第3讲　应用问题中的“瓶颈题”

1、第3讲应用问题中的“瓶颈题”【突破应用问题】第3讲应用问题中的“瓶颈题”(本讲对应学生用书第8998页)数学应用问题是高考中常见题型之一，是能否锁定128分的重要突破口.常见的应用题有：(1) 函数与不等式模型；(2) 函数与导数模型；(3) 三角函数模型；(4) 数列模型.近几年江苏高考数学试题中，正在形成强调将数学应用于解决实际问题的趋势，这个趋势有以下两个特点：一是应用问题考查加大力度，连续多年考大题，形成江苏特色；二是由简单的直接应用向实际问题数学化转化，贴近生活，并且阅读量逐步增加.应用题在高考中的得分率一直比较低，怎样才能突破这个瓶颈，应该从以下几个方面抓起.首先，要掌握解决实际问

2、题的一般步骤：(1) 阅读题目，理解题意；(2) 设置变量，建立函数关系；(3) 应用函数知识或数学方法解决问题；(4) 检验，作答(解应用题的一般思路如下面流程图所示).其次，要掌握数学建模的方法.下面以数学建模方法为例来谈谈如何突破应用题这个瓶颈.【解法概述】举题说法突破瓶颈关系分析法：即通过寻找关键词和关键量之间的数量关系的方法来建立问题的数学模型的方法例1某工厂有容量为300 t的水塔一个，每天从早上6时起到晚上10时止供应该厂生活和生产用水.已知该厂生活用水为每小时10 t，工业用水量W(t)与时间t(单位：h，定义早上6时t=0)的函数关系式为W=100，水塔的进水量有10级，第一

3、级每小时进水10 t，以后每提高一级，每小时的进水量增加10 t，若某天水塔原有水100 t，在供水同时打开进水管.(1) 设进水量选用第n级，写出在t时刻时水的存有量；(2) 问：进水量选择第几级，既能保证该厂用水(水塔中水不空)又不会使水溢出?【分析】题目涉及的关键词比较多：生活用水量、工业用水量、水的存有量、进水量、原有量.其数量关系为：存有量=进水量-用水量+原有量，而用水量=生活用水量+工业用水量.第一问的关键点是求“进水量选用第n级”.第二问的关键点是“水塔中水不空不溢”转化为“存有量(0，300)”.【解答】(1) 因为存有量=进水量-用水量+原有量，而用水量=生活用水量+工业用

4、水量=10t+100，所以在选用第n级的进水量时，t时刻水的存有量为y=10nt-10t-100+100(0<t16).(2) 要使水搭中水不空不溢，则0<y300，问题转化为确定n，使0<10nt-10t-100+100300在(0<t16)上恒成立，即+1<n+1对一切0<t16恒成立.令=x，x，则上式转化为-10x2+10x+1<n20x2+10x+1对一切x恒成立.由于g(x)=20x2+10x+1在，h(x)=-10x2+10x+1在，所以<n，从而确定n=4.练习如图，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O

5、的仰角和立柱底部B的俯角均为30°.设S的眼睛距地面的距离为 m.(练习)(1) 求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2) 立柱的顶端有一长2 m的彩杆MN绕其中点O在S与立柱所在的平面内旋转，摄影者有一视角范围为60°的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面?请说明理由.【解答】(1) 作SC垂直OB于C，则CSB=30°，ASB=60°.又SA=，故在RtSAB中，可求得BA=3，即摄影者到立柱的水平距离为3 m.由SC=3，CSO=30°，在RtSCO中，可求得OC=.因为BC=SA=，故OB=2，即立柱的高度

6、为2 m.(2) 连接SM，SN，设SN=a，SM=b.在SON和SOM中，=-，得a2+b2=26，cosMSN=>.又因为MSN(0，180°)，所以MSN<60°，故摄影者可以将彩杆全部摄入画面.列表分析法：对于数据较多、较复杂的应用性问题通过列表的方式探索问题的数学模型的方法例1从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.(1) 设n年内(本年度为第一年)总投

