第04章多个样本均数比较的方差分析(正式)

1、12 比较某实验比较某实验(处理处理)因素不同水平样本均因素不同水平样本均数间差别有无统计学意义，从而说明该实验数间差别有无统计学意义，从而说明该实验因素某水平是否有作用的方法。因素某水平是否有作用的方法。 根据实验因素的数量分为：根据实验因素的数量分为： 单因素单因素方差分析方差分析 多因素多因素(两因素及以上两因素及以上)方差分析方差分析u方差分析由方差分析由R.A.Fisher(英英)首创，又称首创，又称缩写：缩写：3Ronald Aylmer Fisher 爵士（爵士（18901962）是）是现代统计学的奠基人之现代统计学的奠基人之一。一。45处理因素处理因素和和水平水平u研究者对研究

2、对象人为地施加某种干预措施，研究者对研究对象人为地施加某种干预措施，称为处理因素称为处理因素(factor)或实验因素；或实验因素；u处理因素所处的不同状态称为水平处理因素所处的不同状态称为水平(level)。 处理因素的水平数处理因素的水平数2，即实验的组数。，即实验的组数。6 三组运动员长跑后体温增加数三组运动员长跑后体温增加数() 不饮水不饮水 定量饮水定量饮水 不限量饮水不限量饮水 1.9 1.4 0.9 1.8 1.2 0.7 1.6 1.1 0.9 1.7 1.4 1.1 1.5 1.1 0.9 1.6 1.3 0.9 1.3 1.1 0.8 1.4 1.0 1.0 1.6 1.2

3、 0.9iX处理因素处理因素：饮水方式：饮水方式 水平数水平数=37 单因素实验单因素实验 实验中的处理因素只有一个，这个处理因素实验中的处理因素只有一个，这个处理因素包括包括g(g2)个水平，分析不同水平实验结果的个水平，分析不同水平实验结果的差别是否有统计学意义。差别是否有统计学意义。多因素实验多因素实验实验中的处理因素实验中的处理因素2，各处理因素的水平，各处理因素的水平2，分析各处理因素各水平的实验结果有无差，分析各处理因素各水平的实验结果有无差别、有无交互作用。别、有无交互作用。8u研究一种降血脂新药的临床疗效研究一种降血脂新药的临床疗效u研究对象：高血脂病人研究对象：高血脂病人(1

4、20例例) 处理因素：降血脂药物处理因素：降血脂药物 水水 平：服降血脂新药平：服降血脂新药2.4g组组 服降血脂新药服降血脂新药4.8g组组 服降血脂新药服降血脂新药7.2g组组 安慰剂组安慰剂组u试验效应：低密度脂蛋白测量值试验效应：低密度脂蛋白测量值(mmol/L)单因素实验单因素实验9安慰剂组安慰剂组3.53 4.59 4.34 2.662.59303.43102.91367.85降血脂新降血脂新药药2.4g组组2.42 3.36 4.32 2.342.31302.7281.46233.00降血脂新降血脂新药药4.8g组组2.86 2.28 2.39 2.281.68302.7080.

5、94225.54降血脂新降血脂新药药7.2g组组0.89 1.06 1.08 1.273.71301.9758.99132.13低密度脂蛋白测量值低密度脂蛋白测量值(mmol/L)分分 组组 n 4个处理组低密度脂蛋白测量值个处理组低密度脂蛋白测量值 合合 计计 120 2.70 324.30 958.52iXX 2X 10u研究饲料中脂肪含量高低、蛋白含量高低研究饲料中脂肪含量高低、蛋白含量高低对小鼠体重的影响对小鼠体重的影响u研究对象：小白鼠研究对象：小白鼠 处理因素：含脂肪饲料、含蛋白饲料处理因素：含脂肪饲料、含蛋白饲料 水水 平：脂肪含量平：脂肪含量 高高 低低 蛋白含量蛋白含量 高高

