文化视角下数学课程的探析及构建

1、文化视角下数学课程的探析与构建“对称”主题的课程与教学设计及其初期实验进展 吕 林 海摘要 传统数学课程的重要弊端之一就在于，作为学习内容的数学与作为人类文化重要组成部分的数学之间是断割分离的。这直接导致，“茧式”数学课程文化大行其道，并摧残与规约着儿童学习者灵动、渴求、开放的学习品质。将本该属于儿童的数学学习还给儿童，让其在学习中学会思维、提升经验、乐于探索、勇于批判，进而在合作互动中真正理解与感悟数学文化及至整个人类文化，这从根本上要求在学习的层面上重塑整个数学课程与教学体系。而以“对称”为主题的课程与教学设计的实验研究正是基于上述的思考展开的，本文试图就上述理念与实验的设计及初期进展作一

2、个辨析与汇报。关键词 数学文化 数学课程 学习文化 课程与教学设计 对称作者简介 吕林海/华东师范大学课程与教学研究所博士生 （上海 200062） （一）传统的数学课程与教学带给学生的真实情感是害怕、不懂、难学、枯燥、无用。认为数学只不过是数学家闲来把玩的一种符号游戏，并希望自己早日摆脱数学的桎梏，摆脱这种高度形式化、演绎化的思维折磨，已成了大多数尚在“数学苦海”中煎熬的学子的直接心声。说到底，什么教科书的改良、教学方法的更新、教学手段的现代化等，对于根治这种心理顽疾，均有治标不治本之嫌。从深层的意义上看，现有的数学课程在一定程度上真正割离了数学本身所依托的深刻的数学文化、及至整个人类文化。

3、数学家M.克莱因说过1：“数学一直是形成现代文化的主要力量，同时又是这种文化极其重要的因素。”可以说，传统数学课程只是抽取了数学中理性的公理、结构等骨架，而舍弃了数学文化的经验性、实践性、创新性等丰富血肉。剥离了宽厚而润泽的数学文化的旧数学课程滋生出了一种保守、自缚、僵化的“茧式”数学课程文化，它既直接影响了数学这一“科学的女王”在广大学生、甚至是教师心目的形象与地位，甚至也削弱了数学课程本身所具有的创新培养、思想净化和文化再造等诸多教育功能。数学的文化性要求我们必须重构一种新的数学课程文化，通过这种新型课程文化的浸润，要让学生领悟到2：数学是传播人类思想的一种基本方式，数学是人类所创造的语言

4、的高级形式，数学是自然与社会相互联系的一种工具，数学具有相对的稳定性和延续性，数学具有高度的渗透性和无限的发展可能性。但同时，学生也必须在这样的文化浸染之下，感受到数学学习的开放性，体验到资源对其经验的支撑，领悟到学习者之间的协商、互动、交流对于知识构建的意义，最终达到对数学的深刻文化陶醉与心灵提升。我们认为，构建这样一种全新的数学课程文化，从而达到对传统的数学课堂教学的深刻变革的基点应是创建一种新型的数学学习文化。也正是基于对数学文化、数学学习文化、数学课程文化三者间关系的关注与理解，以及对现实数学课堂教学实景的深刻反思，我们整个研究团队选取了“基于对称的主题探究”案例作为实验研究的切入点，

5、试图通过理论和实践的不断交互，通过实践中的不断反思，寻求复杂学习中的真实问题，并尽力构筑在经验给养、理性支撑下的理论框架。 （二）如果将视角落在构建一种全新的数学学习文化之上的话，那么，传统数学教育强框架下的合理性背后的诸多合法性因素将被最终颠覆。新的数学学习文化所认同的学习的多层次性、丰富性、复杂性并非否认其所具有的某种规律性与脉络化。而寻求一种具有一定普遍意义的脉络框架更有助于我们厘清这种教育弱框架中繁复交织的现象轨迹，有助于我们在打破旧有思维惯习的同时，构建一种新的体现新规范的思维惯习。我们认为，无论是对于数学学习，抑或其他科目的学习，都应持有一种整合的学习观，即在内容经验、学习环境、学

