第七章-7.2一阶线性偏微分方程

1、第二节第二节 一阶线性偏微分方程的解法一阶线性偏微分方程的解法一、线性偏微分方程一、线性偏微分方程1、线性算子、线性算子算子是一种数学法则，把它作用在一个函数上便产算子是一种数学法则，把它作用在一个函数上便产生了另外一个函数。生了另外一个函数。23222322LMxxx yyxy 例如，都是偏微分算子。及23322222 uuuuL uxx yyuuM uxxy 将 其 作 用 于 函 数便 有 ：2021-11-251233 .( , )L ufLufuuuf x yxx yy 于是偏微分方程便可简单记为或 ,LL aubvaL ubL va bu vL算子 若满足:其中，为常数；为函数，则

2、称 为线性算子。2021-11-2522.线性微分方程解的叠加原理线性微分方程解的叠加原理121,., =01nniiiiu uuucuc：若是某个线性齐次微分方程L的解，则也为定理此方程的解。（ 为任意常数）111 (1,2,.)2iiiiiiiiiiiuL uf icuucuL uc f定：若 是的解，且收敛是理，则的解。定理3：一个给定的线性偏微分方程的解能够表示为它的一个特解和它所对应的齐次方程的解的和。2021-11-25322221212,()0( ,xxyyxyxy c xyc xyuuc c例：验证都是的解。为任意常数。)2021-11-2542021-11-255积分可以得到

3、未知函数组合积分可以得到未知函数组合形式的解，形式的解，二、二、 常常微分方程组的首次积分法微分方程组的首次积分法经经适当组合适当组合化为一个化为一个可积分的微分方程可积分的微分方程. .首次积分法是将方程组首次积分法是将方程组 ),(21niixxxtfx (1,2, ).(7.1)in这个方程的未知函数可能是方程组中这个方程的未知函数可能是方程组中几个未知函数组合形式几个未知函数组合形式.该方程为一个原方程组的首次积分该方程为一个原方程组的首次积分. .2021-11-256解解 将将两个方程相加两个方程相加得得()d xyxydt以以作为一个未知函数，对上式积分得作为一个未知函数，对上式

4、积分得yx 1txyc e原方程组的一个首次积分原方程组的一个首次积分. .再将再将两个方程相减两个方程相减得得()()d xyxydt 例例 4 4 求解方程组求解方程组xtyytxdd,dd这里这里21,cc是任意常数是任意常数. .1212ttttxc ec eyc ec e 解出未知解出未知函数函数, ,原方程组通解为原方程组通解为2txyc e原方程组的另一个首次积分原方程组的另一个首次积分. .2021-11-257考虑一般的考虑一般的阶微分方程组阶微分方程组 n),(1niixxtfx ni, 2, 1 其中其中),(1nixxtf1 nRD对对nxxx,21是连续可微的是连续可

5、微的. .设设连续可连续可微，微，且不是常数，且不是常数，),(21nxxxt 使使),(21nxxxt 成为成为与与t 无关的常数无关的常数, ,此常数与所取解有关此常数与所取解有关, ,则称则称为方程组为方程组的的一个首次积分一个首次积分.cxxxtn ),(21 把方程组任一把方程组任一解解代入代入)(txxii 2021-11-258设微分方程组有设微分方程组有n个首次积分个首次积分nnnncxxxtcxxxt ),(,),(211211 如果在某区域内它们的如果在某区域内它们的JacobiJacobi行列式行列式11112222112112(,)0(,)nnnnnnnnxxxDxxx

6、D xxxxx),(1niixxtfx ni, 2, 1 则称它们在区域则称它们在区域G G内为内为互相独立互相独立. .2021-11-259011 nnfxfxt ),(1niixxtfx ni, 2, 1 定理定理1 1 设函数设函数),(21nxxxt D在区域在区域内内是方程组的首次积分的是方程组的首次积分的充要条件充要条件为为连续可微，且它不是常数连续可微，且它不是常数，则，则cxxxtn ),(21 检验一个函数检验一个函数是否为方程组的是否为方程组的首次积分首次积分? ? 2021-11-2510定理定理2 2若方程组为对称形式：若方程组为对称形式：),(1niixxtfx n

7、i, 2, 1 n1212ndxdxdx= . =XXX则则 是方程组的首次积分的充要条件为：是方程组的首次积分的充要条件为：12( , , , )nx xxc12120nnXXXxxx2021-11-251112( ,),(1,2, )init x xxCin1112221212( ;,)( ;,)( ;,)nnnnnx x C CCx x C CCx x C CC定理定理7.1 设已知微分方程组（7.1）的n个独立的首次积分则它们构成方程组（7.1）的通积分（或隐式解），通积分（或隐式解），并由它们可确定含n个任意常数的函数组则该函数组就是微分方程组（7.1）的通解。2021-11-251

