专题05图形运动中的函数关系问题(原卷版)

1、玩转压轴题，争取满分之备战2020年中考数学解答题高端精品专题五图形运动中的函数关系问J【考题研究】在图形运动的问题中，随着图形的运动，图形中的线段长度、面积大小都在变化，从而找出这些变化 的规律就是近年来中考出现的大量图形运动问题的题目.解图形运动问题关系的关键是用含自变量X的代数 式表示出有关的量，如与X有关的线段长，面积的大小等.这类题考査学生数形结合、化归、分类讨论、 方程等数学思想.【解题攻略】图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考敦学的热点问题.产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系.还有一种不常见的， 就是线段全长等于部分线段之和.由勾

2、股定理产生的函数关系，在两种类型的题目中比较常用.类型一，已知“边角边”，至少一边是动态的，求角的对边.如图1,已知点兔的坐标为(3, 4),点B 是"轴正半轴上的一个动点，设OB=x, AB= y,那么我们在直角三角形倔中用勾股定理，就可以得到y 关于；T的函数关系式.类型二，图形的翻折.已知矩形CABC在坐标平面内如图2所示，曲=5,点0沿直线肿翻折后，点O 的对应点D落在肋边上，设AD=Xt OE= y,那么在直角三角形如中用勾股定理就可以得到y关于X的 函数关系式.由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用.一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应

3、边成比例.一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域.关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错.【解题类型及其思路】图形运动的过程中，求面积随某个量变化的函数关系，是中考数学的热点问题.计算面积常见的有四种方法，一是规则图形的面积用面积公式；二是不规则图形的面积通过割补进行 计算；三是同高（或同底）三角形的面积比等于对应边（或高）的比；四是相似三角形的面积比等于相似 比的平方.前两种方法容易想到，但是灵活使用第三种和第四种方法，可以使得运算简单.一般情况下，在求出面积S关于自变量；T的函数关系后，会提出在什么情况下（X为何值时）

4、，S取得 最大值或最小值.【典例指引】类型一【确定图形运动中的线段的函数关系式及其最值】【典例指引1】如图，在ABC中，ZA = 90 , AB = 3t AC = 4,点M,Q分别是边AB,BC的动 点（点M不与重合），且丄BCt过点M作BC的平行线MN,交AC于点N ,连接NQ,设 BQ 为 X.（1）试说明不论才为何值时，总有 QBMSAABC；（2）是否存在一点0,使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由；（3）当X为何值时，四边形BwV0的面积最大，并求出最大值.【举一反三】如图1,在矩形ABCD中，AB = St A£） = 10, E是CD边上一点,连接AEt将矩形A

5、BCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G .(2)如图2, M, N分别是线段AGf DG上的动点(与端点不重合)，且Zz)MV = ZDAM ,设AM=XtDN = yt 写出)'关于"的函数解析式，并求出y的最小值； 是否存在这样的点M ,使是等腰三角形?若存在，请求出X的值；若不存在，请说明理由.类型二【确定图形运动中的图形周长的函数关系式及其最值】【典例指引2】如图，在平面直角坐标系中，直线V = X- 4分别与久轴，)'轴交于点A和点C,抛物线y =+ 经过AC两点，并且与X轴交于另一点B.点D为第四象限抛物线上一动点(不

6、与点AC重合)，过点D作DF丄Jr轴，垂足为F,交宜线AC于点E,连接处.设点D的横坐标为川.(1) 求抛物线的解析式；(2) 当ZECD = ZEDC时，求出此时加的值；(3) 点Z)在运动的过程中，AEBF的周长是否存在最小值？若存在，求出此时加的值；若不存在，请说明 理由.【举一反三】如图,直线y=l+3分别与X轴、y轴交于B、C两点，点A在X轴±,ZACB=90o,抛物线y=ax2+bx+3经过A, B两点.(1) 求A、B两点的坐标；(2) 求抛物线的解析式；(3) 点M是直线BC ±方抛物线上的一点，过点M作MH丄BC于点H,作IDy轴交BC于点D,求 DMH周

