2022年常微分方程期末试题答案

1、精品资料欢迎下载一、填空题（每空2 分，共 16 分）；dy21、方程x dxy 2 满意解的存在唯独性定理条件的区域是xoy 平面dy2. 方程组dxf x,y , xr, yrn 的任何一个解的图象是n+1维空间中的一条积分曲线.3. f yx,y 连续是保证方程 dydxf x, y 初值唯独的充分条件dx4. 方程组dt dydty的奇点x0, 0 的类型是中心5. 方程 yxy1 y 22的通解是 ycx1 c 226. 变量可分别方程mx ny dxp x qy dy0 的积分因子是1n y p x7. 二阶线性齐次微分方程的两个解y1 x , y2 x 成为其基本解组的充要条件是

2、 线性无关8. 方程 y4 y4 y0 的基本解组是e 2 x , xe 2x二、挑选题（每道题3 分，共15 分）；dy9. 一阶线性微分方程dxpx yq x 的积分因子是（a）（ a ）p x dxe（ b ）q xdxe（ c）p x dxe（ d ）q x dxe10. 微分方程y lnydxxlnydy0 是（ b ）（ a ）可分别变量方程（ b）线性方程（ c）全微分方程（ d）贝努利方程11方程 xy21dx+y x21dy=0 的全部常数解是（c）ax1b y1 c y1 ,x1d y1 ,x112 n 阶线性非齐次微分方程的全部解（d ）（ a ）构成一个线性空间（ b）

3、构成一个 n1 维线性空间（ c）构成一个 n1维线性空间（ d ）不能构成一个线性空间13方程 yy2x 22 （ d）奇解（ a ）有一个三、运算题（每道题（ b ）有很多个8 分，共 48 分）；（c）只有两个（ d）无14求方程dy dx2xyx 2y 2的通解解：令 yxu ，就 dy dxux dy dxdu，于是，dx2c2uu,ucx x1u所以原方程的通解为yx1cx, yx15. 求方程y dx x y3ln xdy0 的通解解：取 mx, yy , n xx, yy 3ln x就 m yx, ynx x, y1，于是原方程为全微分方程x所以原方程的通解为x ydxy1x1

4、y3dyc即y ln x1 y 4c416. 求方程 y y 2xy1 x2 的通解2x 2解: 令yp ，得到 yp 2xp（ * ） ，两端同时关于求导，2整理得2 pxdp1dx0 ，就取 2 px0 ,得dpxx 2p,代入（ * ） 得解 y24取10 ,得 pdxx2y2xc ,代入（ * ）得原方程得通解为cxcx 217. 求方程 y3ye5 x 的通解解对应的齐次方程的特点方程为230 ，特点根为10 ，23故齐次方程的通解为yc13 xc 2e由于5 不是特点根；所以，设非齐次方程的特解为y1 xae5x代入原方程，得25 ae5 x15 ae5 xe5 x即a1 ，103

5、x15 x故原方程的通解为yc1c2ee1018. 求方程 yy2 yexcos x7sinx 的通解2x解：先求解对应的其次方程：yy2 y0 ，就有，1220 ,1 ,22 ; yc exc 2e1由于数i1i不是特点根，故原方程具有形如xy1ea cos xb sin x的特解；将上式代入原方程，由于yexa c o sxb s i nx11yexab cos xba sin x1yex2b cos x2 a sin x故yy2 yex2b cos x2 asin xexab cos xba sin x2exa cos xb sin xex cos x7 sin x或3 ba c o s

6、xb3as i nxc o sx7 s i nx比较上述等式两端的cos x, sinx 的系数，可得a3b1 , 3 ab7因此， a2 , b1 .故 y1ex 2 cos x1sin x所求通解为yex 2 cos x1sin xc exc ex12dy19. 求方程组dx35y 的实基本解组53解：方程组的特点多项式为35，其特点根是531,235i ，那么i属于 1 的特点向量1，11属于 2 的特点向量2；i就方程的基本解组为1 xie 3 5i x3 5i xe 3 5i x3 5i x，其实基本解组为eie11 x10 ；1而1 01i11i11i21i因此所求实基本解组为01

7、x1 x11ie 3 5 i xe 3 5i xi1e3t cos5xe3t sin 5x2e 3 5i xie 3 5ix1ie3t sin 5xe3t cos5x四、应用题（每道题11 分，共 11 分）；20（ 1）求函数f tate的拉普拉斯变换（ 2）求初值问题x3x2x2e3t的解x00, x 00解：（ 1）eate st0eat dte s at dt1es a tsa01 , sa sa, sa（ 2）设x tx s ， x t是已知初值问题的解；对已知方程两端同时使用拉普拉斯变换，可分别得到x3x2xx3x2 xxs s23s2x s s23s2x s s 2e3t1 s2 ;2e3t2s3故有x s2s1 s2s3121使用部分分式法，可得x ss1s2s3由（ 1）可知，et1;e2 ts11;e3t1s2s3故所求的初值解为x tet2e2te3 t；得分评卷老师五、证明题（每道题10 分，共 10 分）；21证明：对任意x0 及满意条件 0y01 的y0 ，方程dyy y1的满意条件y x y 的解yyx 在dx1x2y200, 上存在；证： 由于f x, yy y11x 2y 22 y11x 2y 2 y y1 2yf y x, y1x 2y 2 2在全平面上连续，所以原方程在全平面上满意解的存