高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的简单几何性质课件 新人教A版选修2-1

1、第二章2.3双曲线2.3.2双曲线的简单几何性质学习目标1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中a，b，c，e 间的关系.4.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一双曲线的范围、对称性思考观察下面的图形：(1)从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的，那么是否与椭圆一样有范围限制？有限制，因为 1，即x2a2，所以xa或xa.答案思考(2)是不是轴对称图形？对称轴是哪条直线？是不是中心对称图形？对称中心是哪个点？关于x轴、y轴和原点都是对称的，x轴、y

2、轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心.答案梳理梳理(2)双曲线的对称轴为 ，对称中心为 .(，aa，)(，aa，)原点x轴、y轴rr知识点二双曲线的顶点思考(1)双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的交点，你认为对吗？为什么？不对，双曲线的顶点是双曲线与其对称轴的交点，只有在标准形式下，坐标轴才是双曲线的对称轴，此时双曲线与坐标轴的交点是双曲线的顶点.答案思考(2)双曲线是否只有两个顶点？双曲线的顶点和焦点能在虚轴上吗？是，只有两个顶点.双曲线的顶点和焦点都不能在虚轴上，只能在实轴上.答案梳理梳理(0，a)(a，0)(a，0)(0，a)知识点三渐近线与离心率思考1能否和椭圆一样，用

3、a，b表示双曲线的离心率？答案思考2离心率对双曲线开口大小有影响吗？满足什么对应关系？答案梳理梳理(2)离心率：双曲线的焦距与实轴长的比 ，叫做双曲线的离心率，用e表示(e1).标准方程图形(3)双曲线的几何性质见下表：性质范围xa或xaya或ya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点顶点坐标：a1(a，0)，a2(a，0)顶点坐标：a1(0，a)，a2(0，a)渐近线_离心率a，b，c间的关系c2a2b2(ca0，cb0)题型探究类型一已知双曲线的标准方程求其简单几何性质例例1求双曲线nx2my2mn(m0，n0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.解答引申探究引

4、申探究将本例改为“求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程”，请给出解答.解答由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键.(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值.(3)由c2a2b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质.反思与感悟跟踪训练跟踪训练1求双曲线9y216x2144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.解答由此可知，实半轴长a4，虚半轴长b3；类型二由双曲线的几何性质确定标准方程例例2求下列双曲线的标准方程.解答解得20或7(舍去)，解答则c210k，b2c2a2k.于是，设所求双曲线

5、方程为(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式.(2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧反思与感悟渐近线为ykx的双曲线方程可设为k2x2y2(0).渐近线为axby0的双曲线方程可设为a2x2b2y2(0).点m(3，2)在双曲线上，解答a23b2.又直线ab的方程为bxayab0，解组成的方程组，得a23，b21.解答类型三共轭双曲线与等轴双曲线解答命题角度命题角度1共轭双曲线共轭双曲线又双曲线m与双曲线e互为共轭双曲线，反思与感悟答案解析命题角度命题角度2等轴双曲线等轴双曲线例例4已知等轴双曲线的焦点在x轴上，

6、且焦点到渐近线的距离是 ，求此双曲线的方程.解答反思与感悟(1)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.(2)等轴双曲线的性质：渐近线方程为yx；渐近线互相垂直；离心率e .(3)等轴双曲线的特征是ab，等轴双曲线的方程可以设为x2y2(0).当0时，双曲线的焦点在x轴上；当0直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交；0直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切；时，直线l只与双曲线一支相交，交点有两个；如图，0，方法二设弦的两个端点坐标分别为a(x1，y1)，b(x2，y2)，弦的中点为p(x，y)，得4(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，整理得4x2y2y0(y0.综上可知，

7、所求直线的方程为4xy70.(2)过定点q(1，1)能否作直线l，使l与此双曲线相交于q1，q2两点，且q是弦q1q2的中点？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由.解答假设这样的直线l存在，设q1(x1，y1)，q2(x2，y2)，2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，2(x1x2)(y1y2)0.若直线q1q2垂直于x轴，则线段q1q2中点不可能是点q(1，1)，直线q1q2的方程为y12(x1)，即y2x1.即2x24x30，16240.直线l与双曲线没有公共点，因此这样的直线不存在.当堂训练方程表示双曲线，答案解析a.4 b.3 c.2 d.123451答案解析234513.等轴双曲线的一个焦点是f1(6，0)，则其标准方程为23451等轴双曲线的焦点为(6，0)，c6，2a236，a218.答案解析23451答案解析答案解析23451规律与方法双曲线的综合问题常涉及其离心率、渐近线、范围等，与向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力.(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转