6、 低低 高高 低低u试验效应：小鼠体重增加量试验效应：小鼠体重增加量多因素实验多因素实验11总变异总变异组间变异组间变异组内变异组内变异u根据资料设计的类型及根据资料设计的类型及研究目的，可将研究目的，可将总变异总变异分分解为解为两个或多个部分两个或多个部分，每，每个部分的变异可由个部分的变异可由某因素某因素的作用的作用来解释。来解释。u通过比较可能由某因素通过比较可能由某因素所至的变异与随机误差，所至的变异与随机误差，即可了解该因素对测定结即可了解该因素对测定结果有无影响。果有无影响。12 三组运动员长跑后体温增加数三组运动员长跑后体温增加数() 不饮水不饮水 定量饮水定量饮水 不限量饮水不

7、限量饮水 1.9 1.4 0.9 1.8 1.2 0.7 1.6 1.1 0.9 1.7 1.4 1.1 1.5 1.1 0.9 1.6 1.3 0.9 1.3 1.1 0.8 1.4 1.0 1.0 1.6 1.2 0.9iX23. 1X 总总Xij=+Ti+eij i=1, 2, , g j=1, 2, , n13组间离均差平方和组间离均差平方和(处理因素处理因素+随机误差随机误差)组内离均差平方和组内离均差平方和(随机误差随机误差)总离均差平方和总离均差平方和sum of squares of deviations from mean ，SS g1in1j2iji)XX(SS总总 g1i

8、2ii)XX(nSS组组间间 g1in1j2iiji)XX(SS组组内内14gN 1g 1N SSSSSS 组组内内组组间间总总组组内内组组间间总总组组内内组组间间总总15组组内内组组内内组组内内组组间间组组间间组组间间 /SSMS/SSMSmean square ，MS组内组内组间组间组内变异组内变异组间变异组间变异MSMSF 16u如果处理因素无作用：如果处理因素无作用： 组间变异组内变异组间变异组内变异 F = 如果处理因素有作用：如果处理因素有作用： 组间变异组内变异组间变异组内变异 F uF界值表界值表 (附表附表3) 。，0.05P FF21,05.0 组内组内组间组间 21 说明

9、处理因素对实验结果有影响说明处理因素对实验结果有影响 单侧单侧17181.各样本是相互独立的随机样本；各样本是相互独立的随机样本；2.各样本数据均服从正态分布；各样本数据均服从正态分布；3.相互比较的各样本的总体方差相等，相互比较的各样本的总体方差相等， 即方差齐性即方差齐性(homogeneity of variance)。192021completely random design各组例数可以相等或不等各组例数可以相等或不等甲处理（甲处理（n1）乙处理乙处理 （n2）丙处理（丙处理（n3）试验对象试验对象 （N）随机化分组随机化分组22例例 为了研究一种降血脂新药的临床疗效为了研究一种降血

10、脂新药的临床疗效, 按按统一纳入标准选择统一纳入标准选择120名患者名患者, 采用完全随机采用完全随机设计方法将患者等分为设计方法将患者等分为4组进行双盲试验。组进行双盲试验。 完全随机设计分组结果完全随机设计分组结果随机数随机数260873373204056930160905886958220634序序 号号2410639153114131091081171675编编 号号12345678910119120 结结 果果甲甲丁丁乙乙甲甲甲甲丁丁甲甲丁丁丁丁丁丁甲甲丙丙 130 甲甲 3160 乙乙 6190 丙丙 91120 丁丁23安慰剂组安慰剂组3.53 4.59 4.34 2.662.5

11、9303.43102.91367.85降血脂新降血脂新药药2.4g组组2.42 3.36 4.32 2.342.31302.7281.46233.00降血脂新降血脂新药药4.8g组组2.86 2.28 2.39 2.281.68302.7080.94225.54降血脂新降血脂新药药7.2g组组0.89 1.06 1.08 1.273.71301.9758.99132.13低密度脂蛋白测量值低密度脂蛋白测量值(mmol/L)分分 组组 n 4个处理组低密度脂蛋白测量值个处理组低密度脂蛋白测量值 合合 计计 120 2.70 324.30 958.52iXX 2X Xij=+Ti+eij24总变异

