2022年函数定义域与值域经典类型总结-练习题-含答案

1、精品资料欢迎下载<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳一、基础学问整合1. 函数的定义： 设集合 a 和 b 是非空数集， 依据某一确定的对应关系f，使得集合 a 中任意一个数 x,在集合 b 中都有唯独确定的数fx 与之对应；就称 f:为 a 到 b 的一个函数；2. 由定义可知：确定一个函数的主要因素是确定的对应关系（f ） , 集合 a的取值范畴； 由这两个条件就打算了fx的取值范畴 y|y=fx,x a ；3. 定义域：由于定义域是打算函数的重要因素，所以必需明白定义域指的是：（ 1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域；（ 2）数学表示：留意肯定是用集合表示的范畴才能是

2、定义域，特别的一个个的数时用 “列举法”；一般表示范畴时用集合的 “描述法” 或“区间” 来表示；4. 值域：是由定义域和对应关系（f ）共同作用的结果，是个被动变量， 所以求值域时肯定留意求的是定义域范畴内的函数值的范畴；（ 1）明白值域是在定义域a 内求出函数值构成的集合：y|y=fx,x a；（ 2）明白定义中集合b 是包括值域，但是值域不肯定为集合b；二、求函数定义域（一）求函数定义域的情形和方法总结1 已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的全部式子有意义；（1）常见情形简总：表达式中显现分式时：分母肯定满意不为0；表达式中显现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，

3、根号下满意大于或等于0（非负数） ；表达式中显现指数时：当指数为 0 时，底数肯定不能为0.根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于 0.表达式中显现指数函数形式时：底数和指数都含有x ，必需满意指数底数大于 0 且不等于 1. （ 0<底数 <1; 底数>1）表达式中显现对数函数形式时：自变量只显现在真数上时，只需满意真数上全部式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时显现在底数和真 数 上 时 ， 要 同 时 满 足 真 数 大 于 0 ， 底 数 要 大 于 0且 不 等 于 1.x（ f xlog x21 ）注：（ 1）显现任何情形都是要留意，让全部的式子

4、同时有意义，及最终求的是全部式子解集的 交集；（ 2）求定义域时， 尽量不要对函数解析式进行变形，以免发生变化； 形如： f x x2x练习1、求以下函数的定义域：x22 x15 yx331、（ 1） x | x5或x3或x6 y1 x1 2x1（ 2） x | x0 y12 x11104x2x1（3） x |2x2且x0, x1, x122. 抽象函数（没有解析式的函数）解题的方法精髓是“换元法” ，依据换元的思想，我们进行将括号为整体的换元思路解题，所以关键在于求括号整体的取值范畴；总结为：（1） 给出了定义域就是给出了所给式子中x 的取值范畴；（2） 在同一个题中 x 不是同一个 x；（

5、3） 只要对应关系 f 不变，括号的取值范畴不变；（4） 求抽象函数的定义域个关键在于求fx的取值范畴，及括号的取值范畴；例 1： 已知 fx+1的定义域为 -1,1，求 f （ 2x-1 ）的定义域；解： fx+1的定义域为 -1,1；（及其中 x 的取值范畴是 -1,1） 0x12 ；（ x+1 的取值范畴就是括号的取值范畴） fx的定义域为 0,2；（ f 不变，括号的取值范畴不变） f2x-1中02x121x322 f2x-1的定义域为x |1x322练习2、设函数f x的定义域为 0，1，就函数2f x 的定义域为 _、1,1； ；函数 f x2 的定义域为 4,9；3 、如函数f

6、x1 的定义域为2，3，就函数f 2 x1) 的定义域是50,;2,11,32； 函数；f 1x2) 的定义 域为3. 复合函数定义域复合函数形如：yf g x , 懂得复合函数就是可以看作由几个我们熟悉的函数组成的函数，或是可以看作几个函数组成一个新的函数形式；例 2：如函数f x的定义域为 2,3,gxf x1f x2,求gx 的定义域；分析：由题目可以看出gx 是由 y=x+1 、y=x-2 和 y=fx三个函数复合起来的新函数；此时做加运算，所以只要求出fx+1和 fx-2的定义域，再依据求函数定义域要全部式子同时满意，即只要求出fx+1和 fx-2的定义域的交集即可；解： 由 fx的

