因式分解考题类型解析

1、“因式分解”考题类型因式分解是研究整式的基础知识，方法灵活，技巧性强，所以是历年各地中考必考题型之一，为方便同学们的学习，及时了解因式分解在中考中的地位和常见题型，现以2008年中考试题为例说明如下：题型1直接提取公因式例1 (无锡市)分解因式：b2 2b= .分析两项都含有字母b,于是可直接用提取公因式分解因式.解 b2 2b= b(b 2).说明 本题是考查同学们对用提公因式法分解因式的方法用提取公因式法分解因式时，首先应确定公因式确定公因式的原则是：“五看”：一看系数，若各项系数都是整数， 应提取各项系数的最大公约数；二看字母，提取各项的相同的字母；三看字母的次数， 各字母的指数取次数最

2、低的；四看整体，如果公因式含有多项式因式时，应注意符号的变换，如(a+b)2= (b a)2, (a b)3= (b a)3，然后取相同因式中次数最低的因式作为公因式的一部 分因式；五看首项符号，若多项式中首项是负数，则公因式符号取负号，使多项式的第一项系数变为正数，需注意的是在提取出“-”号后，多项式的各项都要变号.题型2直接套用平方差公式例2 (上海市)分解因式：X2 4 = .分析 给定的多项式只有两项，且符合平方差公式，于是可利用平方差公式直接分解解 x2 4 = (x+2)(x 2).说明 本题是考查同学们直接运用平方差公式分解因式的方法，求解时，只要满足是： 一是两项；二是每一项都

3、是完全平方项，或可以写完全平方式；三是两项的符号相反题型3直接套用完全平方公式例3 (福州市)因式分解：X2 + 4x+ 4 = .分析 给定的多项式有三项，而4 = 22,于是首尾两项是完全平方的和，中间一项4x=2 X 2x,由此刚好符合完全平方公式 .解 x2+ 4x+ 4 = (x+2)2.说明 形如a2± 2ab+b2的式子，称为完全平方式，本题正是考查利用完全平方公式及 因式分解的知识，求解时一定要弄清楚完全平方公式的结构特征，对号入座，绝对不能张冠李戴题型4先提取公因式，再用平方差公式例4 (沈阳市)分解因式：2m3 8m= .分析 对于系数都含有2的因数，对于字母都含

4、有 m的因式，于是考虑先提出公因式 2 m,由于是两项，剩下的再考虑能否运用平方差公式分解解 2m3 8m= 2m(m2 4)= 2m(m+2)(m 2).说明本题是考查用提公因式法和平方差公式分解因式的方法.求解时要注意一提(提公因式)；二用(用平方差公式)，即对一个多项式进行分解因式，有公因式的一定要先提取 公因式，再考虑运用公式法； 一般情况下，因式分解要坚持到有理数范围内每一个因式不能 在分解为止.题型5先提取公因式，再用完全平方公式例5 (泰安市)将-x+x3 x2分解因式的结果是.411分析 考虑系数丄，且每一项都含有字母 x,不如视其公因式为 丄x,先提出，或许余44下的不能套用

5、完全平方公式1321212解 一X+X X = _ x(4x 4x+ 1) = - X(2x 1).444说明 对于本题也可以将按字母降幕排列，即x3 x2+x,再提出公因式x，其结果为41 2x(x) 2题型6确定字母系数例6 (赤峰市)把x2+3x+c分解因式得：x2+3x+c= (x+1)(x+2)，则c的值为()A.2B.3C. 2D. 3分析由于因式分解是对多项式的恒等变形，所以已知等式的右边利用整式的乘法展 开，与左边的对应系数应该相等，由此可以获解解 因为(x+1)(x+2) = x +3x+2，而 x +3x+c= (x+1)(x+2),所以 x2+3x+c= x2+3x+2，

6、所以 c= 2.故应选 A.说明本题主要考查对因式分解的定义理解与运用.把一个多项式化为几个整式的积过程叫因式分解，显然因式分解是一个恒等变形，它与与整式的乘法是互逆的过程题型7二次三项式的分解例7 (青岛市)分解因式：x2+2x 3= .分析 观察所给的多项式不能直接用提公因式法，也不能用公式法，于是想到利用二次三项式的分解方法，考虑一次项系数是2,则常数项3分解成1 X 3.解 *+2x 3= (x+3)(x 1).说明 多项式 求+px+q型的二次三项式是分解因式中的常见题型，此类多项式的分解规律是：如果常数项 q可分解为两个因数 a、b的积，并且a+b= p,那么x2+px+q就可分解

7、为2 2 2 (x+a)(x+b).另外，本题也可以利用配方法分解，即x +2x 3 = x +2x+1 4= (x+1) 4 =(x+1+2)(x+1 2)= (x+3)(x 1).题型8因式分解的技巧例8 (中山市)分解因式 am+an+bm+bn= .分析这个多项式共有四项，常规的分解方法在此均失去作用，但考虑若前两项提出 a, 剩下的是(m+n)，后两项提出 b，剩下的也是(m+ n)，于是还可以从整体上提出 (m+n),从而 达到分解因式的目的.解 am+a n+bm+b n= a(m+n) + b(m+n)= (a+b)(m+ n).说明 因式分解是一种恒等变形，在变形时应讲究适当

8、的方法和技巧.本题中也可以将第一项和第三项结合，第二项和第四项结合，同样达到从整体上分解因式的目的题型9先局部分解，再从整体上分解例9 (南通市)分解因式：(x+2)(x+4)+x2 4.分析 这个多项式共有三项， 无法运用因式分解的方法与技巧， 考虑后两项可以运用运用平方差公式，这样可以先把 x2 4两项看做一个整体，用平方差公式分解为(x+2)(x 2),然后再提取公因式，从而达到从整体上分解因式解 (x+2)(x+3)+ x2 4= (x+2)(x+3)+(x+2)(x 2)= (x+2)(x+3+x 2) = (x+2)(2x+1).说明 本题为了达到分解因式的目的，采取了先局部分解的

9、办法，从而完成整体上的因式分解.题型10因式分解的应用例 10 (扬州市)已知 x+y= 6, xy= 3,贝U x2y+xy2= .分析 如果求出x和y的值，显然有点不划算，若对待求式分解因式，会收到意想不到的效果解 因为 x2y+xy2= xy(x+y)，所以当 x+y= 6, xy= 3 时，原式=一 3 X 6= 18.说明 本题在求值过程中既巩固了因式分解的知识，又运用的整体思想 题型11 开放型例11 (遵义市)现有三个多项式：-a2+a- 4， -a2+5a+4，- a2- a，请你选择其中两2 2 2个进行加法运算，并把结果因式分解.分析 给定三个多项式，择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解，显然答案不惟一.可先选择两个多项式，将它们相加，再将其结果分解因式1 11 1解 答案不唯一.如，(一a2+a