6、习者共同体、学习文化等四个层面上融透性地把握学习的经验性、开放性、社会性直至文化性。对于这一研究理路，我们认为可以用以下几句话做出解释，即：课程内容和学习者的经验是一根主线，贯穿整个学习过程的始终；要为这种内容经验营造出开放的、不断生成的学习环境；同时打破生生之间、师生之间、老师和老师之间、学生和家长之间、学生与社区之间、学生与专家之间、教师与专家之间等等的固有僵化关系，构建学习者共同体；正是在这彼此互动、相互渗透的过程中，将自然地孕育出一种新型的学习文化。进一步审视数学课程，我们认为，这个基本的研究思路及其所反映的全新学习理念呼唤着一种新的数学学习方式、数学学习过程，并进而催生着一种新型的数

7、学课程文化的诞生。传统数学课程的化约型的处理方式在洋溢出高效接受、快速获取的所谓优势的同时，也付出了单元分离、文化断割的惨痛代价。荷兰数学教育家弗赖登塔尔早就指出，孩子们所学的数学是一种“可教的”数学，而不是一种“可学的”数学。也就是说，教师往往站在他们认可的角度进行教学，较少关注学生的经验背景与文化与境，支撑这种数学课程的背后的学习理念就是斯法德所说的“获得隐喻”4，也即“传输”、“讲授”，而相应地，我们应当转向一种“参与隐喻”，参与隐喻的基本观点就是，知识从根本上是处于实践之中的，知与行是交互的知识是情境化的，通过活动不断向前发展的；参与实践促成了学习和理解。从数学知识角度而言，高度的抽象

8、性、形式化并不能掩盖其经验、常识的深刻溯源，正如弗赖登塔尔所言：“数学是系统化了的常识，数学的根源就在于普通的常识。”这种常识性、经验性也就决定了数学知识的实践性、活动性与发展性，而在更深的意义上也决定了数学的文化性。因此，如果把学习数学的过程与数学本身的活动性、实践性、文化性过程相剥离，那么，学生所体会到的数学必然是枯涩干瘪的、嚼之如腊的，而最终他们大脑中的数学知识也必然是呆滞的、无法迁移的。所以，习得的数学知识，不能像符号表述的数学知识那样抽象、冷峻、去脉络化，而应是学生在与自己的经验互动、与他人互动、与资源互动以及与实践互动的过程中不断生成、发展与丰富的。再进一步看，在承认数学知识本身客

9、观性的同时，我们又必须承认学习者数学知识的实践性，也即学习者对数学的理解与感悟是在一定的实践活动范围中做出选择的结果，从而，这在一定意义上透射出实践的数学知识与客观的数学知识之间的逐渐趋进与动态延续。综上所述，新学习理念支撑下的数学学习的活动观、数学学习的实践观以及数学学习的发展观在数学的文化、数学课程文化、数学学习文化三者的彼此交融、相互作用中逐步彰显出来。实际上，在直击传统数学课程文化的诸多弊端的同时，我们始终在反思未来数学课程与教学的走向。应当说，在现阶段给出“包治百病”的良方既不现实，而且本身也不可能，我们的实验以及预设的框架与理念既是在过程中生成的，也是在过程中不断摸索与推进的。关注

10、学习者，并着力辨析出复杂教育现场中的与学习者有关的各种要素与策略，构建经验、环境、学习者互赖交融的数学学习与课程文化，及至整个班级、学校的整体学习文化，这一切决定了我们研究的实践走向以及理论与实践交互的研究理路。 （三）本次案例实验主要在三个层面展开研究，本文将着重从课程与教学设计层面的视角进行分析与论述，主要关注课程内容的设计、学生概念理解上的进展与转变等方面。但这一层面的分析仍然构筑在对数学文化、数学学习文化以及数学课程文化的总体浸润之下，而且，课程与教学设计也在一定意义上为新的数学学习文化、数学课程文化的构建提供给养。本案例在课程与教学设计层面的总体思路是：以“对称”为主题，试图使学生通

11、过对这样一个具有明显数学指向的概念做深刻的数学理解的基础之上，将对称的概念拓展到艺术、科学、生活等各个领域，力图使学生呈现出一种对“对称”概念的延展性、动态性、辐射状的理解过程。此外，实验的一个重要理念是，学生学习“对称”概念，不仅仅是一个知识理解、建构的过程，更是一个依托“对称”，获得对数学、科学、艺术等各领域的文化认同与感受，并进而使学生建立对各领域之间的联系、交融的深刻感悟。整个实验的课程内容设计主要分为三个阶段：感受对称阶段、对称的数学化理解阶段、对称的拓展性理解阶段。实验的知识目标设计、活动设计、研究策略设计等见表1。感受对称阶段对称的数学化理解阶段对称的拓展性理解阶段理念与知识目标