12、总变异处理因素处理因素组间变异组间变异组内变异组内变异随机误差随机误差测量误差测量误差个体变异个体变异随机误差随机误差测量误差测量误差个体变异个体变异25完全随机设计资料方差分析公式完全随机设计资料方差分析公式变异来源变异来源 SS MS F值值 cxg1in1j2iji Cn)x(g1iin1j2iji 组间组间总总SSSS 组间组间组间组间 SS组组内内组组内内 SS组内组内组间组间MSMSN/)X(C2g1in1jiji 校正数校正数:N1 总变异总变异组组 间间g1组组 内内Ng26H0: 1= 2= 3 = 4 H1: i不等或不全相等不等或不全相等 =0.05 42.876120/

13、30.324N/)X(C22g1in1jiji 11911201n 10.8242.87652.958cxSSg1in1j2iji 总总271164120gN 94.4916.3210.82SSSSSS 组组内内组组间间总总组组内内3141g 16.3242.8763099.5894.8046.8191.102Cn)x(SS2222g1iin1j2iji 组组间间组组间间28方差分析表方差分析表 变异来源变异来源 SS MS F P 总总 82.10 119 组间组间 32.16 3 10.72 24.93 0.01 组内组内 49.94 116 0.43 98. 3F)116,3(01. 0

14、 附表附表3结论结论: :按按 =0.05水平，拒绝水平，拒绝H0，接受，接受H1，认为，认为四组均数的差异有统计学意义四组均数的差异有统计学意义 ，不同剂量药，不同剂量药物对血脂中物对血脂中低密度脂蛋白降低有影响低密度脂蛋白降低有影响。29注意注意:u当拒绝当拒绝H0，接受，接受H1，不能说明各组总体均，不能说明各组总体均 数两两间都有差别，要进行多个均数间多数两两间都有差别，要进行多个均数间多 重比较。重比较。Ft2g 时时，当当2,2/),1(tF1 双双侧侧时时，单单侧侧当当u 3031u又称配伍组设计又称配伍组设计 是配对设计的扩大是配对设计的扩大u先按影响实验结果的非处理因素先按影

15、响实验结果的非处理因素(如性别、如性别、 体重、年龄、职业、病情、病程等体重、年龄、职业、病情、病程等)将受试对将受试对象配成区组，再分别将区组内的受试对象随象配成区组，再分别将区组内的受试对象随机分配到各处理组或对照组。机分配到各处理组或对照组。randomized block designu将区组间变异从组内变异中分离出来，减少将区组间变异从组内变异中分离出来，减少 了组内变异，提高了统计检验效率。了组内变异，提高了统计检验效率。32例：比较三种抗癌药物对小白鼠肉瘤抑瘤效果例：比较三种抗癌药物对小白鼠肉瘤抑瘤效果处理因素：抗癌药物（处理因素：抗癌药物（A、B、C）实验对象及例数：染肉瘤小白

16、鼠实验对象及例数：染肉瘤小白鼠15只只实验效应：肉瘤重量实验效应：肉瘤重量控制因素：小白鼠体重控制因素：小白鼠体重实验设计：随机区组设计实验设计：随机区组设计方法：将体重相近的方法：将体重相近的3只小白鼠配为一个区只小白鼠配为一个区 组，共组，共5个区组；在区组内随机分配个区组；在区组内随机分配 处理因素。处理因素。33 不同药物作用后小白鼠肉瘤重量不同药物作用后小白鼠肉瘤重量(g)区组区组A药药B药药C药药10.820.650.511.9820.730.540.231.5030.430.340.281.0540.410.210.310.9350.680.430.241.353.072.171

17、.576.810.6140.4340.3140.4542.02071.05870.54513.62451gijiX1nijjXiX21ni jjXXij=+Ti+Bj+eij 34例例 如何按随机区组设计，分配如何按随机区组设计，分配5个区组的个区组的15只只 小白鼠接受甲、乙、丙三种抗癌药物？小白鼠接受甲、乙、丙三种抗癌药物？ 5个区组小白鼠按随机区组设计分配结果个区组小白鼠按随机区组设计分配结果区组号区组号12345小白鼠小白鼠随机数随机数6835 26 00 99 53 93 61 28 52 70 05 48 34 56序序 号号32113232123121312345678910 1