7、入为an万元，旅游业总收入为bn万元，试写出它们的表达式；(2) 问：至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?【分析】在研究旅游业的投入产出问题时，根据“本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少”，其投入资金数列和收入(产出)数列均为等比数列，注意题目“设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元”中的“n年内”说明“an”，“bn”表示等比数列的前n项和.【解答】(1) 第n年的投入与收入资金数列表如下：第几年投入资金(万元)旅游收入(万元)18004002800400380040048004005800400n800·400·(1) 第1年

8、投入800万元，第2年投入800×万元，第n年投入800×万元，所以n年内的总投入an=800+800×+800×=4 000×；第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×万元，第n年旅游业收入为400×万元，所以n年内的总收入bn=400+400×+400×=1 600×.(2) 设至少经过n年旅游业的总收人才能超过总投入，所以bn-an>0，即1 600×-4 000×>0，化简，得5×+2×-7>0，即<，可得n

9、5，所以至少要经过5年旅游业的总收入才能超过总投入.图象分析法：即通过对图象中的数量关系进行分析来建立问题的数学模型的方法例1某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图(1)所示的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图(2)所示的抛物线段表示.(1) 写出图(1)表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t)，写出图(2)表示的种植成本与时间的函数关系Q=g(t)；(2) 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问：何时上市的西红柿纯收益最大?(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天) 图(1) 图(2)(例1

10、)【分析】(1) 观察图象求出市场售价函数P=f(t)和种植成本函数Q=g(t).(2) 由“市场售价减去种植成本为纯收益”建立纯收益函数h(t)=f(t)-g(t).【解答】(1) 由图(1)可得市场售价与时间的函数关系为f(t)=由图(2)可得种植成本与时间的函数关系为g(t)=+100，0t300.(2) 设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)=f(t)-g(t)，即h(t)=当0t200时，配方整理得h(t)=-(t-50)2+100，所以当t=50时，h(t)取得区间0，200上的最大值100；当200<t300时，配方整理得h(t)=-(t-350)2+100，所以当

11、t=300时，h(t)取得区间(200，300)上的最大值87.5.综上，由100>87.5可知，h(t)在区间0，300上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.练习某公司为帮助尚有26.8万元的无息贷款，但没有偿还能力的残疾人商店，借出20万元，将该商店改建为经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(不计息).已知该种消费品的进价为每件40元，该店每月销售量q(百件)与销售价p(元/件)的关系用图中的一条折线表示.职工每人每月工资600元，该店应交付的其它费用为每月13 200元.(练习)(1) 若当销售价p

12、为52元/件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；(2) 若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品价格定为多少元?【解答】(1) 设该店每月的利润为S元，有职工m名，则S=q(p-40)×100-600m-13 200.又由图可得q=所以当40p58时，S=(-2p+140)(p-40)×100-600m-13 200，当58<p81时，S=(-p+82)(p-40)×100-600m-13 200.由题设知，当p=52时，S=0，即(-2×52+140)(52-40)×100-600m-13 200=0

13、，解得m=50，即此时该店有员工50人.(2) 由题意知S=当40p58时，求得当p=55时，S取最大值7 800(元)；当58<p81时，求得当p=61时，S取最大值6 900(元).所以当p=55时，S有最大值为7 800 元.设该店最早可在n年后还清所有债务，依题意得12×7 800×n-268 000-200 0000，解得n5，即该店最早可在5年后还清所有债务，此时消费品价格定为每件55元.建立坐标系法：通过建立坐标系，得到函数模型来解应用题例1如图所示的镀锌铁皮材料ABCD，上沿DC为圆弧，其圆心为A，半径为2 m，ADAB，BCAB，且BC的长1 m.现

14、要用这块材料裁一个矩形PEAF(其中P在圆弧DC上，E在线段AB上，F在线段AD上)作圆柱的侧面，若以PE为母线，问：如何裁剪可使圆柱的体积最大?其最大值是多少?(例1)【分析】该问题是方案设计问题，如何确定点P的位置使得以PE为母线，以矩形PEAF(其中P在圆弧DC上，E在线段AB上，F在线段AD上)作圆柱的侧面围成的圆柱的体积最大.(例1)【解答】因为点P在圆弧DC上，其圆心为A，半径为2 m，且ADAB，BCAB，所以分别以AB，AD所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系xOy，如图，则圆弧DC的方程为x2+y2=4(0x，y>0)，设P(x，y)(0<x)，圆柱底面半径为r，体

