杨浦五角场恒高一对一第一讲集合的概念与运算

1、高一数学第一讲集合的概念与运算【知识概要】 知识点1 集合八橐些指定筒对象集在一起就成为一个集合。集合中每个对象叫做这个集合的元素.点评：(1)集合是数学中不加定义的基本概念.构成集合的元素除了常见的数、式、 点等数学对象之外，还可以是其他任何对象.(2) 集合里元素的特性确定性：集合的元素，必须是确定的.任何一个对象都能明确判断出它是或者不是某 个集合的元素.异性集合中任意两个元素都是不相同的，也就是同一个元素在集合中不能重复出 现.无序性：集合与组成它的元素顺序无关.如集合a, b, c与c,a,b是同一集合.(3) 元素与集合的关系如果a是集合a的元素，就说a属于集合a,记作awa；如果

2、a不是集合a的元素， 就说a不属于集合a,记作aa (或aa).(4) 集合的分类集合的种类通常可分为有限集、无限集、空集(用记号(p表示).有限集：含有有限个元素的集合.(单元素集：只有一个元素的集合叫做单元素集。) 无限集：含有无限个元素的集合.空集：不含任何元素的集合记作6 如：xg /?|x2+1=o(5) 集合的表示方法列举法：把集合中的元一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。描述法：把集合中的元的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法，格式：xea| p (x) (或x i p (x) 含义：在集合a中满足条件p (x)的x的 集合.注意两点：集合中的元具有性质0;具有性

3、质。的元都在集合中。图示法：文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。(还有其他的表示 方法，如数轴表示法：用数轴里的点或范围来表示一个集合的方法；及坐标平面表示法： 用坐标平面里的点或图形来表示一个集合的方法等).为了书写和应用的方便，规定常见的数集用特定的字母表示，即非负整数集(也称自 然数集)记作no正整数集记作n* (或n+)o整数集记作z。有理数集记作qo实数集记 作r。点评：(1)注意抓住集合中元素的3个性质，对互异性要注意检验；(2)集合的表示方法中描述法是重、难点，要注意几种常见的集合：a = x|x24-2x-3 = 0;3 = )'丨=兀？ +2x +1;

4、 c = (x, y) | y = 4- 2x4-1 ； e = 兀？ +2兀一3>0等。 知识点2集合与集合之间的关系 子集对于两个集合a与b,如果集合a的任何一个元素都是集合b的元素，那么集合a叫 做集合b的子集，记作aqb (或boa).点评:(1)子集的定义也是证明子集的唯一的方法，即任给兀g a=>兀w b,则acbo(2) 子集的性质：任何一个集合是它本身的子集，即aca；空集是任何集合的子集， 即 0 u a ；若acb, buc,则acc；(3) 若有限集a有n个元素，则a的子集有2”个，真子集有2-1,非空子集有2n- 个，非空真子集有22个.真子集如果a是b的子

5、集，并且b中至少有一个元素不属于a,那么集合a叫做集合b的 真子集，记作a0b点评：真子集的性质：空集是任何非空集合的真子集，即若a#(p,则<p0 a ；若 4 刎 b,b c,则 a0c o集合的相等一般地，对于两个集合a与b,如果集合a的任何一个元素都是集合b的元素，同时 集合b的任何一个元素都是集合a的元素，即如果ab,同时ba,我们就说集合a 等于集合b,记作a二b知识点3集合的运算交集由所有属于集合a且属于集合b的元素所组成的集合，叫做a与b的交集，记作anb. 即 a n b = x | x g ahx g b。点评：(4)集合运算的性质：交换律：aclb=bna；结合(a

6、nb)nc=an但cic)；(2) ac<d = <d；= a; aqbc,(3) auboarb二a。(重要的常用结论，要切实掌握) 并集由所有属于集合a或属于集合b的元素所组成的集合，叫做a与b的并集，记作aub, 即 aub = x|xg a或xw flo点评：(4)集合运算的性质：交换律：aub=bua；结合律：(aub) uc=au(buc)； 分配律：au但nc)=(aub)n(auc)； an(buc)=(acib)u(aoc).(2) =a, akj a = a o(3) aabc ac aubmabcbcub(4) a©boaub = b。(重要的常用结

