不定积分的概念及性质41

1、4 41 不定积分的概念及性质不定积分的概念及性质41 不定积分的概念及性质不定积分的概念及性质一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念二、不定积分的性质二、不定积分的性质三、基本积分表三、基本积分表原函数、原函数存在定理不定积分、积分曲线微分与积分的关系一、原函数一、原函数 定义1 如果在区间i上，可导函数f(x)的导函数为 f(x)，即对任一x i，都有f (x)f(x)或df(x)f(x)dx，那么函数f(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间i上的原函数 例如，sin x 是cos x 的原函数又如当x (1，)时，ln(x12x)12x)112x，所以 ln(x12x

2、)是112x在区间(1，)内的原函数原函数存在定理： 如果函数f(x)在区间i上连续，那么在区间i上存在可导函数f(x)，使对任一 x i 都有f (x)f(x) 简单地说就是：连续函数一定有原函数两点说明： (1)如果f(x)是f(x)的原函数，那么f(x)c 也是f(x)的原函数，其中c是任意常数 (2)如果(x)和f(x)都是f(x)的原函数，则(x)f(x)c (c为某个常数)二、不定积分的概念：二、不定积分的概念： 定义2 在区间i上，函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为 f(x)(或f(x)dx )在区间i上的不定积分，记作 f(x)称为被积函数， f(x)dx称为被积表x 称

3、为积分变量 根据定义，如果f(x)是f(x)的一个原函数，那么f(x)c就是 f(x)的不定积分，即f(x)dx 其中记号称为积分号，达式，f(x)dxf(x)c ln|x|c 例3 设曲线通过点(1，2)，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程 解 设所求的曲线方程为yf(x)，所以曲线方程为yx 2c因所求曲线通过点(1，2)，故21c， c1于是所求曲线方程为yx 21按题设x 2dx31x 3c dxdy2x ，因为2x dx x 2c ， 例 1 x 2dx31 例1 例 2 x1dx 例2 微分与积分的关系： 从不定积分的定义可知：又由于f(x)是f (x)的

4、原函数，所以积分曲线： f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线1012112xy3x2积分曲线： y=x3+cc=0c=1.5c=1c=2dxdf(x)dx f(x)，或 d f(x)dx f(x)dx ；f (x)dxf(x)c ，或记作 d f(x) f(x)c 三、不定积分的性质和基本积分公式三、不定积分的性质和基本积分公式 性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和，即 性质2 求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来，即f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dxkf(x)dxkf(x)dx (k 是常数，k 0)1、不定积分的性质、不定积分的性质k

5、 x c (k是常数)，arctan x c ，arcsin x c ，ln |x|c ，sin x c ，cos x c ， (1) k dx (2) x dx (3) x1dx (4) 211xdx (5) 211xdx (7) sin x dx11x 1c ， (6) cos x dx2、基本积分公式、基本积分公式(10) sec x tan x dxsec x c ，(11) csc x cot x dx csc x c ，(13) a x dx (8) x2cos1dx (9) x2sin1dx dx sec 2x dxtan xc ，dx csc 2x dxcot x c ，sec

6、 x tan x dxsec x c ，csc x cot x dx csc x c ，a x dx aaxlnc ，(12) e x dx ex c ，31xdx x 3dx131x 31c x 31c 221xc dx 25xdx1251125x c c 72x 3x c 3xxdx34 xdx134134x c c 33x c 例 6 x 2xdx 例6 例 5 31xdx 例5 例 7 3xxdx 例7 四、直接积分法四、直接积分法(x2 5 )d x (25x 521x)d x25xdx 521xdx dx 25xdx 521xdx7227x53223xc72x 3x310 xxc

7、dx 223133xxxxdx(x 3 x3 21x)dx x dx 3dx 3x1dx 21xdx21x 23x 3 ln | x | x1 c 例 8 x(x25)dx 例8 例 9 23) 1(xx dx 例9 e xdx 3cos x dx e x 3sin x c 2x ex dx (2e )x dx)2ln()2(eexc )2ln()2(eexc 2ln12xxe cd x )1()(122xxxxd x(211x x1)dx211xdx x1dx arctan x ln | x | c 24111xxdx22211) 1)(1(xxxdx(x2 1 211x)dx x 2dx dx 211xdx31x 3x arctan x c 例 11 2x ex dx 例11 例 12 )1 (122xxxxdx 例12 例 10 (e x 3cos x)dx 例10 例 13 241xxdx 例13 tan 2 x dx (sec 2x1)dxsec 2x dx dx tan x x c 2x dx 21(1cos x)dx(1cos x)dx (1cos x)dx 21dx cos x dx 21(xsin x ) c 2cos2sin122xxdx 22sin1xdx 4csc 2dx