12、设计引发学生对“对称”的前概念以及个人的真实理解，激发学生的内在深层次的学习渴望、好奇心、探究欲。试图通过各种活动参与，期望学生能够：1、较深刻地理解以变换、对称、铺砌三个主要概念为核心点的知识结构；2、 “对称”作为一种数学思想的领悟、理解。3、在理解数学知识的同时，适当与艺术、科学、生物等领域结合，从而使学生感受知识的整体性与关联性，并进而加深对数学知识本身的理解；将对称主题渗透进物理、化学、生物、艺术、生活等各个领域之中，使学生借助数学的理解，深刻认识其他领域中的对称现象，试图依托对称，让学生感受到数学是与科学、艺术、生活等紧密联系的，并发自内心地感悟到数学本质上是一种深刻的人类文化，这

13、是高层次的数学理解。实验活动设计以导入课、学生课后作业、小组分头设计、作品展示等形式展开。导入课的主要活动是：学生对“对称”的头脑风暴、我是镜中人（肢体语言）、剪纸与对称、对称图片展示。学生课后的作业是：画出自己对对称分类理解的结构图、小组合作设计对称作品（形式不限）。展示课将展示各小组的对称作品。通过各种活动渗透对有关“对称”主题的各个相关观念的学习与理解，并试图拓展到对对称作为一种思想方法的理解。主要活动为：1、 平移、反射和旋转有趣的三种图形变换类型。2、 艺术欣赏：变换之美3、 利用变换做图案4、 运用IT做变换5、 对称的概念与类型6、 讲座：植物中的奇妙对称7、 做对称纸雪花8、

14、对称性质的探究9、 铺砌图案的研究与设计10、 运用IT做铺砌图案这一阶段的活动主要是通过讲座、查找并阅读资料、讨论研究等形式展开。当然，部分的活动内容在第二阶段（数学化理解阶段）中已经涉及，但更多的拓展性内容将在这一阶段全面展开具体内容主要涉及到：化学中的晶体结构的对称性、建筑与对称、对称与不对称、对称与运动、对称破缺、分形与对称、从对称到群论等。更为重要的是，希望学生能自己找主题、找研究方向，并自主地进行研究。这在真正意义上使学生成为自主建构、合作探究的学习者。研究策略设计主要是通过大量的活动分析学生对对称概念的前理解，分析学生对“对称”这一主题的思维结构究竟是什么样的。跟踪学生的整个活动

15、、设计、展示过程，对设计小组给予各种支撑、帮助，尽可能借助于直观、动作，让学生多元化地表征对称概念。关注学生对对称理解上的各种明显的与细微的变化，分析学生在课堂上的表现，研究学生理解发生变化的原因。对精选的个案做持续性的观察、分析、研究，做不断的对比分析研究。研究的重点有：课堂整体参与（讨论、交流、合作、对话、协商等）对理解发展的影响，学生个体理解的变化机制探索。拓展性阶段主要关注学生对对称作为一种贯穿各个领域的文化索引的理解；关注学生以一种主动探索、合作探究的学习方式展开学习的状况；关注学生对数学作为一种文化渗透进各个领域的理解。 表1：实验的阶段以及每阶段具体内容、策略的设计从表1可以看到

16、，对“对称”主题作这样的一种课程设计，实际上在着眼数学领域的同时，又整合了科学、阅读、艺术、信息技术等诸多学科领域。而各科的整合又不是一种“杂烩”、“拼盘”，而是自然的、体现文化渗透的一种学科综合。我们正是希望，学生通过自己的学习活动，建构的是一种扎根于自己的知识经验背景的、逐次抽象与数学化的、与各种领域产生丰富链接的对对称本身的深刻理解，不仅如此，并进而逐步形成一种探索、合作、活动的学习体验、学习感受，最终在学习者之间形成一种学习共同体，从而一种学习文化逐步孕育诞生。 （四）目前本次实验刚完成第一阶段，即感受对称阶段，第二阶段的实验研究即将展开。我们研究团队长期深入实地进行跟踪研究、记录体会

