面模量根据

13、横截面上的剪应力分布，圆轴扭转时横截面上的最大剪应力发生在横截面边缘上 各点，并且沿着截面周边的切线方向。根据式(4 9)，最大剪应力由下式计算：M x PmaxMx(4 12)9#fmax16(4 14)其中(4 13)称为扭转截面模量 (section modulus in torsion )。对实心轴和空心轴，扭转截面模量分别为#(4 15)n)3(1- a4)164 3 5受扭圆轴的强度条件与抗压杆的强度设计相似，为了保证圆轴扭转时安全可靠地工作，必须将圆轴横截面上的最大剪应力 Tax限制在一定的数值以下，即:M x,maxWP(4 16)这一关系式称为受扭圆轴的强度条件。上式中，T为

14、许用剪应力；Tax是指圆轴所有横截面上最大剪应力中的最大者，对于等截面圆轴最大剪应力发生在扭矩最大的横截面上的边缘各点；对于变截面圆轴，如阶梯轴，最大剪应力不一定发生在扭矩最大的截面，这时需要根据扭矩Mx和相应扭转截面模量 Wp数值综合考虑才能确定。对于静载荷作用的情形，可以证明扭转许用剪应力与许用拉应力之间有如下关系钢 T = (0.5 0.6)可铸铁T = (0.81)b【例题4 2】实心圆轴与空心圆轴通过牙嵌式离合器相联，并传递功率，如图9- 7所示。已知轴的转速 n=100 r/min，传递的功率 P= 75 kW。若已知实心圆轴的直径 di = 45 mm ; 空心圆轴的内、外直径之

15、比 （D2/d2）= a= 0.5, D2 = 46 mm。实心圆轴与空心圆轴材料相同， 许用剪应力t = 40 MPa试：图4 10例题4 2图111、校核实心圆轴与空心圆轴的强度是否安全；2、若实心圆轴与空心圆轴的长度相等，比较二者的重量。解：1、校核实心圆轴与空心圆轴强度由于二传动轴的转速与传递的功率相等， 故二者承受相同的外加扭力矩，横截面上的扭 矩也因而相等。根据外加扭力矩与轴所传递的功率以及转速之间的关系，求得横截面上的扭矩?75 ?Mx = Me =?9549 X-?N?m=7162N?m?100 ?对于实心圆轴：根据已知条件，横截面上的最大剪应力为TaxMx16Mxd16 X7

16、162 N?m3冗(45 mm X0-3)=40X10 Pa=40MPa#对于空心圆轴：横截面上的最大剪应力为%axMxWp16Mx _16 X7162 N?mD(1- a4)冗(46 mm X0-3) (1- 0.54-=40 X06 Pa= 40 MPa)#上述计算结果表明，实心圆轴与空心圆轴横截面上的最大剪应力都正好等于许用剪应 力，即：临=40 MPa 十 =40 MPa因此，实心圆轴与空心圆轴的强度都是安全的。2、比较实心圆轴与空心圆轴的重量实心圆轴与空心圆轴材料相同、长度相等，二者重量之比即为横截面面积之比。于是, 有232X_1.281- 0.5Ad1?45 X10- ?= -=

17、? - ?A2 D22(1 - a2)可见，如果轴的长度相同，在具有相同强度的情形下，实心圆轴所用材料要比空心轴多。#【例题4 3】图4 11所示传动机构中，功率从轮B输人，通过锥形齿轮将一半传递给铅垂C轴，另一半传递给水平 H轴。已知输入功率 Pi = 28 kW ,水平轴（E和H）转速 ni = n2= 120 r/min ;锥齿轮A和D的齿数分别为zi= 36, Z2= 12 ;各轴的直径分别为 di= 70 mm , d2= 50 mm , d3= 35 mm。各轴的材料相同，许用剪应力t = 50 MPa试：校核各轴（:轴#图4 11例题4 3图 的强度是否安全。解：1 计算各轴所承

18、受的扭矩各轴所传递的功率分别为P1 = 28 kw ,P2= P3= P1/ 2 = 14 kw各轴转速不完全相同相等。E轴和H轴的转速均为120 r/min，即n1 = n2= 120 r / minE轴和C轴的转速与齿轮 A和齿轮D的齿数成反比，由此得到C轴的转速n3= m 启=?120X36?r/min =360 r/min z3?12 ?据此，算得各轴承受的扭矩:M x1 =Me1 =:?9549X? N ?m =:2228 N?m?120?14 ?M x2 :=M e2 :=?9549 X? N om =1114 N?120?14 ?M x2 :=M e2 :=°9549

