2022年初中数学竞赛辅导资料最大最小值

1、初中数学竞赛专题选讲(初三 .20) 最大 最小值一、内容提要1.求二次函数y=ax2+bx+c(a 0)，的最大、最小值常用两种方法：配方法：原函数可化为y=a(x+ab2)2+abac442. 在实数范围内(x+ab2)20，若 a0 时，当 x=ab2时，y最小值=abac442；若 a0， yabac442，这时取等号，则y 为最小值abac442；若 a0,b0,a+b=k .(k 为定值 ). 那么 ab=a(ka) 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - -= a2+ka=(a

2、21k)2+42k. 当 a=2k时， ab有最大值42k. 证明定理二，用判别式法，也叫构造方程法. 设 a0,b0,ab=k (k 为定值 )，再设y=a+b. 那么 y=a+ak, a2ya+k=0.（这是关于a的二次议程方程） a 为正实数， 0. 即(y)24k 0，y24k0. y 2k(不合题意舍去)；y 2k. y最小值=2k. 解方程组.2kabkba，得 a=b=k. 当 a=b=k时， a+b 有最小值2 k. 3.在几何中，求最大、最小值还有下列定理：定理三：一条边和它的对角都有定值的三角形，其他两边的和有最大值.当这两边相等时，其和的值最大. 定理四： 一条边和这边上

3、的高都有定值的三角形，其他两边的和有最小值.当这两边相等时，其和的值最小. 定理五：周长相等的正多边形，边数较多的面积较大；任何正多边形的面积都小于同周长的圆面积. 二、例题例 1.已知： 3x2+2y2=6x, x 和 y 都是实数，求： x2+y2的最大、最小值. 解：由已知y2=2362xx, y 是实数，y20. 即2362xx0，6x3x20， x22x 0. 解得0 x2. 这是在区间内求最大、最小值，一般用配方法，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - -x2+y2=x2+23

4、62xx=21( x3)2+29在区间 0 x2 中，当 x=2 时， x2+y2有最大值4. 当 x=0 时， x2+y2=0 是最小值. 例 2.已知：一个矩形周长的数值与它面积的数值相等. 求：这个矩形周长、面积的最小值. 解：用构造方程法. 设矩形的长，宽分别为a,b 其周长、面积的数值为k. 那么 2(a+b)=ab=k. 即.21kabkba，a 和 b 是方程x221kx+k=0 的两个实数根 . a,b 都是正实数，0.即(2k)24k0. 解得 k16；或 k0 .k 0不合题意舍去. 当 k16 取等号时， a+b,ab 的值最小，最小值是16. 即这个矩形周长、面积的最小

5、值是16. 例 3.如图 abc 的边 bc=a, 高 ad=h, 要剪下一个矩形 efgh，问 eh 取多少长时，矩形的面积最大？最大面积是多少？解：用构造函数法设 eh=x, s矩形=y, 则 gh=xy. ahg abc ，hxhaxy.y=4)2()(2ahhxhahxhax. 当 x=2h时， y最大值=4ah. 即当 eh=2h时，矩形面积的最大值是4ah. 例 4.如图已知：直线m n，a，b，c 都是定点， ab=a, ac=b, 点 p 在 ac 上， bpahxabcdhegfnxaab精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - -

6、第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - -的延长线交直线m 于 d. 问：点 p在什么位置时，spab+spcd最小？解：设 bac= ，pa=x, 则 pc=bx. mn，papcabcd. cd=xxba)(spab+spcd=21axsin+21xxba)(bx) sin=21asin()222xxbxbx=21asin(2x+)22bxb. 2x xb2=2b2 (定值 )，根据定理二， 2x +xb2有最小值 . 当 2x =xb2， x=b221时，spab+spcd的最小值是(21)absin. 例 5.已知： rtabc 中 , 内切圆 o 的半径r=1. 求：