15、积为V，则PE=，2r=AE=x，则r=，所以V=r2l=·=x2.即V2=x4(4-x2).设t=x2(0，3，则u=t2(4-t)，u'=-3t2+8t=-3t，令u'=0，得t=.当<t3时，u'<0，u是减函数；当0<t<时，u'>0，u是增函数，所以当t=时，u有极大值，也是最大值，所以当x= m时，V有最大值 m3，此时y= m.故裁一个矩形，两边长分别为 m 和 m时，能使圆柱的体积最大，其最大值为 m3.练习某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点

16、听到的时间比其他两观测点晚4 s.已知各观测点到该中心的距离都是1 020 m.试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340 m/s，相关各点均在同一平面上)(练习)【解答】如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立平面直角坐标系.设A，B，C分别是西、东、北观测点，则A(-1 020，0)，B(1 020，0)，C(0，1 020).设P(x，y)为巨响发生点，由A，C同时听到巨响声，得PA=PC，故点P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=-x，因点B比点A晚4 s 听到爆炸声，故PB-PA=340×4=1 360.由双曲线定义知点P在以A，B

17、为焦点的双曲线-=1上，依题意得a=680，c=1 020，所以b2=c2-a2=1 0202-6802=5×3402，故双曲线方程为-=1.将y=-x代入上式，得x=±680.因为PB>PA，所以x=-680，y=680，即P(-680，680)，故PO=3 400.答：巨响发生在接报中心的西偏北45°距中心3 400 m处.【专题突破】分类解密专题突破 函数与不等式模型的应用题例1某工厂有工人214名，现要生产1500件产品，每件产品由3个A型零件和1个B型零件配套组成，每个工人加工5个A型零件与加工3个B型零件所需的时间相同.现将工人分成两组，分别加工

18、一种零件，同时开始加工.设加工A型零件的工人有x人，在单位时间里每一个工人加工A型零件5k件，加工完A型零件所需时间为g(x)，加工完B型零件所需时间为h(x).(1) 比较g(x)与h(x)的大小，并写出完成总任务的时间f(x)的解析式；(2) 应怎样分组，才能使完成任务用时最少?【分析】根据题设条件分别求出g(x)和h(x)，然后通过作差找出分界点，得到一个分段函数.【解答】由题设，每个工人在单位时间内加工5k个A型零件，所以x个工人在单位时间内加工5k·x个A型零件.总共需要1500×3个A型零件，所以g(x)=.单位时间内加工B型零件的个数为3k，所以h(x)=.(

19、1) g(x)-h(x)=-=，因为1x<214，xN，因此，当1x137时，g(x)>h(x)；当138x213时，g(x)<h(x)，即当x137时，加工A型这一组所用的时间多；当x138时，加工B型这一组所用的时间多.要完成任务必须使两组全完成才能完成任务，故完成总任务的时间是：f(x)=(2) 要使任务完成最快，|g(x)-h(x)|应最小，令g(x)-h(x)=0，得x=137.因为xN，所以需比较x=137和138时，|g(x)-h(x)|的大小.经比较，加工A型零件有137人，加工B型零件有77人时，完成任务的用时最少.另外可以这样考虑，要使任务完成最快，即求函

20、数f(x)的最小值.当1x137，xN时，f(x)=，显然x=137时，f(x)最小.当138x213，xN时，f(x)=，显然x=138时，f(x)最小，比较x=137和x=138时f(x)的大小，可知当x=137时，f(x)最小.练习某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为30 km(忽略内、外环线长度差异).(1) 当9列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为10 min，求内环线列车的最小平均速度；(2) 新调整的方案要求内环线列车平均速度为25 km/h，外环线列车平均速度为30 km/h.现内、外环线共有18列列车全部投入运行，要使内、外环线乘客的最长候车

