二重积分的概念及几何意义

1、二重积分的概念及几何意义二重积分的概念及几何意义 一、问题的提出一、问题的提出二、二重积分的定义二、二重积分的定义三、二重积分的几何意义三、二重积分的几何意义一、问题的提出曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积顶柱体顶柱体做曲做曲上连续这样的立体叫上连续这样的立体叫在在且且，这里，这里面面轴的柱面，它的顶是曲轴的柱面，它的顶是曲平行于平行于线线的边界曲线为准线而母的边界曲线为准线而母是以是以，它的侧面，它的侧面面上的闭区域面上的闭区域设有一立体，它的底是设有一立体，它的底是dyxfyxfzzddxoy0),(),( xzo),(yxfz yd定义定义体积体积= =曲边梯形面积的求法曲边梯形面积的求法“分

2、割、近似、求和、取极限分割、近似、求和、取极限”的思想方法的思想方法平顶柱体的体积计算平顶柱体的体积计算底面积底面积高高曲顶柱体的体积计算曲顶柱体的体积计算以直线代曲线以直线代曲线以平面代曲面以平面代曲面步骤如下：步骤如下：个小闭区域个小闭区域分成分成先用曲线网把先用曲线网把nd.,21n xzyoxyzo),(yxfz 并取典型小区域并取典型小区域, ,did ),(ii 用若干个小平用若干个小平顶柱体体积之顶柱体体积之和近似表示曲和近似表示曲顶柱体的体积顶柱体的体积 . .),(lim10iiniifv 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积. .求平面薄片的质量求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块

3、，将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片， 所有小块质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量.),(lim10iiniim .0),(),(),(,计算该薄片的质量计算该薄片的质量续续上连上连且在且在处的面密度为处的面密度为点点它在它在面上的闭区域面上的闭区域有有设有一平面薄片占设有一平面薄片占dyxyxyxdxoy ),(ii id xyo二、二重积分的定义,),(),(.,.),(21iiiiiiiinfddidddnddyxf 作乘积作乘积任取一点任取一点上上在每个在每个的面积的面积个小闭区域个小闭区域表示第表示第用用

4、并并个小闭区域个小闭区域任意划分成任意划分成区域区域将闭将闭上的有界函数上的有界函数是有界闭区域是有界闭区域设设 niiiif1.),( 并作和并作和定义定义即即记作记作的二重积分的二重积分上上在闭区域在闭区域则称此极限为函数则称此极限为函数的极限存在的极限存在该和该和时时径中的最大值径中的最大值如果当各小闭区域的直如果当各小闭区域的直,d),(,),(,0 dyxfdyxf .),(limd),(10iniiidfyxf 对二重积分对二重积分(double integral)定义的说明定义的说明,ddd,d,)1(yxdi 积元素积元素在直角坐标系中面在直角坐标系中面和中的和中的表示积分表示

5、积分面积元素面积元素是任意的是任意的的划分的划分对闭区域对闭区域在定义中在定义中xyo此时二重积分为此时二重积分为.dd),(d),( ddyxyxfyxf .,),()2(上的二重积分必定存在上的二重积分必定存在那么它在那么它在上连续上连续在闭区域在闭区域如果函数如果函数ddyxf三、二重积分的几何意义三、二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积的负当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积的负值值 二重积分的几何意义二重积分的几何意义 二重积分是各部分区域二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在平面上方的取正，在xoy平面平面下方取负下方取负xyz 0例例 根据二重积分的几何意义判断下例积分的值根据二重积分的几何意义判断下例积分的值. .，222222:,dayxdyxad 3421d 3222ayxad