山东科技大学概率论卓相来岳嵘第二章习题解析

1、 习 题 二 1. 一袋中装有5只球，编号依次为1，2，3，4，5.在袋中同时取3只，以表示取出的3只球中的最大的号码，写出随机变量的分布律.解 以表示取出的3只球中的最大的号码，由古典概型易知的分布律为X3 4 5 2.一批产品包括10件正品，3件次品，有放回地抽取，每次一件，直到取到正品为止.假定每件产品被取到的机会相同，求抽取次数的分布律.解 抽取产品为伯努里试验，设事件=取到正品，事件表示前次均取到次品，而第次首次取到正品，则的分布律3. 自动生产线在调整之后出现废品的概率为，当在生产过程中出现废品时立即重新进行调整，求在两次调整之间生产的合格品数的分布律.解 由题设可知，自动生产线生

2、产产品（废品与合格品）为贝努里试验，事件表示首次出现废品之前已生产个合格品，而生产合格品的概率为，则在两次调整之间生产的合格品数的分布律为4. 将一颗骰子抛掷两次，表示两次中得的小的点数，求的分布律.解 样本空间随机变量的所有取值为,的分布律X1 2 3 4 5 6 5. 试确定常数，使得下列函数成为分布律：（1）；（2） 为常数.解 （1） 由 得 （2）由 得 6. 设在三次独立试验中，出现的概率相等，若已知至少出现一次的概率为，求在一次试验中出现的概率.解 设在一次试验中出现的概率为，在三次独立试验中，出现的次数为则.的分布律为 .已知至少出现一次的概率为 ， 7. 一大楼装有5个同类型

3、的供水设备.调查表明在任一时刻每个设备被使用的概率是0.1，问在同一时刻（1） 恰有2个设备被使用的概率是多少？（2） 至多有3个设备被使用的概率是多少？（3） 至少有1个设备被使用的概率是多少？解 设在同一时刻被使用设备的个数为，则.的分布律为 .于是(1) 恰有2个设备被使用的概率为 (2) 至多有3个设备被使用的概率是 (3) 至少有1个设备被使用的概率是8. 甲、乙进行投篮，投中的概率分别为0.6，0.7.今各投3次.求（1）两人投中次数相等的概率；（2）甲比乙投中次数多的概率.解 设各投3次甲、乙两人投中的次数分别为，则.的分布律为 .的分布律为 （1）两人投中次数相等的概率为（2）

4、甲比乙生产投中次数多的概率. 9. 设一厂家生产的每台仪器，以概率0.70可以直接出厂，以概率0.30需进一步调试，经调试后以概率0.80可以出厂，以概率0.,20定为不合格不能出厂。现该厂新生产了台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求（1）全部能出厂的概率；（2）其中恰好有两件不能出厂的概率；（3）其中至少有两件不能出厂的概率；解 记=“仪器需调试”，=“仪器能出厂”，=“仪器能直接出厂”，=“仪器经调试后能出厂”， ，设为所生产的台仪器中能出厂的台数，则作为所生产的次独立试验成功（仪器能出厂）的次数，服从二项分布，即，因此（1）（2）（3）10. 有一繁忙的汽车站，在一天的某段时间内

5、出事故的次数服从参数为的泊松分布，问出事故的次数不少于2的概率是多少？解 11. 某一公安局在长度为的时间时隔内收到的紧急呼叫次数服从参数为的泊松分布，而与时间时隔的起点无关（时间以小时计）。（1）求某一天中午12时至下午3时没有收到的紧急呼叫的概率：（2）求某一天中午12时至下午5时至少收到一次的紧急呼叫的概率解 （1），（2），12. 实验器皿中产生甲乙两类细菌的机会是相等的，且产生的细菌数服从参数为的泊松分布，试求（1）产生了甲类细菌但没有乙类细菌的概率；（2）在已知产生了细菌而且没有甲类细菌的条件下，有两个乙类细菌的概率.解（1）的分布律为，个细菌全部是甲类细菌的概率，所以生产了甲类细

6、菌但没有乙类细菌的概率（2）产生了细菌而且没有甲类细菌的概率等于生产了甲类细菌但没有乙类细菌的概率,所以在已知产生了细菌而且没有甲类细菌的条件下，有两个乙类细菌的概率为 13. 已知随机变量的分布律为 -2 -1 0 1 2 4 0.2 0.1 0.3 0.1 0.2 0.1试求关于的一元二次方程有实数根的概率.解 若关于的一元二次方程有实数根，则判别式，的一元二次方程有实数根的概率为14. 从学校乘汽车到火车站途经3个交通岗，每个交通岗的红灯相互独立，红灯出现的概率都为0.4，设表示“遇到红灯的次数”，求的分布律及分布函数.解 设表示“遇到红灯的次数”，易知的分布律为0 1 2 3 即得的分