17、，并反复观摩与分析现场实拍的各种录像资料，教育实境中所反映的很多问题的确给了我们很多有关学习的真实启迪。限于篇幅，笔者在此着重给出以下几点关于学生对对称的理解、认识上的初步研究结论：1、学生更乐于以多元的方式表征对于对称概念的早期理解。比如，有的学生通过人体造型摆出对称的汉字、对称的英文字母等；有的学生通过小品中的语言等表达对对称概念的理解；还有的学生自制包含对称的美术图案，并表达一个明确的主题；还有的学生展示一些图片，并就对称性主题对图片进行分析。这种多元化的表征从一定意义上反映出学生自身经验背景、认知方式倾向上的诸多差异。2、学生对对称概念的理解主要还是局限于轴对称与镜像对称，还未对旋转对

18、称有较清晰的认识。比如，有的学生或独自、或与他人合作摆出多样的人体汉字造型，如“出”、“凹”、“凸”等，但这些汉字都是轴对称汉字。再如，有的学生摆出了英文字母“M”、“Y”等，同样也都是轴对称字母。而对一些具有旋转对称的模型（如三叶吊扇、五角星等）进行辨析的时候，大多数学生仍只能从轴对称的角度进行分析。3、学生的前概念中有一些错误的概念。因此，为了转变这些错误概念，必须在下一阶段的课程设计中对其加以着重考虑。一个学生在解释“S”的对称性时，首先过“S”的中心作了一条横线，进而指出，上下两部分关于这条横线是对称的，其认识上的错误之处在于，此时的对称不是轴对称，而是180度的旋转对称。再如，还有一

19、个同学说过这么一段话：“正方形共有4条对称轴，除此以外任何过中心的直线都将正方形分成不对称的两个图形。”这段话前半句是正确的，但后半句话的错误之处在于，除了4条原本的对称轴外，任意过中心的剖分直线也能使图形形成对称的图案，只不过这时的图案不是呈轴对称，而是180度的旋转对称。这也从另一个侧面证实了学生对旋转对称尚未形成深刻的认识。4、学生已经开始对某些较前沿的科学概念有了模糊、初步、粗浅的意会与认识。比如，学生甲在大屏幕投影上展示了一棵树，并向学生乙发问：“请问这棵树是对称的吗？”学生乙回答说：“远看是对称的，因为左右两边总体上看似一样，但近看由于每个树叉、每个树叉上的树叶都不相同，所以又不是

20、对称的。”透过这一问题，可以看到，学生实际上已经开始触摸到分形学的一些核心思想，即在第二级、第三级意义下图形的持续生成与变化。这一问题和数学上著名的雪花曲线问题有本质上的相同之处。5、学生已经能够通过交互讨论，辨析、判断、改进自己或他人在概念理解上的偏误，并能初步形成一种辨证化的思维和看待问题的方式。比如在学生自己组织的一场“五角星是否是对称的？”的小型辩论会上，这个有趣的辩题引发了全班的热烈讨论。以下是争论的一个片段：正方生1：五角星的对称是相对的，而不是绝对的，在大多数情况下是对称的。反方生1：如果对五角星随便划一刀的话，你能说它是一定对称的吗？如果说五角星是左右对称的，那么上下就是不对称

21、的啊。反方生2：五角星上面有3个角，下面有2个角，那么上下就是不对称的啊。所谓对称，就是不管怎么看都是对称的。如果只要有一点点不对称，那就是不对称的。（反方的观点引发其他同学的激烈反驳）。听众生1：如果按照你们的说法，世界上就没有对称图形了。因为本是对称的图形，你们随便剪一刀，如果是歪的，就又不是对称图形了。听众生2：我认为辩题不应该是“五角星是不是对称图形”，而是说“五角星通过某种变换能否变成两个完全重叠的图形”。任何图形只要有对称的话，它就是对称图形，而不是随便划一刀、剪一下，如果不对称就不是对称图形了。我觉得反方的概念不是太清楚。（旋转对称的概念以及对称的变换思想等都呼之欲出了。）学生用他们的话语传达着他们的思想，虽然这些