19、X-N?m := 371.4 N?m?360?2 计算最大剪应力，进行强度校核 对于E轴：Tax ( E )=M x1WP1=? 16 X2228 ?=? nX703 X10-9 ?Pa = 33.08 X106 Pa = 33.08 MPa< #对于H轴:?Pa = 45.38 MPa<T16 "49?Pa=45.38x106 uX503 X10 ?对于C轴:Tax (C)=W? = ? Pa = 43-96 X1°6 Pa = 43-96 MPa< T上述计算结果表明，三根轴的强度是安全的。【例题4 4】由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的剪切弹

20、性模量分别为Gi和G2,且Gi= 2G2。圆轴尺寸如图中所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于 横截面上的剪应力分布，有图中A、B、C、D所示的四种结论，请判断哪一种是正确的。13#图4 12例题4 4图解：圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动，这表明二者形成一个整体，同时产生扭转 变形。根据平面假定，二者组成的组合截面，在轴受扭后依然保持平面，即其直径保持为直 线，但要相当于原来的位置转过一角度。因此，在里、外层交界处二者具有相同的剪应变。由于内层（实心轴）材料的剪切弹性 模量大于外层（圆环截面）的剪切弹性模量（Gi = 2G2）,所以内层在二者交界处的剪应力一定大于外层在二者交界处的

21、剪应力。据此，答案（A ）和（B ）都是不正确的。在答案（D ）中，外层在二者交界处的剪应力等于零，这也是不正确的，因为外层在二 者交界处的剪应变不为零，根据剪切胡克定律，剪应力也不可能等于零。根据以上分析，正确答案是（C）。将上一节所得到的d?dx44圆轴扭转时的变形分析及刚度条件圆杆受扭矩作用时，两截面绕轴线相对转动的角度称为扭转角,表达写为d?=MxGI Pdx(4 17)#沿轴线方向积分，得到M?=严=為dx(4 18)#其中Glp称为圆轴的扭转刚度。对于两端承受集中扭矩的等截面圆轴，两端面的相对扭转角为:=MxlGl P(4 - 19)M xi1 iGI Pi对于各段扭矩不等或截面极

22、惯性矩不等的圆轴，阶梯状圆轴，轴两端面的相对扭转角 为(4 - 20)如Mx与Ip是x的连续函数，则可直接用积分式(4- 18)计算两端面的相对扭转角。在很多情形下，两端面的相对扭矩角不能反映圆轴扭转变形的程度，因而更多采用单 位长度扭转角表示圆轴的扭转变形，单位长度扭转角即扭转角的变化率。单位长度扭转角：d?dxMxG| p(4 - 21)14#其单位是弧度/米 ( rad/m )。为了机械运动的稳定和工作精度，机械设计中要根据不同要求，对受扭圆轴的变形加以限制，亦即进行刚度设计。扭转刚度设计是将单位长度上的相对扭转角限制在允许的范围内，即必须使构件满足刚度条件：d?片一(4 -22)dx对

23、于两端承受集中扭矩的等截面圆轴，根据式(4- 21),刚度强度条件又可以写成：MxGIP(4 - 23)#其中，b为单位长度上的许用相对扭转角，其数值根据轴的工作要求而定，例如，用于精密机械的轴b= (0.250.5) (°/m； 般传动轴b= (0.51.0) ( °/m；刚度要求不高的轴b = 2 °/ m。需要注意的是，刚度设计中要注意单位的一致性。式(4-23)不等号左边0 =匹的GI P单位为rad/m;而右边通常所用的单位为(°)/m。因此，在实际设计中，若不等式两边均采用rad/m,则必须在不等式右边乘以(n/ 180);若两边均采用(&#

24、176;/m,则必须在左边乘以(180/n)。【例题4 5】钢制空心圆轴的外直径D = 100 mm ,内直径d = 50 mm。若要求轴在2 m长度内的最大相对扭转角不超过1.5(°,材料的剪切弹性模量G= 80.4 GPa。1. 求该轴所能承受的最大扭矩；2. 确定此时轴横截面上的最大剪应力。解：1. 确定轴所能承受的最大扭矩根据刚度强度条件，有e=M 珂eGlp由已知条件，许用的单位长度上相对扭转角为空心圆轴截面的极惯性矩rad / m180(b)Ip"(1-32将式(b)和式(c)一并代人刚度强度条件Mx 珂 exGlp= 1.5da=Da4),(a),得到轴所能承