18、1 12 13 14 15 结果结果丙丙乙乙甲甲 甲甲丙丙 乙乙 丙丙 乙乙 甲甲 乙乙 丙丙 甲甲 乙乙 甲甲 丙丙35总变异总变异处理因素处理因素处理间变异处理间变异随机误差随机误差测量误差测量误差个体变异个体变异组组 内内 变变 异异随机误差随机误差测量误差测量误差个体变异个体变异区组因素区组因素区组间变异区组间变异随机误差随机误差测量误差测量误差个体变异个体变异36随机区组设计资料方差分析公式随机区组设计资料方差分析公式变异来源变异来源 SS MS F值值 Cxg1in1j2ij 区区组组处处理理总总SSSSSS 误误差差误误差差 SSN1 总变异总变异C)X(n1g1i2n1jij

19、处处理理处处理理 SS误误差差处处理理MSMS处理处理 间间g1误误 差差 (n-1)(g-1)C)X(g1n1j2g1iij 区组区组区组区组 SS误差误差区组区组MSMS区组间区组间n137H0: 1= 2= 3 H1: i不等或不全相等不等或不全相等 =0.05 0917.315/81.6N/)X(C22g1in1jiji 141151n 5328. 00917. 36245. 3CxSSg1in1j2iji 总总38 2131g 2280. 00917. 3)57. 117. 207. 3(51 C)X(n1SS222g1i2n1jij 处处理理处处理理4151n 2284. 0091

20、7. 3 )35. 193. 005. 150. 198. 1(31 C)X(g1SS22222n1j2g1iij 区区组组区区组组398)13)(15()1g)(1n( 0764. 02284. 02280. 05328. 0 SSSSSSSS 误误差差区区组组处处理理总总误误差差40方差分析表方差分析表 变异来源变异来源 SS MS F P 总总 0.5328 14 处理间处理间 0.2280 2 0.1140 11.88 0.01 区组间区组间 0.2284 4 0.0571 5.95 0.05 误差误差 0.0764 8 0.009665. 8F 84. 3F)8,2(01. 0)8,

21、4(05. 0 结论结论: :按按 =0.05水平，拒绝水平，拒绝H0，接受，接受H1，认为，认为三组均数的差异有统计学意义，三组均数的差异有统计学意义，三种抗癌药物三种抗癌药物对小白鼠肉瘤抑瘤效果有差别对小白鼠肉瘤抑瘤效果有差别。41 变异来源变异来源 SS MS F P 总总 0.5328 14 处理间处理间 0.2280 2 0.1140 11.88 0.01 区组间区组间 0.2284 4 0.0571 5.95 0.05 误差误差 0.0764 8 0.0096区组间差别有统计学意义解释区组间差别有统计学意义解释由于控制了区组因素由于控制了区组因素(体重体重)，误差由，误差由0.02

22、54减减少到少到0.0096，提高了检验效率。，提高了检验效率。 处理间处理间 0.2280 2 0.1140 4.49 0.05 区组区组+误差误差 0.3048 12 0.0254 93.6F 88.3F)12,2(01.0)12,2(05.0 4243 设计方法设计方法 研究目的研究目的 非处理因素控制非处理因素控制 完全随机设计完全随机设计 处理因素处理因素 随机化分组平衡随机化分组平衡 随机区组设计随机区组设计 处理因素处理因素 区组（行方向）区组（行方向） 可控制一个主要可控制一个主要 非处理因素非处理因素 拉丁方设计拉丁方设计 处理因素处理因素 行与列方向行与列方向 可控制二个主