8、2例例 6 6 利用首次积分求解方程组利用首次积分求解方程组 22)(dd)(ddxyxtyxyytx解解 两个方程相除得两个方程相除得xyyx dd得到原方程组的一个首次积分得到原方程组的一个首次积分1221cyx 再利用两个方程相减得再利用两个方程相减得2)()(d)(dyxyxtyx 222)(21cyxt 2021-11-2513yxyxyxDD 221121),(),( 故首次积分故首次积分是是相互独立相互独立的的，2211,cc 所所以原方程组通解为以原方程组通解为 22122)(21ctyxcyx,1221cyx 222)(21cyxt 0)(22 yx2021-11-2514小

9、结：寻找首次积分的方法小结：寻找首次积分的方法（技巧性强技巧性强）为了求得首次积分，通常把如下方程组为了求得首次积分，通常把如下方程组),(1niixxtfx ni, 2, 1 写成对称形式写成对称形式n1212ndxdxdxdt= . =fff1方法方法1 (积分因子法积分因子法)利用比例性质化分母为零，分子利用比例性质化分母为零，分子为某一函数的全微分形式。（教材为某一函数的全微分形式。（教材P350）()()1()()例 ： 求 解dyy ztdttyzdzz tydttyz2021-11-2515方法方法2：利用比例性质所得的分式与原来方程组中：利用比例性质所得的分式与原来方程组中某一

10、分式联立导出易于积分的形式。某一分式联立导出易于积分的形式。222222222例 ：求解dxtxdttxydytydttxy2021-11-25163.从方程组直接求出一个首次积分，将它代入原方从方程组直接求出一个首次积分，将它代入原方程组，求出其它的首次积分。程组，求出其它的首次积分。3dxdydtxtytxy例 ：求解2021-11-2517练习：练习：22222221.()2.()()()dxdydzyzzydxdydzx yzy zxz xy2021-11-2518作业：作业：221.2.xdxdydzy zxzydxdydzyzzxxy三、用首次积分法解一阶齐次线性偏微分方程三、用首

11、次积分法解一阶齐次线性偏微分方程1.特征方程：特征方程：考虑一阶齐次线性偏微分方程考虑一阶齐次线性偏微分方程121(,.,)0.(1)niniiuXxxxx12( ,.,)inx xxD假设X在区域 内是所有变元的连续可微函数，并且处处不为零，1212.(2)nndxdxdxXXX构造（1）的特征方程：2021-11-25192021-11-252012(,.,)(1,2,.,1)inix xxc in设定理：定理：是方程组是方程组(2)的的n-1个彼此独立的首次积分，则方程（个彼此独立的首次积分，则方程（1）的通解可表示为的通解可表示为121(,.,),nu 其中是其变元的任意连续可微函数。

12、例题：书例题：书P356 例例12021-11-2521一阶线性齐次偏微分方程的解法一阶线性齐次偏微分方程的解法步骤步骤1 ：首先写出一阶线性齐次偏微分方程（：首先写出一阶线性齐次偏微分方程（1）的）的特征方程组（特征方程组（2）。）。步骤步骤2 ：求出常微分方程组（：求出常微分方程组（2）的）的1n个独立的首次积分个独立的首次积分 ) 1, 2 , 1(),(21niCxxxini步骤步骤3：写出通解：写出通解),(,),(),(111211nnnnxxxx,xxu其中其中是各变元的任意连续可微函数。是各变元的任意连续可微函数。2021-11-2522四、一阶拟线性偏微分方程的求解四、一阶拟

13、线性偏微分方程的求解. 4（ ）n1212ndxdxdxdz= .=YYYZ定义其特征方程为定义其特征方程为考虑如下一阶拟线性偏微分方程考虑如下一阶拟线性偏微分方程12121( ,.,; )( ,.,; ).(3)ninniizY x xxzZ x xxzx12( ,.,; )inx xxzD假设Y在区域 内是所有变元的连续可微函数，并且处处不为零.2021-11-252312(,.,)(1,2,., )inix xxc in设定理：定理：是常微分方程组是常微分方程组n1212ndxdxdxdz= .=YYYZ的的n个彼此独立的首次积分，那么原一阶拟线个彼此独立的首次积分，那么原一阶拟线性方程（性方程（3）的通解为）的通解为12(,.,)0,n其中是其变元的任意连续可微函数。2021-11-2524五五.柯西问题柯西问题121(,.,)0.(1)niniiuXxxxx考虑一阶齐次线性偏微分方程考虑一阶齐次线性偏微分方程对方程（对方程（1）可给出如下的初始条件）可给出如下的初始条件0121( ,)nnnxxuf x xx（5）0nx其中，其中，是常数，是常数，f是其变元的任意可微函数是其变元的任意可微函数求一阶线性齐次偏微分方程（求一阶线性齐次偏微