导数的综合应用个性化辅导讲义(共6页)

1、 个性化辅导讲义课 题导数的综合应用教学目标1、 能利用导数研究函数的单调性2、 会用导数求函数的极大值、极小值，以及函数的最大值和最小值3、 会用导数解决某些实际问题重点、难点重点：导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的单调性等难点：1、应用问题（初等方法往往技巧性要求比较高，而导数方法显得简便）等关于次多项式的导数问题属于较难类型 2、解决将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机的结合在一起，设计的综合问题，是本节的难点考点及考试要求考点：1、导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的单调性等2、1

2、、应用问题（初等方法往往技巧性要求比较高，而导数方法显得简便）等关于次多项式的导数问题属于较难类型3、 解决将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机的结合在一起，设计的综合问题（1） 函数、导数、方程、不等式综合在一起解决单调性、参数范围等问题（2） 函数、导数、方程、不等式综合在一起，解决极值、最值等问题（3） 利用导数的几何意义求切线方程，解决与切线有关的问题（4） 通过构造函数，以导数为工具证明不等式（5） 导数与解析几何或函数图像的混合问题是一种重要类型，也是高考中考查综合能力的一个方向，应引起注意。考试要求：1、 了解函数单调性和导数的

3、关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间2、 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间桑函数的最大值、最小值3、 会用导数解决某些实际问题教学内容知识框架一、函数的单调性与导数在区间(a，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：如果，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减；如果，那么f(x)在这个区间内为常数二、函数的极值与导数1函数的极小值：函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在xa附近其他点的函数值都小， f(a)0，而且在点xa附近的左侧，右侧，则点a叫做函数yf(x)的极

4、小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值2函数的极大值：函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近的其他点的函数值都大， f(b)0，而且在点xb附近的左侧，右侧，则点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值三、函数的最值1如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值和最小值2求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤(1)求函数yf(x)在(a，b)内的(2)将函数yf(x)的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值考点一：函数的单调性与导数典型例题

5、已知aR，函数f(x)(x2ax)ex(xR，e为自然对数的底数)(1)当a2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(1,1)上单调递增，求a的取值范围；(3)函数f(x)是否为R上的单调函数，若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由知识概括、方法总结与易错点分析1、利用导数判断函数单调性是导数重要应用之一常见形式为：(1)求函数单调区间；(2)已知函数的单调区间，求有关参数的取值范围(3)利用导数与函数单调性的关系解决有关函数与导函数图象问题2、利用导数研究函数的单调性一般步骤：（1）确定函数的的定义域（2）求导数（3）在函数的定义域内解不等式，其解集对应的区间都是增区间

6、，补集对应的区间都是间区间针对性练习1、 设函数f(x)x(ex1)x2，则函数f(x)的单调增区间为_2、 讨论函数的单调性考点二：根据函数的单调性确定参数的取值范围典型例题已知函数（1） 若函数在上单调递增，求实数的取值范围（2） 是否存在实数，使在上单调递增？若存在，求出；若不存在，说明理由知识概括、方法总结与易错点分析解决这类问题的思路：若可导函数在上单调递增，则恒成立若可导函数在上单调递减，则恒成立然后利用恒成立问题解决针对性练习：设函数（1） 若，求的单调区间（2） 若当时，求的取值范围考点三：函数的极值与导数设a>0，函数f(x)，b为常数(1)证明：函数f(x)的极大值点

7、和极小值点各有一个；(2)若函数f(x)的极大值为1，极小值为1，试求a值知识概括、方法总结与易错点分析求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)求导数f(x)；(2)求方程f(x)0的根；(3)检验f(x)在方程f(x)0的根的左右两侧的符号：如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数yf(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数yf(x)在这个根处取得极小值针对性练习：若函数f(x)在x1处取极值，则a_.考点四：函数的最值与导数已知a是实数，函数f(x)x2(xa)(1)若f(1)3，求a的值及曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)求f(x)

8、在区间0,2上的最大值知识概括、方法总结与易错点分析1函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须是整个区间上所有函数值中的最小值2函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值针对性练习：已知a为实数，函数f(x)(x21)(xa)若f(1)0，求函数yf(x)在，1上的最大值和最小值考点五：导数的综合应用设a0，f(x)x1l

9、n2x2alnx(x>0)(1)令F(x)xf(x)，讨论F(x)在(0，)内的单调性并求极值；(2)求证：当x>1时，恒有x>ln2x2alnx1.知识概括、方法总结与易错点分析 欲证不等式f(x)>g(x)，设F(x)f(x)g(x)，即证F(x)min>0，而欲证方程f(x)0有多少个解，即求f(x)的极值，结合图象，通过极值的正负决定解的个数，注意：函数图象要连续 综合应用是指结合方程、不等式其他分支内容的综合考查，此类问题一般综合性强，涉及面广，较繁杂，难度一般也较大，主要体现形式为解答题，内容形式多为构造函数、利用导数研究方程根的分布，两曲线交点个数，

10、利用导数证明不等式，解决有关不等式问题，求不等式有解或恒成立时参数的取值针对性练习：1、已知f(x)x2alnx(aR)，(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：当x>1时，x2lnx<x3.2、已知函数f(x)(x1)lnxx1.(1)若xf(x)x2ax1.求a的取值范围；(2)证明：(x1)f(x)0.3设函数f(x)ex1xax2.(1)若a0，求f(x)的单调区间；(2)若当x0时，f(x)0，求a的取值范围巩固作业一、选择题1f(x)5x22x的单调增区间是()A(，)B(，)C(，) D(，)2函数f(x)x33x24xa的极值点的个数是()A2 B1C0 D由a

11、确定3已知函数f(x)的导数为f(x)4x34x，且f(x)的图象过点(0，5)，当函数f(x)取得极大值5时，x的值应为()A1 B0C1 D±14若函数g(x)x3ax21在区间1,2上单调递减，则实数a的取值范围是()Aa3 Ba>3C.<a<3 D.a35设函数f(x)ax3bx2cxd，f(x)为其导函数，如右图是函数yx·f(x)的图象的一部分，则f(x)的极大值与极小值分别为()Af(1)与f(1)Bf(1)与f(1)Cf(2)与f(2)Df(2)与f(2)6(2011·郑州第一次调研)设f(x)是定义在R上的奇函数，g(x)是定义

12、在R上恒大于零的函数，且当x>0时，有f(x)g(x)<f(x)g(x)，若f(1)0，则不等式f(x)>0的解集是()A(，1)(1，) B(1,0)(0,1)C(，1)(0,1) D(1,0)(1，)二、填空题7函数f(x)x的单调减区间是_8某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x(吨)与每吨产品的价格P(元)之间的关系式为P24200x2，且生产x吨的成本为50000200x元，则当利润达到最大时该厂每月生产_吨产品9若函数f(x)x33a2x1的图象与直线y3只有一个公共点，则实数a的取值范围是_三、解答题10(2010·抚顺二模)已知函数f(x)ln(x2a)(aR)(1)求在函数f(x)图象上点A(t，ln(t2a)处的切线l的方程；(2)记切线l在y轴上的截距为g(t)，讨论g(t)的单调递增区间11(2011·山