7、论，要切实掌握) 补集已知全集i,集合al,由i中所有不属于a的元素组成的集合，叫做集合a在集合i 中的补集,记作cfa = xxe /jslxg a o点评：(1)集合运算的性质：cu(cua) = ai accua = ajcua = u. 补充的有关结论：(1)对偶原理：cuancubugxaub), qaucf;b = q7(anb)o(2) 有限集合ajb中元素个数的计算公式： card(a u b)二 card(a) + card(b) - carda a b) 【基础题典例解析】例1 (集合的表示)用列举法表示下列集合(2) x e z, xe z2-x(4) y y = -x2

8、 + 6 , xe n, ye n9(1) xgn|-wn;9-x(3) 丄g n|xg n2-x(5) (x,y) | y = -x2 + 6 , xe n, ye n(6) xx = 9 ae z, a<2 9 be bn ,且bw3例2 （集合的概念）设含有三个实数的集合可表示为a, a+d, a+2d,也可表示为a, aq, aq2,其中a、d、 q£r,求常数q例3 (元与集合的关系)若 a=2, 4, a3-2a2-a+7, b=1,a+1, a2-2a+2,-|(a2-3a-8), a3+a2+3a+7,且 a0b=2, 5,试求实数a的值.例4 （子集的概念与计

9、算）（1）求1,2cac1,2, 3, 4, 5的所有集合 a。（2）已知acb,且acc,b=0,1,2,3,4,c=0,2,4,8,则满足上述条件的集合a共有多 少个？例5 (集合的基本运算)(1) 设集合 a = (x,y)y = x2 +1, xg r, ye r,集合b =刃 y = 5-x2 9 xe r,>gr,求 aflb。(2) 设集合 c = y|y =兀2 +1,无 wr, y w r,集合 £> = y | y = 5 兀？, xg r, ye r, 求 cri£>。例6 (集合与集合的关系)集合 a=x|x2ax+a219=0,b

10、=x| x25x+8=2, c=x|x2+2x8=0,求当 a 取什么 实数时，aab呈0和aac=0同时成立.例7 （集合与方程）a = a|x2+4% = 0,b = a|x2+2（6z + 1）%+6/2-1 = 0）,:bca,求实数a的取值范围.例8、已知集合4 = 兀|处2-3兀+ 2 = 0,兀，0/?(1) 若4是空集，试求a的取值范围；(2) 若a中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来;(3) 若a中至多只有一个元素，求a的取值范围.练习:1.已知a = x = ,xe r为单元素集，则实数d的取值的集合为2.设 a=x i x2+(ft+2)x+*+l=0, fter

11、,求4 中所有元素的和.例 9、设 m =a a = x2 - y2 , x, ye z.(1)属于m的两个整数，其积是否仍属于m ,为什么？(2)8、9、10是否属于m ,请 说明理由.例10、设4为集合m 的子集，且a = avar*-,allne nn>2),若ax +冬+% =4 4%，则称a为集合m的z?元"好集”(1)写出实数集/?的一个二元“好集” ；(2)求出正整数集n#的所有三元“好集”；练习：1.若规定e二q 4，坷。的子集他，僞，为e的第比个子集，其中 k = 2/'-1 + 21 + 2+ ,则坷，如是e的第个子集；e的第211个子集是.2.设非空集合5 = x|m<x</满足：当xgs时，有x2gs给出如下三个命题：若m = l,则5 = 1；若m = -t则丄</<1；若/ = -,贝ij <m< 0其中 2422正确命题的个数是（）a. 0b 1c. 2d. 33设全集为i/,集合a,b,x满足=则x与ahb的关系为4.设集合4 = 兀|-2vxv-l或r>l,集合b =