7空间向量的夹角和距离公式

1、1 12 23 3222222123123cos,| | | | ab ababa bababaaabbbxyzabo/ab一、向量的直角坐标运算一、向量的直角坐标运算123123(,),( ,)aa a abb b b设则_;ab_;ab_;a;a b;ab112233(,)ab ab ab112233(,)ab ab ab123(,),()aaar1 12233a ba ba b112233,()ab ab abr1 122330a ba ba b二、距离与夹角二、距离与夹角1. 1.距离公式距离公式123123(,),( ,)aa aabb b b设则2222123| aa aaaa22

2、22123| bb bbbb（1 1）向量的长度（模）公式）向量的长度（模）公式注意：注意：此公式的几何意义是表示长此公式的几何意义是表示长 方体的对角线的长度。方体的对角线的长度。cd1adb1a1c1ba1a2a3a（2）空间两点间的距离公式）空间两点间的距离公式在如图的空间直角坐标系在如图的空间直角坐标系212121(,)xxyyzz_abxzyoikjab111222( ,), (,).a x y zb xyz222212121()()()xxyyzz| abab abcos,1 a bab与 cos,0 a babcos,| | a ba bab1 1223 322222212312

3、3;a ba ba baaabbb2.2.两个向量夹角公式两个向量夹角公式思考：当思考：当 及及 时，时， 的夹角在什么范围内？的夹角在什么范围内？0 cos,1 a b1 cos,0 a b, a b123123(,),( ,)aa a abb b b设则 （1）当）当 时，时， 同向；同向； （2）当）当 时，时， 反向；反向； （3）当）当 时，。时，。注注意意cos,1 a bab与 练习一：练习一：1.1.求下列两个向量的夹角的余弦：求下列两个向量的夹角的余弦：(1)( 1,1,1),( 1,0,1) ; abcos,| | a ba bab22|( 1)( 1)13, a2|( 1

4、)0 1. 2 b解解: :( 1)( 1)( 1)01 12 a b26.33 2(2)(2, 3, 3),(1,0,0) ;abcos,_ a b12练习一：练习一：(1)( 3,1,5),(0,2,3) .cd解解: :| cdcd cd222(03)( 21)(35) 22.2.2.求下列两点间的距离：求下列两点间的距离：(2)(1,1,0), (1,1,1) .ab| _ab1三、应用举例三、应用举例例例1已知已知a(3，3，1)、b（1，0，5），求：），求：（1）线段）线段ab的中点坐标和长度；的中点坐标和长度；解：解：1()2 omoaoboabm设设m（x, y, z)为线段

5、为线段ab的中点，的中点，分析：关键是怎样将点分析：关键是怎样将点转化成向量！转化成向量！ a b、 到两点距离相等的点的坐标到两点距离相等的点的坐标满足的条件是满足的条件是(, )xy z46870 xyz例例1已知已知a(3，3，1)、b（1，0，5），求：），求：（2）到）到a、b两点距离相等的点两点距离相等的点p（x，y，z)的坐的坐标标 x，y，z满足的条件。满足的条件。分析：到两点距离相等直接做分析：到两点距离相等直接做练习练习p42 已知已知a(1,-2,11),b(4,2,3),c(6,-1,4),求证求证是直角三角形是直角三角形.例例2如图，在正方体中，如图，在正方体中， ，

6、求与所成的角的余弦值。，求与所成的角的余弦值。1111abcd abcd11b e11114abd f1be1df设正方体的棱长为设正方体的棱长为1，建立如图空间直角坐标，建立如图空间直角坐标系，得系，得oxyz111111151516cos,.17| |171744 be dfbedfbedf解：解：xyzcb1a1d1c1bdae 1 of 1 (1,1,0) ,b11(0,0,0) ,0, 1 .4，df131,1 ,4e练习练习p421111,abcdabc dmab在正方体中是1,.bcm的中点 求对角线d 与所成角的余弦值xyzocb1a1d1c1bdam解：解：1,设正方体的棱长

7、为 建立如图,oxyz的空间直角坐标系得1(0,0,0),(0,1,0),(1,0).2dcm1(1,1,1),b11(1,1,1),(1,0).2dbcm 15|3,|.2obcm 11.2db cm 111115cos,.15| be dbdbmcdbmc例例5 求证求证:如果两条直线同垂直于一个平面如果两条直线同垂直于一个平面,则则这两条直线平行这两条直线平行./.oabdoboabd已知：直线平面 ，直线平面 ，、 为垂足。求证：dbaoxyz分析分析:怎样建系？怎样建系？ikj 如果表示向量如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于的有向线段所在直线垂直于平面平面 ,则称这个向量垂直于平

8、面则称这个向量垂直于平面 ,记作记作 aa.a,.aa如果那么向量 叫做平面 的法向量,.alal如果那么向量 叫做直线 的法向量aal练习练习p42解解:1111,abcdabc dm n在正方体中分别是1,.11aa , b b的中点 求直线c m 与d n 所成角的正弦值xyzocb1a1d1c1bdamn1,设正方体的棱长为 建立如图,oxyz的空间直角坐标系得11(0,0,1),(0,1,0),(1,0,).2dcm1(1,1,),2n111(1,1,),(1, 1, ).22d ncm 133|,|.22d ncm 11.4db cm 11111cos,.9| be dbdbmcd

9、bmc14 5sin,.9 dbmc异面直线距离：异面直线距离：已知两条异面直线所成的角为，在直线已知两条异面直线所成的角为，在直线a，b上分别取，已知上分别取，已知长长d ,a em afn eflaa，求求公公垂垂段段的的四、课堂小结：四、课堂小结：1.基本知识：基本知识：（1）向量的长度公式与两点间的距离公式；）向量的长度公式与两点间的距离公式；（2）两个向量的夹角公式。）两个向量的夹角公式。 用向量计算或证明几何问题时，可以先建用向量计算或证明几何问题时，可以先建立空间直角坐标系，然后把向量、立空间直角坐标系，然后把向量、点坐标化，点坐标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或证明。借

10、助向量的直角坐标运算法则进行计算或证明。2.思想方法：思想方法：xyzo补充作业：补充作业：11111,abcdabc de f1.若正方体的边长为分别是(1),(2).faaef 111cc ,d a的中点.求fe点 到直线的距离cb1a1d1c1bdaef解解:,oxyz建立如图的空间直角坐标系得11(1,0,0),(1,1,),(,0,1).22aef111( ,0, 1),( ,1,).222fafe 56|,|.22fafe 3.4fe fa 30cos,.10 fe fa30,arccos.10 fe faxyzo补充作业：补充作业：11111,abcdabc de f1.若正方体

11、的边长为分别是(1),(2).faaef 111cc ,d a的中点.求fe点 到直线的距离cb1a1d1c1bdaef解解:56(1)|,|.22fafe 由知30cos,.10 fe fa30sin,.10 fe fam,.aeamfe连结作11| |sin,|22aefsfafefa feamfe 5306|.2104am 6.4aef故点 到直线的距离为xyzo补充作业：补充作业：11111,abcdabc de f1.若正方体的边长为分别是(1),(2).faaef 111cc ,d a的中点.求fe点 到直线的距离cb1a1d1c1bdaef思路二思路二:m,aeamfe连结作|sin,aefaf fe 点 到 直 线 的 距 离 公 式 d= af在直角三角形 afm中|sin,|amaf fefa | | sin,amfaaf fe a,0,0)