23、要可控制二个主要 非处理因素非处理因素 latin-square design44 拉丁方是用拉丁字母排列为拉丁方是用拉丁字母排列为KK的方阵的方阵 K =处理因素水平数处理因素水平数 例：例：K=4 列列 1 2 3 4 1 A B C D 行行 2 B C D A 3 C D A B 4 D A B C 45u行和列安排两个需控制的非处理因素行和列安排两个需控制的非处理因素u拉丁字母个数代表处理因素水平数拉丁字母个数代表处理因素水平数u行数行数=列数列数=处理水平数处理水平数u处理的每个水平在行或列中只出现一次处理的每个水平在行或列中只出现一次u使用时应对基本拉丁方随机化使用时应对基本拉丁

24、方随机化 列列 1 2 3 4 1 A B C D 行行 2 B C D A 3 C D A B 4 D A B C 46研究目的：比较研究目的：比较6种不同药物对家兔注射后产生种不同药物对家兔注射后产生 的皮肤疱疹大小的皮肤疱疹大小处理因素：药物处理因素：药物处理因素水平：甲、乙、丙、丁、戊、己处理因素水平：甲、乙、丙、丁、戊、己实验对象：家兔实验对象：家兔6只只实验效应：皮肤疱疹大小实验效应：皮肤疱疹大小控制因素控制因素1：不同受试对象：不同受试对象(6只家兔只家兔)控制因素控制因素2：每只家兔不同注射部位：每只家兔不同注射部位(6个个)47 A B C D E F B A F E D C

25、 C D A B F E D F E A C B E C B F A D F E D C B A66基本拉丁方基本拉丁方48 行变换：随机数行变换：随机数 22 06 34 72 52 82 秩秩 次次 2 1 3 5 4 6 对对 调调 列变换：列变换： 随机数随机数 27 29 99 72 68 53 秩秩 次次 1 2 6 5 4 3 对对 调调 分配处理：药分配处理：药 物物 甲甲 乙乙 丙丙 丁丁 戊戊 己己 随机数随机数 35 56 27 09 24 86 秩秩 次次 4 5 3 1 2 6 字字 母母 D E C A B F 66基本拉丁方随机化基本拉丁方随机化 4966基本拉丁

26、方行与列随机对调基本拉丁方行与列随机对调家兔编号家兔编号 注射部位编号（列区组）注射部位编号（列区组）(行区组行区组) 1 2 3 4 5 6 1 A B C E D F 2 B A E F C D 3 E D F C B A 4 F C B D A E 5 C F D A E B 6 D E A B F C处理因素处理因素(药物药物)：A B C D E F50家兔编号家兔编号 注射部位编号（列区组）注射部位编号（列区组）(行区组行区组) 1 2 3 4 5 6 1 A73 B75 C67 E61 D69 F79 2 B83 A81 E99 F82 C85 D87 3 E73 D60 F73

27、 C77 B68 A74 4 F58 C64 B64 D71 A77 E74 5 C64 F62 D64 A81 E85 B71 6 D77 E75 A73 B59 F85 C82 处理因素处理因素(药物药物)：A B C D E FXijk=+Ti+Rj+Ck+eijk6种药物注射家兔后产生皮肤种药物注射家兔后产生皮肤疱疹大小疱疹大小(mm2)51家兔家兔 注射部位编号注射部位编号编号编号 1 2 3 4 5 6 1 A73 B75 C67 E61 D69 F79 424 70.7 2 B83 A81 E99 F82 C85 D87 517 86.2 3 E73 D60 F73 C77 B6

28、8 A74 425 70.8 4 F58 C64 B64 D71 A77 E74 408 68.0 5 C64 F62 D64 A81 E85 B71 427 71.2 6 D77 E75 A73 B59 F85 C82 451 75.26种药物注射家兔后产生皮肤种药物注射家兔后产生皮肤疱疹大小疱疹大小(mm2)合计合计Ci 428 417 440 431 469 467 71.3 69.5 73.3 71.8 78.2 77.8 iX药药 物物 D E C A B F 合计合计Tk 428 467 439 459 420 439 71.3 77.8 73.2 76.5 70.0 73.2kX