7、长的最大值.类型三【确定图形运动中的图形面积的函数关系式及其最值】【典例指引3】如图，抛物线.y = f+加+ 3 ", b是常数，且20)与X轴交于A, B两点，与y轴交于点C.并且A, B两点的坐标分别是A(-l, O), B(3, 0)(1) 求抛物线的解析式；顶点D的坐标为；直线BD的解析式为；(2) 若P为线段BD ±的一个动点，其横坐标为m,过点P作PQ丄X轴于点Q,求当m为何值时，四边形PQOC的面积最大？(3) 若点M是抛物线在第一象限上的一个动点,过点M作MN/7 AC交-V轴于点N.当点M的坐标为时，四边形MNAC是平行四边形At 6 B X【举一反三】

8、如图1,抛物线y=ax2+bx+c与轴交于点A (1, 0)、C (3, 0),点B为抛物线顶点，直线BD为抛物 线的对称轴，点D在X轴上，连接仙、BC, ZABC=90°, AB与y轴交于点E,连接CE.(1) 求项点B的坐标并求出这条抛物线的解析式；(2) 点P为第一象限抛物线上一个动点，设APEC的面积为S,点P的横坐标为加，求S关于加的函数 关系武，并求出S的最大值；(3) 如图2,连接OB,抛物线上是否存在点0,使直线OC与直线BC所夹锐角等于ZOBD,若存在请宜 接写出点0的坐标；若不存在，说明理由.【新题训练】1. 如图，已知直线AB经过点(0, 4),与抛物线y=2交

9、于A, B两点，英中点A的横坐标是-2.4(1) 求这条直线的函数关系式及点B的坐标.(2) 在X轴上是否存在点C,使得AABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在请说明理由.(3) 过线段AB上一点P,作PN1X轴，交抛物线于点M,点M在第一象限，点N (0, 1),当点M的横 坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？2. 如图，抛物线y=r2+x+ 4与X轴的两个交点分别为A (-4, 0)、B (2, 0),与y轴交于点G顶点为D. E (1> 2)为线段BC的中点，BC的垂直平分线与轴、y轴分別交于八G.(1) 求抛物线的函数解析式，并写岀顶点D的坐标：(2

10、) 在直线EF上求一点"，使ACDH的周长最小，并求出最小周长；(3 )若点K在X轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时， EFK的而积最大？并求出最大面积.3. 如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C (0, 3),与X轴分别交于点A,点B (3, 0).点P是 直线BC上方的抛物线上一动点.(1) 求二次函数y=ax2+2x+c的表达式；(2) 连接PO, PC,并把APOC沿y轴翻折，得到四边形POPC 若四边形POPrC为菱形，请求岀此时点 P的坐标：(3) 当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的而积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面4. 如

11、图，在平而直角坐标系中，抛物线y=2+mx + n经过点A(3, 0)、B(0, 一3),点P是直线AB上的 动点，过点P作X轴的垂线交抛物线于点M,设点P的横坐标为I.分别求岀宜线AB和这条抛物线的解析式.（2）若点P在第四象限，连接AM. BM,当线段PM最长时，求AABM的面积.（3）是否存在这样的点P,使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写岀点P 的横坐标；若不存在，请说明理由.5. 如图，二次函数y=x2+x+e的图像与X轴交于A. B两点，与P轴交于点C , OB = OC点D在函数图像上，CD恢轴，且CD = 2,直线/是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶

12、点.（1）求为、C的值；（2）如图，连接BE,线段OC上的点F关于直线？的对称点F恰好在线段BE上，求点F的坐标；（3）如图，动点P在线段0B上，过点P作X轴的垂线分别与BC交于点M ,与抛物线交于点N.试问: 抛物线上是否存在点Q,使得APQN与APM的而积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q第閱題）6. 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm, AD = 8cn连接BD.将厶ABD绕B点作顺时针方向旋转得到 ABD（B，与B重合），且点D刚好落在BC的延长上，ATr与CD相交于点E.(1) 求矩形ABCD与AAET/重叠部分(如图中阴影部分AB*CE)的而积；(2) 将 AED以2

