概率论1.4全概率公式与贝叶斯公式

1、第一章随机事件与概率1.4全概率公式与贝叶斯公式141全概率公式全概率定理 如果事件人泌2"Jn构成一个完备事件 组，并且都具有正概率，则对任意一事件B成立P(B) = P(A)P(BIA)Z=1全概率定理的图形理解图形B的面积为B与各 个图形4相交部分的面积 之和.P(B)二 f P(4)P(B I Az) i=l不难由上式看出:“全”部概率P0）被分解成了许多部分之和.它的理论和实用意义在于:在较复杂情况下直接计算P0）不易，但B总 是伴随着某些缶出现，适当地去构造一组缶 往往可以简化计算.我们还可以从另一个角度去理解全概率公式.某一事件B的发生有各种可能的原因，如果B是由原因4

2、所引起，则由4导致B发生的概率是P(AiB)=P(Ai)P(B I4Z)每一原因都可能导致B发生，故发生的概率是各原因引起B发生概率的总和,即全概率公式.由此可以形象地把全概率公式看成为 “由原因推结果”，每个原因对结果的发 生有一定的“作用”，即结果发生的可能 性与各种原因的“作用”大小有关.全概 率公式表达了它们之间的关系.诸4是原因臭结果Qf2例一袋中有10个球，其中3个黑球7个白球，从中不 放回地取两次球，每次取一个，求第二次取到黑球的概率.解：我们用全概率公式来计算这一概率。将事件“第 二次取到黑球”根据第一次取球的情况分解成两 个互不相容的部分，分别计算其概率，再求和。记A为事件“

3、第一次取到黑球”，B为事件“第二 次取到黑球”,则有P(B) = P(AB) + P(AB)=P(A)P(B I A) 4-P(A)P(B I A)P(B) = P(A)P(B I A) + P(A)P(B I A)由题设易知P(A)=W P(W)=召P(B) = WX1 + X9 =W*P(BA) = j, P(BA) = j, 于是总量的40%, 35%, 25%,发芽率分别为0. 95, 0. 92, 0. 90,现将 三个仓库的麦种全部混合，求其发芽率。解：设AR甲仓库保管的麦种,人2=乙仓库保管的麦种,A3 =丙仓库保管的麦种,B=发芽的麦种几依题意有P(AJ=04 , P(A2)=

4、0.35，P(A3 )=025,P(B |=0.95 , P(B | A2)=0.92 , P(B | A3 )=0.90 ,则求得P(B)= P(At) P(B | A】)+ P(A2) P(B IA2)+ P(A3) P(B | A3)=0.4 X 0.95+0.35 X 0.92+0.25 X 0.9=0.927实际中还有下面一类问题，是“已知结果求原因”某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率.或者问：该球取自哪号箱的可能性最大?这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下,求各原因发生可能性大小.设a19a29l是一完备事件组，则对P

5、氏雹萍任一事件B，P(B)>0,有P(AJP(B|4)£ P(A.)P(BA.)J=1该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.例 假定某工厂甲乙丙3个车间生产同一种产品，产量依次占全厂的45%, 35%, 20%o如果各车间的次 品率依次为4%,2%, 5%。现在从待出厂产品中检查出1个次品，试判断它是由甲车间生产的概率。解：设事件啟示“产品为次品”，九，血，厶分别表示"产品为甲，乙，丙车间生产的”,显然, AlfA2t A3构成一完备事件组.依题意，有P(儿)=45%P(42)=35%P(43)=

6、20%P(BA=4%P(S|42)=2%P(S|43)=5%寸 156" &寸X&5寸 (<一 8)H(<)d 八 (犬一 8)4(丈辽"(g_例 某一地区患有癌症的人占0.005,患者 対一种试验反应是阳性的概率为0. 95,正常 人对这种试验反应是阳性的概率为0. 04,现 抽番了一个人，试验反应是阳社，问此人是 癌症患者的概率有多大？解：设C=抽查的人患有癌症,A=试验结果是阳性,则C表示“抽查的人不患癌症”已知 P(C)=0.005a 0=0.995,P(AIC)=0.95, P(A C)=0.04 求尸(CU)由贝叶斯公式，可得P(CI

7、A) =P(C)P(AIC)P(C)P(AIC) +代入数据计算得:P(C I A)= 0.1066现在来分析一下结果的意义2.检出阳性是否一定患有癌症?1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？如果不做试验，抽查一人，他是患者的概率P(C)=0.005患者阳性反应的概率是095,若试验后得阳性 反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的 概率为 P(C I A)= 0.1066从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍.2.检出阳性是否一定患有癌症？试验结果为阳性，此人确患癌症的概率为P(C I A)=0.1066在贝叶斯公式中，P（AZ）和尸（令IB）分别称为原因的先验概率和后验概率.P（4）是在没有进一步信息（不知道事 件是否发生）的情况下，人们对诸事件发 生可能性大小的认识.当有了新的信息（知道戲生），人们 对诸事件发生可能性大小P（4 I B）有了新的 估计.贝叶斯公式从数量上刻画了这种变化例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有 甲、乙、丙三人.在不了解案情细节（事何） 之前，侦破人员根据