第36工程信号及其可测性分析

1、g(/)l(a)(h)图3j4脉冲函数的定义与表示3-6典型激励信号描述激励信号在测试信号的分析中起着重要的作用。工程测试中常通过施加激励 信号来求取系统的冲激响应或阶跃响应等，以获得系统的动态特性参数或标定传 感器的灵皱度等。本节介绍几种工程测试小常用的典型激励信号及其频谱结构。3.6.1冲激函数及其谱分析1.冲激函数冲激函数有儿种不同的定义式。(1) 图3-14 (a)所示的矩形脉冲g(f),宽为 t ,高为1/其面积为1。保持脉冲面积不变，逐 渐减小厂，则脉冲幅度逐渐增大，当tto时，矩 形脉冲的极限称为单位冲激函数，记为5,即/ 函数，表达式为(3-53)/=lim£(r +

2、 彳)一 £(/ 一 |)图形表示如图314 (b)所示。力表示只在心0点有“冲激”；在(=0点以外各处，函数值均为0,其 冲激强度(脉冲面积)是lo 一个强度为e倍单位值的/函数用來表示。图形表示时在箭头旁需注上e。如图314 (b)所示。(2) 狄拉克(diract)定义狄拉克给出的冲激函数定义为£830s (/) d/ = l(3-54)8(t) = 0,这一定义与上述脉冲的定义是一致的，因此，也把5函数称为狄拉克函数。 对于在任意点/ = 处出现的冲激，可表示为(3-55)8 t -r0) at = 12.冲激函数的性质(1)积分筛选特性当单位冲激函数与一个在/ =

3、 0处连续且有界的信号兀相乘时，其积的 积分只有在(=0处得到x(0),其余各点之乘积及积分均为零，从而有(3-56)(3-57)s(t)x(t)dt =<y(/)x(o)d/ = x(0) t 8(t)at = x(0)丄 00j-00丄 8类似地，对于fi-oc什 o)什 cos(t-txt)at= r d>(r-r0)x(r0)dr = x(r0) r s(t-tq)dt = x(tq)j-00j-coj-co式(356和式(357)表明，当连续时间函数兀与单位冲激信号5(/)或者s(t -r0)相乘，并在(-8, 8)时间内积分,可得到x。)在/ = 0点的函数值x(0)或

4、者f = 4点、 的函数值x(t0),即筛选出x(0)或者x(r0) o(2) 冲激函数是偶函数即8(t) = j(-/)(3-58)£"5(-r)x(/)d/ = £'8(t)x(-t)d(-t)= £'5(t)x(0)dt = x(0)(3-59)这里用到了变量置换r = -/o将上面得到的结果与式(356)对照，从而证明了冲 激函数是偶函数的性质。(3) 乘积(抽样)特性若函数x(/)在7 = /。处连续，则有 x(r)<j(/-r0) = x(/0 w-/o)(3-60)(4) 卷积特性两个信号斗与勺卷积的定义：即定义x (

5、r)x2 (r - r)d r为信号旺 j-00与兀20)的卷积，记作x(f)*x2«),写成i(/)*x2(r)= t xj(r)x2 (t - r)dr(3-61)(3-62)卷积公式的积分结果仍是时间t的函数，而任何连续信号x(/)和(/)的卷积是 一种最简单的卷积积分，结果就是该连续信号%(/),即兀(f) */(/)= £ x(r)8(t - r)dr = x(r)同理，对于吋延单位脉冲5(7土心)，有(4-00x(/)* j(r±/()=x(r)8t ± r() - r)dr = x(t ± tq) (3-63)j-00连续信号与函

6、数卷积结果的图形如图3-15所示。由图可见，信号x(f) 和5(f±z°)函数卷积的几何意义，就是使信号双/)延迟±5脉冲时间。(1)d(t(1)6(什ib)(1)0a9 za)0/t0 /-£0上t£ 0rt2 2 2 2图3-15连续信号与冲激函数的卷积3/信号的频谱由傅里叶变换的定义及5(f)的积分筛选特性可得单位冲激函数(5(f)的傅里 叶变换x(a)=f6(t)= f j(r)e_j6*dr= pj(r)e°dr = l (3-64)丄00j-oc由上式可见，单位脉冲信号的频谱为常数，说明信号包 含了 (一00,+00)所有

7、频率成分，且任一频率的频谱密度函数 相等，如图316所示，故称这种频谱为“均匀频谱”， 又称“白色谱” o同时由傅里叶逆变换定义,可得0 方图3 16单位脉冲信号频谱a丨6(co)q°)! aco =82兀卜00j3(co)aco =82兀(3-65)上式表明直流信号的傅里叶变换是冲激函数。即f 丄=/(0),f1 = 2ti/(0)2兀(3-66)3.6.2单位阶跃信号及其谱分析阶跃信号"可表示w(z)=or>0/<0(3-67)阶跃信号在跳变点t=0处,函数值未定义，或在t=0处规定(0)=£。幅值a=1的阶跃信号称为单位阶跃信号，如图317所示，

8、可表示为"(/) h/>0/<0(3-68)-qr图j17单位阶跃信号利用单位阶跃信号可方便地表达各种单边信号，如单边 正弦信号为w(/)sin/、单边指数衰减振荡信号 叩)尿讪血2兀如等。此外，它还能表示单边矩形脉冲信号g(t) = u(t)-u(t-t)式屮t为矩形脉冲持续吋间。由于单位阶跃信号不满足绝对可积条件，不能直接由定义式给出其频谱，可 把它看成当a->0时的指数信号e-刃在时域上的极限，其频谱为e"的频谱在 ato时的极限。可求得阶跃信号的频谱为x(co) =(co)=兀(e) + 丄(3-72)频谱图如图3-19所示。由于阶跃信号中含有直流分量，所以阶跃信号的频谱在血=0处存在冲激，而且它在戶0处有跳变，从而频谱中还有高频分量。3.6.3单位斜坡信号及其频谱1.斜坡信号斜坡信号也称为斜变信号或斜升信号，指从某一吋刻开始随吋间成正比例增长的信号。如果增长的变化率为1,也称单位斜坡信号。其波形如图3-20所示, 表达式为0 /<0也可表示成r(t) = t -(3-73 )2