7、布律0 1 2 3 0.216 0.288 若当时，则是不可能事件，所以=0. 当时， 当时， 当时，当时， 故随机变量的分布函数为 ，15. 设随机变量服从（0-1）分布，求的分布函数，并作出其图形解 分布的分布律写成表格形式0 1 若当时，则是不可能事件，所以=0. 当时，当时， 故随机变量的分布函数为 16. 随机变量的分布函数为（1） 当为何值时为连续函数？（2） 当为连续函数时，求；（3） 当是连续型随机变量时，求的概率密度.解 （1）故（2）当为连续函数时，（3）是连续型随机变量时，的概率密度.17. 设随机变量的概率密度为（1） 试确定常数；（2） 随机变量的分布函数；（3） 求

8、 解 （1）由于.所以.故X的概率密度为（2）当时，.当时，.当时，故 （3）18. 设随机变量的概率密度为求随机变量的分布函数.解 当时，.当时，.故 19. 若在（1，6）上服从均匀分布，求方程有实数根的概率. 解 在（1，6）上服从均匀分布，随机变量的概率密度为方程若有实数根，则判别式，方程有实数根的概率为20. 某种型号的电子管的寿命（以小时计）具有以下的的概率密度现有一大批此种电子管（设各电子管损坏与否相互独立），任取5只，求其中至少有2只寿命大于1500小时的概率.解 某只电子管的寿命大于1500小时的概率为任取5只，记寿命大于1500小时的电子管的只数为，从而21. 某种电器元件

9、的使用寿命（以小时计）服从参数的指数分布。（1）任取一个这种电器元件，求能正常使用1000小时以上的概率；（2）有一个这种电器元件，求能正常使用1000小时后还能使用1000小时以上的概率.解 的概率密度为 （1）（2）22. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（以分计）服从指数分布，概率密度为 某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开，他一个月要到银行5次，以表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出的分布律，并求.解 顾客在窗口未等到服务而离开的概率为 的分布律23. 假设一大型设备在任何长为时间内发生故障的次数服从参数为的泊松分布。（1）求相继两次故障之间时间间隔的概率分布；（

10、2）求在设备已经无故障工作8小时的情况下，再无故障运行8小时的概率.解 (1) 由于是非负随机变量，可知当时，当时，事件与等价，所以当时从而即服从参数为的指数分布。（2）24. 设随机变量求落在（9.95,10.05）内的概率.解 25. 设随机变量. 求（1）；（2）；（3）. 解26. 设随机变量 求概率.解 27. 已知从某批材料中任取一件时，取得的这种材料的强度服从（1） 计算取得的这些材料的强度不低于170的概率；（2） 如果所用的材料要求以的概率保证强度不低于160，问这批材料是否符合这个要求？解 即从这种材料中任取一件以概率（小于）的概率保证强度不低于160，所以这批材料不符合所

11、提出的要求.28. 某人上班所需的时间（单位：分）.已知上班时间为早晨8点，他每天7点出门.求（1） 每天迟到的概率；（2） 某周（5天计算）最多迟到一次的概率.解 (1) 某人上班所需的时间，已知上班时间为早晨8点，他每天7点出门. 设每天迟到的概率为，则每天不迟到的概率（2）某周（5天计算）迟到的次数为.则.的分布律为 某周（5天计算）最多迟到一次的概率为29. 在电源电压不超过200，在和超过三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为，假设电源电压服从正态分布，试求（1）该种电子元件损坏的概率；（2）该种电子元件损坏时，电源电压在的概率；解 引进下列事件，=电压不超过200=电压在=电压超

12、过，=电子元件损坏，=电源电压的取值，由条件知，因此(1) 由题设条件知由全概率公式，(2) 由条件概率公式知30. 已知随机变量的分布律为 -2 -1 0 1 3 试求（1）；（2）的分布律. 解 （1） 1 3 1 9 则随机变量的分布律是 0 1 4 9 (2） -2 -1 0 1 3 1 0 -1 0 2 则随机变量的分布律是 -1 0 1 2 0.2 0.3 0.2 0.331. 假设随机变量在区间上服从均匀分布，试求随机变量的概率密度.解 记的分布函数为，下面先求的分布函数为. 当时，因为，故当时,故= 对关于求导，得到的概率密度为 32. 设的概率密度为试求的概率密度.解 记的分布函数为，下面先求的分布函数为.故 =对关于求导，得到的概率密度为 33. 设（1）求的概率密度；（2）求的概率密度；（3）求概率密度.解 的概率密度为（1）的概率密度 记的分布函数为，下面先求的分布函数为.故当时，对关于求导，得到的概率密度为（2）求的概率密度；当时，因为，故.当时，有的概率密度（3）求概率密度.当时，因为，故当时，有概率密度* * * * *34.进行某种试验，成功的概率为，失败的概率为.以X表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率.