相似三角形的存在性问题解题策略

1、14相似二角形的存在性问题解题策略相似三角形的存在性问题是上海中考数学的热点问题.解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并 验根.难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程 和解方程又好又快.【例1】（2011年青浦区第24题）如图 1,在直角梯形 ABCD 中，AD / BC,/ A = 90°, BD 丄DC, BC= 10cm, CD = 6cm.在线段 BC、 CD上有动点F、E，点F以每秒2cm的速度，在线段BC上从点B向点C匀速运动；同时点E以每秒1cm 的速度，在线段 CD上从

2、点C向点D匀速运动当点 F到达点C时，点E同时停止运动设点F运动的时间为t （秒），点F、E在运动过程中，如果 CEF与厶BDC相似，求线段 BF的长.图1解题策略如图2,用含有t的式子把线段的长标记出来.观察 CEF与厶BDC，两个三角形有一个公共的锐角/C,A BDC是确定的直角三角形，夹/ C的两边比是6 : 10= 3 : 5,那么根据判定定理 2，在 CEF中，夹/ C的两边比为3 : 5.因此分两种情况：如图3,当/ CEF = 90°时，CECD3所以t3CFCB5102t5解得t30 .此时 BF 2t60cm.1111如图4,当/ CFE = 90°时，C

3、FCD3所以102t3CECB5t5解得t50 此时 BF 2t10C1cm.1313AD/£/AAB2tF 10-2t CFcFC图2图3图4【例2】（2010年长宁区第25题）如图5,抛物线y= ax2 + bx+ c（a>0）交x轴于A、B两点（A点在B点左侧），交y轴于点C.已知B （8, 0） , tan/ ABC = 1 , ABC 的面积为 8.2（1）求抛物线的解析式；（2）若动直线EF （EF/X轴）从点C开始，以每秒1个长度单位的速度沿 y轴负方向平移，且分别 交y轴、线段BC于E、F两点，动点P同时从点B出发，在线段 OB上以每秒2个单位的速度向原点 O

4、运动.联结FP,设运动时间t秒.是否存在t的值，使以P、B、F为顶点的三角形与 ABC相似.若存 在，试求出t的值；若不存在，请说明理由.15中都要用到.观察 ABC与厶PBF，两个三角形有一个公共的锐角/B,A ABC是确定的三角形，那么根据判定定理2，在 PBF中，夹/ B的两边比分两种情况，解答如下：在 Rt OBC 中，0B = 8, OC = 4,所以 BC 45 .在 Rt EFC 中，EF = 2t, CE= t,所以 CF . 5t .在厶 BFP 中，夹/ B 的两边 BP = 2t, BF 4.5/5t . 5(4 t).在厶ABC与厶BFP中，有公共的/ B.当BA BC

5、BP时，42t解得t4BF45；5(4t)'3 .当BABF时，4.5(4卫解得t20BCBP4.52t7综上所述，当t4或t20 时， ABCBFP 相似37【例3】(2009年闸北区第25题)3如图6, ABC中，AB = 5, AC= 3, cosA =. D为射线BA上的点(点D不与点B重合)，作DE/BC10交射线CA于点E.(1) 若CE = x, BD = y,求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域；(2) 当点D在AB边上时，BC边上是否存在点F，使 ABC与厶DEF相似？若存在，请求出线段 BF 的长；若不存在，请说明理由.解题策略解读题设部分，我们知道ABC是腰长

6、为5,底边为3的等腰三角形，根据平行线截得5的对应线段成比例，容易得到第(1)题的关系为y 5x .3平行线DE截得的 ADE与厶ABC相似，要探求厶DEF与厶ABC相似，根据相似三角形的传递性， DEF与厶ADE也是相似的，都是腰长与底边比为5 : 3的等腰三角形.那么根据 DE来分类，分DE为腰或底边两种情况.如图7,当DE ADE与厶DEF的公共腰时，根据轴对称和中心对称，可以知道，D、E、F '分别是 AB、AC 和 BC 的中点，此时 BF '= 2.5, BF = 4.1 .如图8,当DE为等腰三角形 DEF的底边时，四边形 DECF是平行四边形，此时 BF16BF F"图7【例4】（2011年静安区第25题）如图9,点A、B在O O上，/ AOB=90o,点C是Ab上的一个动点，AC与0B的延长线相交于点 D, 是否存在点C，使得 DCBDOC ?如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由.解题策略 DCB与厶DOC有一个公共的角/ D，而/ DBC是厶BOC的一个外角，因此/ DBC > / DOC，所以这两个三角形如果相