求极限的13种方法

1、求极限的13种方法（简叙）Hitt极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终， 极限思想亦是高等数学的核心与 基础，因此，全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基本要求。 本篇较为全面地介绍了 求数列极限与函数极限的各种方法，供同学参考。一、利用恒等变形求极限利用恒等变形求极限是最基础的一种方法，但恒等变形灵活多变，令人难以琢磨。常用的的恒等变形有：分式的分解、分子或分母 有理化、三角函数的恒等变形、某些求和公式与求积公式的利用等。n -例 1、求极限 lim (1+a)(1 +a2)(1 +a2 ),其中 |a <1n > 二二分析 由于积的极限等于极限的积这一法则只对有限个

2、因子成立,此,应先对其进行恒等变形。n因为(1 a)(1a2)(1a2 )122(1 - a)(1 a)(1a2)(1 a21 -a1222n工(2)(1a2)"2n 1La )n t 1 时 ，2n 虫 tcn 122na2 T Q从而 lim (1 +a)(1 + a2)(1+a2 )=n二二、利用变量代换求极限 利用变量代换求极限的主要目的是化简原表达式，从而减少运算量, 提高运算效率。常用的变量代换有倒代换、整体代换、三角代换等。a2)例2、求极限lim mx-1,其中m,n为正整数。 x 1 n x -1分析 这是含根式的(0)型未定式，应先将其利用变量代换进行化 0简，再

3、进一步计算极限。1解令t=x而则当XT 1时，tT 1tn-1. (t-1)(tnJ11)tn,tn. 1n原式= lim 万 limmym5 = fmt 1 tm-1t 1 (t-1)(ttm. 1)tmt. 1m三、利用对数转换求极限利用对数转换求极限主要是通过公式uv = elnuv,进行恒等变形，特别的情形，在(产)型未定式时可直接运用(u)v 二e12一一 sin xlim 2一 x0 sin2 * * x例4、求极限limnr 二n!n n2例 3、求极限 lim (cosx)c利用夹逼准则求极限主要应用于表达式易于放缩的情形cx x >o分析当我们无法或不易把无穷多个因子的

4、积变为有限时，可考虑使 用夹逼准则。解 因为 oE2：1 .Zl"1 口£，n n n n n n且不等式两端当趋于无穷时都以 0为极限，所以lim 4=0 n nn五、利用单调有界准则求极限 利用单调有界准则求极限主要应用于给定初始项与递推公式Xn4=f(Xn)的数列极限。在确定IM Xn存在的前提下，可由方程A=f(A) n )解出 A,则 lim Xn=A。n j 二二1a例 5、设a>0,xi >0,xn书=7(3% + 石)，(n=1,2,),求极限 lim 4 (4Xnn >：:分析 由于题中并未给出表达式，也无法求出，故考虑利用单调有界 准则

5、。1 .ca、解 由a > 0, X1 > 0, %书=7 (3人+-)易知Xn >0O4Xna = 4a3Xn根据算术平均数与几何平均数的关系，有Xn 11 ,a、(XnXnXnf - 4 XnXnXn4Xn所以,数列Xn有下界Va,即对一切n>1,有Xn2*aW(31(3 h所以Xn. EX”,即数列单调减少。由单调有界准则知数列 “有极限4现设lim Xn=A,则由极限的保号性知 A之而>0. n. 1 a1 a、对式子Xn十- 4(3Xn /)两边同时取极限得A=(3A+77)4Xn4A解得A=Va,即lim Xn = Va (已舍去负根)n. n六、利用

6、等价无穷小求极限 利用等价无穷小求极限是求极限极为重要的一种方法，也是最为简 便、快捷的方法。学习时不仅要熟记常用的等价无穷小，还应学会灵 活应用。同时应注意：只有在无穷小作为因式时，才能用其等价无穷 小替换。例 6、求极限 lim sinsin- sin(a ) 数。即 lim n lnn- =ln sinx'x=a = cota。nsin a) x 1 In x分析 此题中sin(x-1),sinsin(x-1),lnx均为无穷小，而均作为因式，故可以利用等价无穷小快速求出极限。解 当xt1时，x 1 t 0,则sinsin(x -1) sin(x -1) x -1,ln x =