7、定义域为（ -2,3 ），就fx+1的定义域为（ -3,2 ）， fx-2的定义域为（ 0,4 ）；3x20x4，解得 0<x<2所以， gx 的定义域为（ 0,2 ） .（一）求函数值域方法和情形总结1. 直接观看法（利用函数图象）一般用于给出图象或是常见的函数的情形，依据图象来看出 y 值的取值范畴；练习（1）yx22 x3x1,2求值域；y0,52. 配方法适用于二次函数型或是可以化解成二次函数型的函数，此时留意对称轴的位置，在定义域范畴内（以a<0 为例），此时对称轴的地方为最大值，定义域为内端点离对称轴最远的端点处有最小值；对称轴在定义域的两边就依据单调性来求值域；

8、总结为三个要点：（ 1）含参数的二次型函数，第一判定是否为二次型， 即争论 a；（2）a 不为 0 时，争论开口方向； （3）留意区间，即争论对称轴；例 1：求f xx24x6在1,5上的值域 .解：配方：f xx2 22fx的对称轴为 x=2 在1,5中间yminf 22（端点 5 离 x=2 距离较远，此时为最大值）ymaxf 511所以， fx的值域为 2,11.练习（2）yx22 x3xr求值域； y | y43. 分式型（1）分别常量法： 应用于分式型的函数，并且是自变量x 的次数为 1，或是可以看作整体为1 的函数； 详细操作： 先将分母搬到分子的位子上去，观察与原分子的区分，不够

9、什么就给什么，化为yad；bxc例 2： 求f x5 x1 的值域 . 4 x25 4x2110解： f x5x144574x24x2424x2由于分母不行能为0，就意思就是函数值不行能取到5 ，4即：函数 fx的值域为 y | y5 .4练习 y3x1 x1求值域（3） y | y3（ 2 ）利用x20 来求函数值域： 适用于函数表达式为分式形式，并且只显现 x2 形式，此时由于为平方形式大多时候x 可以取到任意实数，明显用分别常量法是行不通，只有另想它法（有界变量法）；例 3：求函数f x3x2x21的值域 .2解： 由于x22 不等于 0，可将原式化为yx22 y3 x21即 y3) x

10、212 y （由于x20 ）只需 y3 , 就有x212 y0 y3 12 y0y3所以，函数值域 y1 ,3.2练习（4） y5 x29x42求值域x1 y | y5且y1 2（ 3）方程根的判别式法： 适用于分式形式， 其中既显现变量 x 又显现 x 2混合，此时不能化为分别常量，也不能利用上述方法；对于其中定义域为r的情形，可以使用根的判别式法；例 4： 求函数 y2xx21的值域解：由于函数的定义域为r，即x210原式可化为yx22 xy0（由于 x 可以取到任意的实数，那么也就说总有一个x 会使得上述方程有实数根，即方程有根那么判别式大于或等于0，注：这里只考虑有无根，并不考虑根为多

11、少）所以，44 y20所以，函数值域为y1,1练习： 求值域（ 5） y11x24. 换元法通过换元将一个复杂的问题简洁化更便于求函数值域，一般函数特点是函数解析式中含有根号形式， 以及可将问题转换为我们熟识的函数形式等问题；而换元法其主要是让我们明白一种动态的方法来学习的一种思路，留意换元思维的培育，并不是专一的去解答某类问题，应当多加平常练习；注：换元的时候应准时确定换元后的元的取值范畴；例 5：求函数f x2 xx1 的值域解：令 tx1, t0, 就xt 21，带入原函数解析式中得y2t 21) t2t 2t22t1 21548由于， t0所以，函数的值域为y15 ,.8练习：求值域（

12、6） yx12x y | y1 2一挑选题（共 10 小题）1（ 2007.河东区一模）如函数f（ x） =的定义域为 a ，函数 g（x ）=的定义域为 b，就使 a b= . 的实数 a的取值范畴是（）a （ 1，3）b 1， 3c（ 2， 4）d 2， 42如函数 f（ x）的定义域是 1，1 ，就函数 f（ x+1）的定义域是（）a 1， 1b 0， 2c 2， 0d 0，13（ 2021.重庆）函数的值域是（）a 0， +）b 0， 4c0， 4）d（ 0， 4）4（ 2021.河东区二模）函数的值域是（）a （ 0， +）b c（ 0， 2）d（ 0，）5. 已知函数 y=x2+4x+5 ， x 3，3）时的值域为（）a （ 2， 26）b 1， 26）c（ 1， 26）d（ 1， 266. 函数 y=在区间 3 ， 4上的值域是（）a 1， 2b 3， 4c2， 3d 1，627函数 f（ x）=2+3x x3在区间 2，2 上的值域为（）a 2， 22b 6， 22c0， 20d 6，248函数的值域是（）a y|yr 且 y1 b y| 4y1c y