21、时间之差不超过1 min，问：内、外环线应各投入几列列车运行?【解答】(1) 设内环线列车运行的平均速度为v km/h，由题意可知×6010v20，所以，要使内环线乘客最长候车时间为10 min，列车的最小平均速度是20 km/h.(2) 设内环线投入x列列车运行，则外环线投入(18-x)列列车运行，内、外环线乘客最长候车时间分别为t1，t2 min，则t1=×60=，t2=×60=.于是有|t1-t2|=1x.又xN*，所以x=10，所以当内环线投入10列，外环线投入8列列车运行时，内、外环线乘客最长候车时间之差不超过1 min. 函数与导数模型的应用题例1(2

22、014·常州期末)几名大学毕业生合作开3D打印店，生产并销售某种3D产品.已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元.该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其他固定支出20 000元.假设该产品的月销售量t(x)(件)与销售价格x(元/件)(xN*)之间满足如下关系：当34x60时，t(x)=-a(x+5)2+10 050；当60x76时，t(x)=-100x+7 600.设该店月利润为M(元)(月利润=月销售总额-月总成本).(1) 求M关于销售价格x的函数关系式；(2) 求该打印店月利润M的最大值及此时产品的销售价格.【解答】

23、(1) 当x=60时，t(60)=1 600，代入t(x)=-a(x+5)2+10 050，解得a=2.所以M(x)=即M(x)=(2) 设g(u)=(-2u2-20u+10 000)(u-34)-20 000，34u<60，uR，则g'(u)=-6(u2-16u-1 780).令g'(u)=0，解得u1=8-2(舍去)，u2=8+2(50，51).当34<u<50时，g'(u)>0，g(u)单调递增；当51<u<60时，g'(u)<0，g(u)单调递减.因为xN*，M(50)=44 000，M(51)=44 226，所

24、以当34x<60时，M(x)的最大值为44 226.当60x76时，M(x)=100(-x2+110x-2 584)-20 000单调递减，故此时M(x)的最大值为M(60)=21 600.综上所述，当x=51时，月利润M(x)取最大值44 226元.故该打印店月利润最大为44 226元，此时产品的销售价格为51元/件.练习根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件，每日产品废品率p与日产量x(件)之间近似地满足关系式p=.已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元.(该车间的日利润y=日正品赢利额-日废品亏损额)(1) 将该车间日利润y(千元)表示为日产量x(件)

25、的函数；(2) 当该车间的日产量为多少件时，日利润最大?最大日利润是几千元?【解答】(1) 由题意可知，y=2x(1-p)-px=(2) 考虑函数f(x)=当1x9时，f'(x)=2-，令f'(x)=0，得x=15-3.当1x<15-3时，f'(x)>0，函数f(x)在1，15-3)上单调递增；当15-3<x9时，f'(x)<0，函数f(x)在(15-3，9上单调递减.所以当x=15-3时，f(x)取得极大值，也是最大值，又x是整数，f(8)=，f(9)=9，所以当x=8时，f(x)有最大值.当10x20时，f'(x)=-=0，所

26、以函数f(x)在10，20上单调递减，所以当x=10时，f(x)取得极大值，也是最大值.由于>，所以当该车间的日产量为10件时，日利润最大.答：当该车间的日产量为10件时，日利润最大，最大日利润是千元. 三角形与三角函数模型例1如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，ABC外的地方种草，ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花，若BC=a，ABC=，设ABC的面积为S1，正方形PQRS的面积为S2.(例1)(1) 用a，表示S1和S2；(2) 当a固定，变化时，求的最小值.【分析】用a，表示S1和S2，a固定时是关于的函数，然后可以利用换元法或求导来研究其单调性从而

27、求出最小值.【解答】(1) S1=asin·acos=a2sin2，设正方形边长为x，则BQ=，RC=xtan，所以+xtan+x=a，所以x=，所以S2=.(2) 当a固定，变化时，=，令sin2=t，则=(0<t1)，利用单调性求得t=1时，=.练习某学校需要一批一个锐角为的直角三角形硬纸板作为教学用具，现准备定制长与宽分别为a，b(a>b)的硬纸板截成三个符合要求的AED，BAE，EBC(如图所示).(练习)(1) 当=时，求定制的硬纸板的长与宽的比值；(2) 现有三种规格的硬纸板可供选择，A规格长80 cm，宽30 cm，B规格长60 cm，宽40 cm，C规格长

