第4讲定积分的概念与微积分基本定理

1、第4讲 定积分的概念与微积分基本定理2013年高考会这样考】1. 考查定积分的概念，定积分的儿何意义，微积分基本定理.2. 利用定积分求曲边形面积、变力做功、变速运动的质点的运动路程.【复习指导】定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用 微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物 理问题等.01考基自主导学必考必记i教学相长基础梳理1. 定积分(1) 定积分的定义及相关概念如果函数冗兀)在区间a, b上连续,用分点a=xo<x<xi-<xi<<xn=b9将区 间a, b等分成兀个小区间,在每个小区间竝一1，

2、兀上任取一点 刃=1,2,，斤)，作和式y(c)ax=f/=1. i字g),当一8时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数几0在区间仪，b上的定积分，记作卩兀皿.在f(x)dx中，。与b分别叫做积分卜限与积分上限，区间s，创叫做积分区间,/u)叫做被积函数，丄叫做积分变量，/u)clr叫做被积式.(2) 定积分的性质©j6kf(x)(h=khf(x)dx(k 为常数).3a fl/i 切dx=-fi(x)dx±f2(x)dx.a4 f(x)dx=+jb/(x)dx(中 a<c<b).aac2. 微积分基本定理如果伦)是区间a,b上的连续函数，并月.fm f

3、(x)dx = f(b)-f(a),这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿一莱布尼兹公式.3. 定积分的应用(1)定积分与曲边梯形的而积沱积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积.这要结合具体图形來定:y r=/(x)0| a设阴影部分面积为s.®s=f(x)dx；s=沁皿; a(§)s= 7 dx 7ck；s=沆c)dx pg(x)dx=g(x)dx(2)匀变速运动的路程公式作变速直线运动的物体所经过的路程5,等于其速度函数v = v(o(v(oo)在时间区间a, b上的定积分，即s= bv(t)dr.=助 < < 博一种思想廈积分基

4、本昼想的核空走上以.直代曲二丄甩上直f艮二的.歩骤解决:尢限二过程矽回.题?其龙塗是上分.割求近似.，求祀舉扱隊二?利用运程方法烹推导睦的表瓯积. 和佟积公式簣恩桧斯賞经把对数的发.明亠解析丿i何.的.创始.丛良微枳分的建立并. 栓为1z世纪-数学戲二左成就：三条性质(1) 常.数可提到积分号.生;(2) 祀墓的积分簣土积分的枳羞;.(3) .积.分:可分段逛彳工.一个公式由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积一分是亘为逆运一算:测1 (2011-福建)p(ex + 2x)dx 等于().丿0a. 1d. e+1解析1 (ev + 2x)dx答案 c2. (2

5、011-湖南)由直线x=-7cy=0与曲线=c o s兀所围成的封闭图形的而积为()a.*b1da/5解析片-彳cos xdx = 2 f 彳ocos xdx = 2sin xlo = y3.答案3(2011山东)rhilli线=/歹=疋围成的封闭图形面积为( )1apb-4cl小7d12解析# -条4宽为2的矩形oabc内，曲线y = sin x(0w兀冬兀)与x9y =对,3 得交点坐标为(0,0), (1j),因此所求图形面 v = r,积为 s = x2 - x3)dx = 0姣幸 a4 口賀图，在一个长为兀,轴i韦i成如图所示的阴影部分，向矩形oabc内随机投一点（该点落在矩形oab

6、c内任何一点是等可能的）,则所投的点落在阴影部分的概率是（)b.271解析阴影部分的面积s=cosx$= 一（一1一）=丿02,矩形的面积为2九阴影部分的面积矩形面积2 1二石&做应选a.答案a5.（人教a版教材习题改编）汽车以y=（3r+2）m/s作变速直线运动时，在第1 s至第2 s间的1 s内经过的路程是.解析2 + 2)dt = 1|r2 + 力= x4 + 4-l| + 2l= 10-|12kaoxiangtanjiudaoxi 研析考向i案例突破修案猜向探究导析考向一定积分的计算【例1】计算下列积分r2(1)2/1 ro(2)sin(cosn(5)v x工;ri(xcos