25、受的最大扭矩为4Xrad/m xG x(1(c)218032a4)1.5 Xn2 X80.4 X109 X(00mm X10-3 )2 X180 X323=9.688 X 10 N.m = 9.688 kN.m2 计算轴在承受最大扭矩时，横截面上的最大剪应力轴在承受最大扭矩时，横截面上最大剪应力4 r? 50mm ? ? ? ? ? ?100mm ? ?maxMxWP16 X9.686 X103N ?m1.5 X= 52.6 X106 Pa=52.6MPan000mm 皿3%- ?50mm ? ?100mm ? ?15#图4 13例题4 6图【例题4 6】图4 13所示为钻探机钻杆。 已知钻杆

26、的 外径D = 60 mm，内径d = 50 mm，功率 P = 10马力，转速 n =180转/分。钻杆钻人地层深度 1 = 40 m, G = 81 GPa, : t =40 MPa。假定地层对钻杆的阻力矩沿长度均匀分布。试求：1 地层对钻杆单位长度上的阻力矩Me；2. 作钻杆之扭矩图，井进行强度校核；3 .求A、B两截面之相对扭转角。解：1 计算钻杆单位长度上受到地层的阻力矩钻杆上所承受的总外力矩为Me = 7024XP = 7024X10 = 390 N n180因为地层对钻杆的阻力矩沿杆长方向均匀分布，所以地层对钻杆单位长度上的扭力矩险=390 = 9.756N ?m/me l 40

27、2.强度校核因为自B至A外力矩均匀分布，因此距 B端x远处任意截面上的扭矩为M e (x) = - meX由此，可以作出钻杆之扭矩图如图4 6(b)所示。钻杆内最大扭矩 Memax=400N?m于是杆内的最大剪应力=M emax = 390 X16?50 X10 ?60 X10WpnX(60 X10-3)3? ? 09.4? ?3 316#=17.75 X06 Pa=17.75MPa所以钻杆的强度是满足的。3. 计算A、B两端的相对扭转角 根据现在d? MedxGlpMe：= Me(x) =-叫X#于是将上式积分得到ABXdx = eJ_22GIpMel400 X40 X322 X81X109

28、 Xnx(6034 -X10-3) ?1-?50 X10?60 X10? ? 0. 4?3 30.146弧度#=-0.146 X18=-8.37on4 5结论与讨论4- 5 1圆轴强度与刚度计算的一般过程圆轴是很多工程中常见的零件之一，其强度设计和刚度设计一般过程如下：A根据轴传递的功率以及轴每分钟的转数，确定作用在轴上的外加力偶的力偶矩。A应用截面法确定轴的横截面上的扭矩，当轴上同时作用有两个以上的绕轴线转动的外加扭力矩时，需要画出扭矩图。A根据轴的扭矩图，确定可能的危险面以及危险面上的扭矩数值。A计算危险截面上的最大剪应力或单位长度上的相对扭转角。A根据需要，应用强度强度条件与刚度强度条件

29、对圆轴进行强度与刚度校核、设计轴的直径以及确定许用载荷。需要指出的是，工程结构与机械中有些传动轴都是通过与之连接的零件或部件承受外力 作用的。这时需要首先将作用在零件或部件上的力向轴线简化，得到轴的受力图。这种情形下，圆轴将同时承受扭转与弯曲，而且弯曲可能是主要的。这一类圆轴的强度设计比较复杂。 此外，还有一些圆轴所受的外力（大小或方向）随着时间的改变而变化。这些问题将在以后的章节中介绍。4- 5-2矩形截面杆扭转时横截面上的剪应力试验结果表明：非圆（正方形、矩形、三角形、椭圆形等）截面杆扭转时，横截面外周线将改变原来的形状，并且不再位于同一平面内，这种现象称为翘曲（warping ）,如图4 14a所示。17#图4 14非圆截面杆扭转时的翘曲变形由于翘曲，圆轴扭转时所作的平面假定将不再成立，因而圆轴扭转时的剪应力以及相对扭转角的公式不再适用。应用平衡的方法可以得到以下结论：非圆截面杆扭转时，横截面上周边各点的剪应力沿着周边切线方向。 对于有凸角的多边形截面杆，横截面上凸角点处的剪应力等于零。考察4 14b中所示的受扭矩形截面杆上位于角点的微元。假定微元各面上的剪应力如 图4 14c中所示。由于垂直于 y、z坐标轴的杆表面均为自由表面（无外力作用），故微元上与之对应的面上的剪应力均为零，即=0根据剪应