28、72 cm，宽32 cm，问：可以选择哪种规格的硬纸板使用?【解答】(1) 由题意AED=CBE=.因为b=BE·cos =AB·sin ·cos =a，所以=.(2) 因为b=BE·cos =AB·sin ·cos =AB·sin 2，所以=sin 2.因为，所以2，所以.A规格：=<，不符合条件；B规格：=>，不符合条件；C规格：=，符合条件.所以应选择C规格的硬纸板. 解析几何模型例1一艘轮船在沿直线返回港口的途中接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西方向80km 处，受影响的范围是半径长为r(r>

29、;0)km的圆形区域.轮船的航行方向为西偏北45°方向且不改变航线，假设台风中心不移动.(1) r在什么范围内，轮船在航行途中不会受到台风的影响?(2) 当r=60时，轮船在航行途中受到影响的航程是多少千米?【分析】建立平面直线坐标系，求出圆心到直线的距离d，通过弦心距和半径作比较进行判断.(例1)【解答】如图，以台风中心为原点建立平面直角坐标系xOy.(1) 由图可知轮船在直线l：x+y-80=0上移动，原点到直线l的距离d=40.所以0<r<40时，轮船在途中不会受到台风影响.(2) 因为60>40，所以轮船会受到台风影响.航程为2=40km，所以当r=60km

30、时，轮船在航行途中受到影响的航程是40km.【点评】此类问题实际上就是判断直线与圆的位置关系，该类问题的解决有代数法和几何法两种方法.练习(2014·江苏卷)如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥BC与河岸AB垂直，保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸)，tanBCO=.(练习)(1) 求新桥BC的长；(2) 当OM多长时，圆形保护区的面积最大?【解答】方法一：(练习(1)(1) 如图(1)所

31、示，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.由条件知A(0，60)，C(170，0)，直线BC的斜率kBC=-tanBCO=-.又因为ABBC，所以直线AB的斜率kAB=.设点B的坐标为(a，b)，则kBC=-，kAB=，解得a=80，b=120，所以BC=150(m).因此新桥BC的长是150m.(2) 设保护区的边界圆M的半径为rm，OM=dm(0d60).由条件知，直线BC的方程为y=-(x-170)，即4x+3y-680=0.由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，即r=.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m，所以即解得10d35.

32、故当d=10时，r=最大，即圆面积最大，所以当OM=10m时，圆形保护区的面积最大.方法二：(1) 如图(2)所示，延长OA，CB交于点F.(练习(2)因为tanFCO=，所以sinFCO=，cosFCO=.因为OA=60，OC=170，所以OF=OCtanFCO=，CF=，从而AF=OF-OA=.因为OAOC，所以cosAFB=sinFCO=.又因为ABBC，所以BF=AFcosAFB=，从而BC=CF-BF=150.因此新桥BC的长是150m.(2) 设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则MDBC，且MD是圆M的半径，并设MD=r m，OM=dm(0d60).因为OAOC，所以s

33、inCFO=cosFCO.故由(1)知sinCFO=，所以r=.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m，所以解得10d35.故当d=10时，r=最大，即圆面积最大，所以当OM=10m时，圆形保护区的面积最大. 立体几何体模型例1某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：m)，其中容器的中间为圆柱形，高为l，左、右两端均为半球形，半径为r，按照设计要求容器的体积为 m3，且l2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元.设该容器的建造费用为y千元.(例1)(1) 求y关于r的函数解析式，并求该函数的定义域；(2) 求该容器的建造费用最小时半径r的值.【分析】根据球的体积和圆柱的体积公式求出y关于r的函数表达式，再利用导数研究其最值.【解答】(1) 因为容器的体积为m3，所以r3+r2l=，解得l=-r=，由于l2r，所以0<r2，所以建造费用y=2rl×3+4r2c=2r××3+4r2c，所以y=-8r2+4cr2，定义域