7、ln(1 + x -1) x-1故原式=lim= =1x 1 x -1七、利用导数定义求极限 利用导数定义求极限适用于(a%f(xaa：bf型极限,并且需要 满足f'(x0)存在。. ,1、sin( a )例 7、求 limJn,其中 0c。ln u v=e ，进n < sin a0 a 1分析 初步可判断此题为(产)型未定式，先通过公式u 行恒等变形，再进一步利用导数定义求得极限。1 sin( a J)s i na( ) lim n ln-解lin in_Qnisin a；=e s i a. ,1、，一1、 ，.sin(a)ln sin(a)-ln s ia而 lim n ln

8、-: lim n二 sin a 11n1ln sin(a ) 一ln sin a由导数的定义知，limn表示函数lnsinx在 x=a处的导利用洛必达法则求极限适用于0,艺,02型未定式，其它类型未定式也0 二可通过恒等变形转化为0,艺,0皿型。洛必达法则使用十分方便，但使0 二用时注意检查是否符合洛必达法则的使用条件。例8、求极限limx0cosx - cos3xsin x 3sin3x cosx 9cos3x /用牛 原式 =lim=lim二4x。2xx 02注：连续两次使用洛必达法则 九、利用微分中值定理求极限利用微分中值定理求极限的重点是学会灵活应用拉格朗日中值定理，即 f (a) f

9、(b) = f'(q,其中 s( a,b)o a - bx sin x例9、求极限lim且二x0 x - sin x分析 若对函数f(x)=ex,在区间sin x,x】上使用拉格朗日中值定理x sin x则：e -e =e与其中 S (sinx, x) x - sin xx sin x解 由分析可知e二一 = e：其中 踪(sinx,x) x -sin x又 x t 0时，有 s i n(T 0,s i xn < - < x,故上 t 0 x sin x所以 lim - = lim e =1x 10 x -sin x x 50十、利用泰勒公式(麦克劳林公式展开式)求极限利用

10、泰勒公式(麦克劳林公式展开式)求极限是求极限的又一极为重要的方法。与其它方法相比，泰勒公式略显繁琐，但实用性非常强。例 10、求极限 lim arctan x - arcsin x tan x。sin x分析 若使用洛必达法则，计算起来会相当麻烦；同时分子并非两因1-x3 o(x3)-2 1 3x2由定积分的定义知，如果f(x)在a,b】上可积，那么，我们可以对h b】式之积，等价无穷小也不适用，此时可以考虑用泰勒公式。33r1 一x3X / 3当x0时，由于 arctan x = x o(x ), arcsXnx o(x ) 361 3tanx -sin x = tanx(1 -cosx)

11、- x33x -x- o(x3) - x 二 o(x3)故 原式= lim36x 01 3x2卜一、利用定积分的定义求极限用特殊的分割方法(如n等分)，并在每一个子区间特殊地取点(如取每个子区间的左端点或右端点)，所得积分和的极限仍是f(x)在a, bi上的定积分。所以，如果遇到某些求和式极限的问题，能够将其表示为某个可积函数的积分和，就能用定积分来求极限。这里关键在于根据所给和式确定被积函数和积分区间。例 11、求极限 lim (sin sin - sin -(-) n F：n n nn解 从和式1(sin工+sin型+sin "(n%)看，若选被积函数为sinnx, n n nn

12、则因分点1与心当n->8时分别趋于。与1,故积分区间为b,1l n n将0,1监分，则有以=,从而有：n原式=lim 1(sin - sin - sin (n1) = sin 二xdx = -1 cos二x 1=2 n nn nn 0二二十二、利用级数收敛的必要条件求极限级数具有以下性质：若级数Jun收敛，则limun=0。所以对于某些极限lim f(n),可以将函 /n n :n 1数f(n)作为级数Z f(n)的一般项，只需证明级数：ff(n)收敛，便有lim f(n), =0.n_)：例12、求极限n. n lim2n-:(n!)解令Un(n!)2qQ，对于正项级数工Un,有n 4(n 1)n 1n一Un n'(n 1)!)(n!)2. (n 1)nn二 limnnn n >:(n 1)nn=lim (1 1)n -1- = lim e- = 0n一；：n n 1 n一； ：n 1lim uJ_ =0 ：二1，由比值审敛法知,级数5UnqQZ Un收敛 n z!n故 lim -2 =0f (n!)2十三、利用窑级数的和函数求极限当数列本身就是某个级数的部分和数列时,求该数列的极限就成了求相应级数的和。此时常常可以辅助性地构造一个函数在某点的值。例13、求极限lim (1n /二.2 .旦. .3323n分析若构造哥级数QOn