高三数列复习专题-证明不等式函数放缩方向

1、高三数列复习专题证明不等式：函数放缩方向题目人教版必修 5第三章不等式 3.1 不等关系与不等式习题3.1 a 组题 3已知 x0 ，求证：1x1 x 2说题意此题意在让同学运用不等式的性质去证明不等式说此题意在结合不同的解法及拓展过程中，说清晰证明不等式的方法：构造函数法；并且结合数列，说清晰与数列及前 n项和有关的不等式的证明方法， 其中运用到的学问点及思想方法在下面结合解法进行详细阐述说思维和思路解法 1（解题思路）由 x0 可得 1x20 ，而1x0要证：1x1x （ x0 ）2222xx即证：1x即证：1x1，即 1x221xx041x如ab 4差比法0 ，就 anbnnn , n2

2、2即证：x042由 x0 ，易得x04所以 1x 2xx1x，即1x142分析法高中数学课本中，仍有两组习题： 1 人教版必修 5第三章不等式 3.1 不等关系与不等式习题3.1 b 组题 1：比较以下各组中两个代数式的大小：（1） x 25 x6 与 2 x25 x9 ；（ 2）x23与x2x4；（3）当 x1时，x 3 与 x 2x1 ；（4） x 2y21 与 2xy1 2 人教版选修 22第一章不等式 1.3导数争论函数习题1.3 b 组题 1：利用函数的单调性，证明以下不等式，并通过函数图像直观验证：（1） sin xx ， x0,；（ 2）xx 20 ， x0,1（3） e x1x

3、 ， x0 ；（ 4） ln xxex ， x0 证明不等式其中两个常用思路，比较法（差比法）及构造法（构造函数），其中主要涉及了不等式的性质、导数争论函数、比较法/分析法 /构造法等学问，并且在其中运用了数形结合、分类争论等思想方法结合导数争论函数特殊重视构造法构造函数这个思路以下先从正反两个方向对构造函数的方法进行推广，然后再结合数列不等式的证明进行拓展推广 1（20xx 年北京卷） 设 l 为曲线 c : yln x x在点 1,0处的切线（ 1）求 l 的方程；（2）证明：除切点1,0之外，曲线 c 在直线 l 的下方变式 1 2（ 20xx 年深圳一模）已知fxxa （ a x0 ）

4、， gxn2lx bx，且直线 y2 x2 与曲线 ygx相切如对 1,内的一切实数 x ，不等式 fxgx恒成立，求实数 a 的取值范畴拓展 1 3 设函数f xx2b ln x1) ，其中 b0 （1）当b1 时，判定函数2f x 在定义域上的单调性； （2）证明：对任意的正整数n ，不等式 ln1111 都成立nn 2n3通过上述推广及拓展，可以得出下面几点结论：其一，证明不等式问题，常先适当等价转化，然后挑选作差为切入点；其二，当遇到超越函数时， 结合导数争论函数的单调性、 最值来证明不等式；其三，数列其实一个特殊的函数， 可以把涉及数列的问题先转化为函数问题争论，然后在回来数列问题解

5、法 22证明：由 x042所以 xx10x14如 ab ，就 acbc由于 x0 ，所以 1x02所以x2如ab0 ，就 n an b nn , n211x2所以1x1x 2在上述证明不等式过程中运用了不等式的性质，在想深一点我们证明数列不等式常用的放缩法不就是不等式性质的表达，数列相关题目常见形式为 “通过递推数列求通项公式求数列的和证明与"和"相关的不等式”，这里就显现了几个命题的切入点，其一， （直接方向）数列不等式明显即直接给出或求和简单，然后怎么证？采纳不等式的性质或构造函数的方法是一个很好的挑选，其二，（间接方向）数列不等式不明显，即求和不简单如何处理？采纳适当

6、放缩转 化为常规数列求和是一个很好的挑选；其三，数列求和采纳放缩也很难，如何 处理？采纳构造函数放缩， 结合数列前 n 项和的定义及同向不等式相加的性质处理（在做各位都是高手，本人就不班门弄斧了）以下只以几个题目进行展现：推广 2 1 （20xx 年佛山一模）设 nn * ，圆 c ： x2y 2r2 r0 与 y 轴正半轴nnnn的交点为 m ，与曲线 yx 的交点为 n 1 , y n，直线 mn 与 x 轴的交点为aan,0 .（1）用 n 表示rn 和 an;（2）求证 : anan 12; （3）略点评 abacbd cd推 广2 2（ 20xx年 江 西 卷 ） 正 项 数 列an

7、的 前 n 项 和sn 满 足s2 n 2n1sn 2 n （01）求a；（ 2）令bn1，数列 b的前 n项和 t ，nnnnn2 2 a 2nn证明：对任意的nn *5，都有 tn64点评 （1）求和常规方法：裂项法； （ 2）如 c0 ，就 aca n推广 2 3（ 20xx 年广东卷）设数列a的前 n 项和为s ,满意 2sa2n 11 , nn* ,nnn1且 a1 、 a25 、 a3 成等差数列（ 1）求 a1 的值；（ 2）求数列an的通项公式；（ 3）证明：对一切正整数 n ,有1113 a1a2an2推 广2 4 （ 20xx年 广 东 卷 ） 设 数 列an的 前 n 项

8、 和 为 sn. 已 知a11,2snan 11 n2n2 , nn*.（ 1）求 a2 的值；（ 2）求数列an的通项公式；（3）证明:n33对一切正整数 n ,有1117 .a1a2an4点评 （1）放缩方向；常规数列； （2）如 c0 ，就 aca 解法 3 运用均值不等式，不绽开本选题个人觉得假如从另外一个角度来看，可能有一些不同高考的题目来源于课本， 而解法 1中涉及的课本的习题明显难度不够，而不等式问题常作为数列不等式中显现，那么能不能把这些函数作为放缩方法中的“函数放缩”的构造函数来用作为命题的切入点呢？它可以解决“其三，数列求和采纳放缩也很难， 如何处理？采纳构造函数放缩，结合

9、数列前 n 项和的定义及同向不等式相加的性质处理”反思近几年广东高考数列不等式的证明题，其实“函数放缩” 是一个很值得关注的方法拓展 （20xx 年佛山一模）设 nn * ，圆 c ： x2y 2r2 r0 与 y 轴正半轴的交点nnn为 m ，与曲线 yx 的交点为 n 1 , y ，直线 mn 与 x 轴的交点为 aa,0 .n（1）用 n 表示 rn 和 an ;（2）求证 : annnan 12;（3）设 saaaa ,t1111,求证: 7sn2n3 .n123nn23n5tn211（1） an11nn（解题思路）（3）由 t1111bbb，易知 t0n要证： 7523n12nnsn

10、2n3tn2即证： 2 n7 ts3 t2n5nn2n简单观看到sn 放缩不简单，那能否实行如下思路：27 ba3 b25112172ba3 b2相加73222522ntnsntn2n 52732bnanbn252那么我们如下要解决的问题只需证明732bab2即证明 27111132nnn525nnn2n即证明 1211115nn2n转化为构造函数证明12 x1x1x52这就特别简单了，以下略拓展（20xx 年深圳一模） 已知f xxa a x0 ，g x2 ln xbx ，且直线 y2 x2与曲线 yg x 相切（1）如对 1, 内的一切实数 x ，不等式f xg x 恒成立，求实数 a的取值范畴；（2）（略）；（ 3）求证：n4i4i2i 11ln 2 n1 nn * 反思与小结此题假如只教会同学解题的方法，没什么意义，但是假如作为高三回来课本的题目，将问题设置在同学思维的最近进展区，结合高