7、 sabc的最小值 . 解： sabc=21ab ab 2s. 2r=a+bc,c=a+b 2r. a+b2r=22ba. 两边平方，得a2+b2+4r2+2ab4(a+b)r= a2+b2. 4r2+2ab4(a+b)r=0. 用 r=1,ab=2s代入，得 4+4s4(a+b) =0. a+b=s+1. ab=2s且 a+b=s+1.a,b 是方程 x2(s+1)x+2s=0 的两个根 . a,b 是正实数， 0，即 (s+1)24 2s0，s26s+10 . 解得s3+22或 s322.s322不合题意舍去 . abcr=1obca精品学习资料 可选择p d f - - - - - -

8、- - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - -sabc的最小值是3+22. 例 6.已知： .如图 abc 中， ab=26， c=30.求： a+b 的最大值 . 解：设a+b=y , 则 b=ya. 根据余弦定理，得(26)2=a2+(ya)22a(ya)cos30写成关于a 的二次方程：(2+3)a2(2+3)ya+y2(8+43)=0. a 是实数， 0. 即(2+3)2y24(2+3)y2(8+43)0，y2(8+43)2 0 . (8+43)y (8+43). a+b 的最大值是8+43. 又解：根据定理三ab 和 c 都有定值 . 当

9、a=b 时， a+b 的值最大 . 由余弦定理， (26)2=a2b22abcos30可求出a=b=4+23.三、练习1.x1,x2,x3,x4,x5满足 . x1+x2+x3+x4+x5=. x1x2x3x4x5，那么 . x5的最大值是.(1988 年全国初中数学联赛题) 2.若矩形周长是定值20cm,那么当长和宽分别为_，_时，其面积最大，最大面积是 _. 3.面积为 100cm2的矩形周长的最大值是. 4.a,b 均为正数且a+b=ab,那么a+b 的最小值是_. 5.若 x0,则 x+x9的最小值是 _. cab30abccdabcab30abc精品学习资料 可选择p d f - -

10、 - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - -6 如图直线上有a、b、c、d 四个点 .那么到 a，b，c，d 距离之和为最小值的点，位于，其和的最小值等于定线段.(1987 年全国初中数学联赛题) 7.如右图 abc 中， ab=2 ，ac=3 ，是以 ab ，bc， ca 为边的正方形，则阴影部份的面积的和的最大值是. (1988 年全国初中数学联赛题) 8.下列四个数中最大的是( ) （a）tan48+cot48.(b)sin48+cos48 .(c) tan48+cos48 . (d)cot48+sin48. (1988 年

11、全国初中数学联赛题) 9.已知抛物线y=x2+2x+8 与横轴交于b，c 两点，点 d 平分 bc，若在横轴上侧的点a为抛物线上的动点，且bac 为锐角，则ad 的取值范围是 _ (1986 年全国初中数学联赛题)10.如图 abc 中， c=rt， ca=cb=1 ，点 p 在 ab 上，pqbc 于 q.问当 p在 ab 上什么位置时，sapq最大？11.abc 中， ab=ac=a ，以 bc 为边向外作等边三角形 bdc ，问当 bac 取什么度数时ad 最长？12.已知 x2+2y2=1, x,y 都是实数，求2x+5y2的最大值、最小值. 13. abc 中 b=60，ac=1 ，

12、求 ba+bc 的最大值及这时三角形的形状. 14.直角三角形的面积有定值k,求它的内切圆半径的最大值. 15.d，e，f 分别在 abc 的边 bc、 ac、ab 上，若 bd dc=ce ea=af fa =k(1k) (0k1). 问 k 取何值时， sdef的值最小？16.abc 中，bc=2 ，高 ad=1 ，点 p，e，f 分别在边bc，ac ，ab 上，且四边形 peaf是平行四边形.问点 p在 bc 的什么位置时，speaf的值最大？练习题参考答案1. 5.2. 5， 5 25.3. 40cm 4. 4 5. 6 6.bc 上， bc+ad. 7. 最大值是9， s=2132s

13、inbac,bac=90 度时值最大 . 8.(a). 9. 3ad 9 abcabcpq精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - -10. p 在 ab 中点时， s最大值=81，s=222xxx 与2x 的和有定值，当 x=2x 时， s值最大 . 11.当 bac=120 度时， ad 最大，在 abd 中，设 bad= 由正弦定理asinain230)30180(sad，当 150 =90 时，ad 最大 . 12.当 x=52时，有最大值1029；当 x=1 时，有最小值2 (仿例 3). 13