29、jX 合计合计Rj7 .73X 总总52总变异总变异处理间变异处理间变异不同药物不同药物随机误差随机误差随机误差随机误差行区组间变异行区组间变异不同家兔不同家兔随机误差随机误差列区组间变异列区组间变异不同注射部位不同注射部位随机误差随机误差53拉丁方设计资料方差分析公式拉丁方设计资料方差分析公式变异来源变异来源 SS MS F值值 CX2ijk N1 总变异总变异CTg12k 处处理理处处理理 /SS处理间处理间g1误误差差处处理理MS/MS行区组行区组CRg12k g1行行行行 /SS误差误差行行MS/MS列区组列区组CCg12k g1列列列列 /SS误差误差列列MS/MS误误 差差 列列行

30、行处处理理总总SSSSSSSS (g-1)(g-2)误误差差误误差差 /SS54等等大小的总体均数不全相大小的总体均数不全相六个注射部位皮肤疱疹六个注射部位皮肤疱疹：大小的总体均数相等大小的总体均数相等六个注射部位皮肤疱疹六个注射部位皮肤疱疹：小的总体均数不全相等小的总体均数不全相等：六只家兔皮肤疱疹大：六只家兔皮肤疱疹大的总体均数相等的总体均数相等六只家兔皮肤疱疹大小六只家兔皮肤疱疹大小：体均数不全相等体均数不全相等产生皮肤疱疹大小的总产生皮肤疱疹大小的总：六种药物注射后家兔：六种药物注射后家兔均数相等均数相等生皮肤疱疹大小的总体生皮肤疱疹大小的总体六种药物注射后家兔产六种药物注射后家兔产：

31、， H H H H H H31CCCCCC3021RRRRRR2011FEDCBA10654321654321 05.0 55变异来源变异来源SSMSFP总变异总变异3036.0035 药物间药物间268.67553.730.980.05家兔间家兔间383.33576.671.390.05部位间部位间1283.335256.674.660.05阶段间阶段间 1 490.05 490.05 9.92 0.05 受试者间受试者间 9 551111.45 61234.61 1240.07 0.05 AB 0.18 2 4.11 3.26 4.75 0.05AC 0.30 3 6.85 4.04 5.

32、64 0.01jiXX a为均数排序后对比组间所包含的组数，为均数排序后对比组间所包含的组数，a越大，越大，q0.05, 越大，避免犯越大，避免犯型错误。型错误。 结论结论: B药与药与C药抑瘤效果差别无统计学意义药抑瘤效果差别无统计学意义, 服服A药后小鼠肉瘤重量高于服药后小鼠肉瘤重量高于服C药与药与B药药 的，的，A药抑瘤效果比药抑瘤效果比C药与药与B药的差。药的差。对于方差分析后的两两比较均应以方差对于方差分析后的两两比较均应以方差分析拒绝相应的分析拒绝相应的H0为前提，且结论均不为前提，且结论均不应与方差分析的结论相悖；应与方差分析的结论相悖；出现模糊结论，下结论应该谨慎；出现模糊结论

33、，下结论应该谨慎；方差分析拒绝方差分析拒绝H0，但两两比较得不出有，但两两比较得不出有差异的结论，因为方差分析效率高。差异的结论，因为方差分析效率高。Post Hoc分析发现的各组间差别只是一种分析发现的各组间差别只是一种提示，一种进一步增加含量改进试验的提示，一种进一步增加含量改进试验的提示。提示。不能用不能用t检验代替方差分析，也不能用检验代替方差分析，也不能用t检检验代替两两比较。验代替两两比较。无论是无论是SNK法还是法还是Dunnett-t法，用于两法，用于两组比较时，结果与组比较时，结果与t检验等价检验等价。94方差分析方差分析(F 检验检验) 是多个均数间整体性的比较，如果是多个均数间整体性的比较，如果F值无统值无统计学意义，说明处理因素无作用。计学意义，说明处理因素无作用。均数间的多重比较均数间的多重比较 整体比较有统计学意义后进行均数间两两整体比较有统计学意义后进行均数间两两比较，