13、cms的速度沿直线BC向右平移，当B移动到C点时停止移动.设矩形ABCD ,j AED 重叠部分的而积为yen®移动的时间为X秒，请你求岀y关于X的函数关系式，并指出自变量X的取值范 囤.B(B,)C Li7. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与X轴相交于A ( - 1, O), B (3, 0)两点，与y轴相交于点C(0, -3).(1) 求这个二次函数的表达式：(2) 若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH丄X轴于点H,与BC交于点连接PC. 求线段PM的最大值： 当 PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标.8. 已知抛物线y=ax2+bx+c经

14、过A(-l, 0)、B(3, 0)、C(0, 3)三点，直线1是抛物线的对称轴.(1) 求抛物线的函数关系式：(2) 设点P是直线1上的一个动点，当APAC的周长最小时，求点P的坐标：(3) 在直线1上是否存在点M,使AMAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标; 若不存在，请说明理由.9. 如图，在平面直角坐标系XOy中，已知抛物线y = & _ 2x + c与直线y = c + b都经过A(O-3)、B(3,0) 两点，该抛物线的顶点为C.(1) 求此抛物线和直线AB的解析式：(2) 设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M,过M作X轴的垂

15、线交抛物 线于点N,使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标：若不存在，请说明理由:(3) 设点P是直线AB ?方抛物线上的一动点，当 0B而积最大时，求点P的坐标，并求而积的 最大值.10. 如图,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A (0, 3)、B (1, 0),其对称轴为直线1： x=2t过点A 作ACx轴交抛物线于点C, ZAOB的平分线交线段AC于点E,点P是抛物线上的一个动点，设苴横坐 标为m图(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE. P0,当m为何值时，四边形AOPE而积最大，并求出英最大值：(3) 如图，F是抛物线的对称轴1上的一点，在

16、抛物线上是否存在点P使APOF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标：若不存在，请说明理由11在平而直角坐标系中，抛物线y = -/一2兀+ 3与X轴交于A, B两点(A在B的左侧)，与y轴交于 点C,顶点为D.(1) 请直接写出点A, C, D的坐标：(2) 如图(1),在X轴上找一点E,使得ACDE的周长最小，求点E的坐标：(3) 如图(2), F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P,使得AAFP为等腰直角三角形？若存 在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.12.已知抛物线 y = ax2+bx + c(aO)H 点 A(l,0), 3(3

17、,0)两点，与 y 轴交于点 C, OC=3.(1) 求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2) 过点A作AM丄BC,垂足为M,求证：四边形ADBM为正方形：(3) 点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当阳C而积最大时，求点P的坐标：（4）若点O为线段OC上的一动点，问：AQ + -QC是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值：若不存在,请说明理由.13如图'抛物线一"+阳C过点*2）,且与直线吨交于、C两点,点酗坐标为（4, AH）.备用图（1）求抛物线的解析式；（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE丄兀轴交直线BC于点E，点P为对称轴上 一动点，当线段D

18、E的长度最大时，求PD + PA的最小值：（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q,使AQM =45° ?若存在，求点。的坐标：若不 存在，请说明理由.14.如图，正方形ABCD的边长为2,点E是AD边上的动点，从点A开始沿AD向D运动.以BE为边, 在BE的上方作正方形BEFG, EF交DC于点H,连接CG、BH.请探究：（1）线段AE与CG是否相等？请说明理由.（2）若设AE=x, DH=y,当X取何值时，y最大？最大值是多少？（3）当点E运动到AD的何位置时，aBEHsABAE?3(3,0)、C(0,3)（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得APAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及 PAC的周长；若不存在，请说明理由:（3）在（2）的条件下，在X轴上方的抛物线上是否存在点IVl （不与C点重合），使得SWM=S肿 若 存在，请求岀点M的坐标；若不存在，请说明理由.16. 如图，已知抛物线y=l2+bx+c经过ZiABC的三个顶点，其中点A （Ot 1）,点B （ -9, 10）, ACx 3轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点.（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线1与直线AB、AC分别交于点E、F,当四边形AECP的而积最大时，求 点P的坐标：（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC ±是