7、jc5sin x2) djc.当原函数较难求时，可考虑由其几何意义解得.【训练1122工丄sin可d工十 jo /7ri(;1 .smjc'jl x djc=j 1jr"21 cos 丁 i9dh0乙3=卫_丄o mrl可利用面积求得j 1因此原式=铢_2v= 7 < +2rr= vl (兀一l)'丫上0jy = 1 ( x 1) j妙01 (父一1)20 ov =1 ( x 1 ) 2i由图形可知:j ov仝 +2 rr=7t4由)j=xcosx5sinx为奇函数1 (xcosx5sinx+2)(k= p 12dx=2 兀打=4. 丿-1方法总结(1)利用微积

8、分基本定理求定积分，其关键是求出被 积函数的原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导数是 互逆运算，因此应注意掌握一些常见函数的导数.(2)根据积分的几何意义可利用面积求积分.若y=./(兀)为奇函数，则=0.考向二利用定积分求面积【例2】求下图屮阴影部分的面积审题视点观察图象要仔细，求出积分上下限，找准被积函数.解方程组y=x4,手=2兀，兀=2v=-2 * 或x=sy=4s阴彬=80o6=18.cy/2xdx8+ c2y2xdx+2 丿o丿o方法总结求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤（1）画出图形，确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标.定出积分的 上、下限；（2）确定被积函数

9、，特别要注意分清被积函数的上、下位置；（3）写出 平面图形面积的定积分的表达式；（4）运用微积分基本定理计算定积分，求出平 面图形的面积.【训练2】求|11|线y=眾,)=2兀，y=*所围成图形的面积.)=&,y=2x,y=2x1 得交点b(3, 1).=3 + 6 + 3=考向三定积分的应用【例3 一质点在直线上从时刻f=0(s)开始以速度p =4r+3(m/s)运动.求: (1)在丫=4$的位置； (2)在/=4 s内运动的路程.审题视点理解函数积分后的实际意义，确定被积函数.解(1)在时刻(=4时该点的位置为j(r2-4r+3)dr= |jr3、.一4即在t=4 s时刻该质点距出

10、发点亍m.(2)因为。=一4汁3 = (/1)(13),所以在区间0,1及3,4上的叩)20,在区间1,3上，叩)w0,所以f=4s时的路程为-4r+3)dr2?+3rj o+ls= f(r2 丿o1 j"+3”pl +(-2?+3=|+|+|=4(m),即质点在4s内运动的路程为4 m.方法总结由$ =如+ ga"通过求导可推出v = vo +川，反之根据积分的几何意义, 由v = v(t)(v(t)o)可求出f a,切时间段内所经过的路程.【训练3已知甲、乙两车曲同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线) 行驶，甲车、乙车的速度曲线分别为“甲和o乙(如图所示).那么对

11、于图屮给定的 to和门，下列判断中一定正确的是().b. 门时刻后，甲车在乙车后面c. 在fo时刻，两车的位置相同d. fo时刻后，乙车在甲车前面解析 可观察出曲线。甲，直线t = tx与/轴围成的面积大于曲线q乙，直线 与/轴围成的面积，故选a.答案akaotizhuanxiangtupo考題展示i名师解读03考题专项突破难点突破8积分的综合应用定积分的考查在试卷中不是必然出现的，一般以选择题或填空题的形式出现，试 题难度不人，在近两年的高考中，考查的i般是定积分的计算和定积分在求曲边 图形面积中的应用等，如2011年福建卷，陕西卷考查的是定积分的计算，新课 标全国卷、湖南卷、山东卷考查的是

12、定积分求曲边形的面积.一、积分的几何意义【示例】已知厂0,则j*rp?ch =(si)-找原函数直接汁算校堆寻求兀他方法i积分的几何意义血该式又转化为求半圆的面被积函数q0> 0 <=>2 2 2y = r .<：0./ + v2市此口jtfl曲线y =>/ -；r2为半圆则i :右些定积分的计算比接使用微积分基本定理/j :困堆.这时又以转化为根据其儿何意义进行.反感)f：数v=."，：)在区间匕的定积分是函数v： ；=/( x)的图象与直线：r.= “：r =":r轴所i时成匚 1的曲边图形面积的代数和.二、积分与概率【示例】(2010-陕西)从如图所示的