BBD28函数的单调性与极值

1、1主讲教师主讲教师: 王升瑞王升瑞 高等数学 第十七讲2第八节一、函数单调性一、函数单调性 二、函数的极值及其求法二、函数的极值及其求法函数的单调性与极值 第二章 3一、一、 函数单调性的判定法函数单调性的判定法若定理定理 1. 设函数)(xf0)( xf则 在 i 内单调递增)(xf, )0)( xf(递减) .证证: 无妨设,0)(ixxf任取)(,2121xxixx由拉格朗日中值定理得)()()(1212xxfxfxf),(21xxi0故. )()(21xfxf这说明 在 i 内单调递增.)(xf在开区间 i 内可导,证毕i 称为单调递增(递减) 区间。4例例1. 确定函数31292)(

2、23xxxxf的单调区间.解解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)( xf得2, 1xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21故)(xf的单调增单调增区间为, ) 1,();,2()(xf的单调减单调减区间为).2,1 (12xoy12为驻点为驻点5yxo说明说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如例如,),(,32xxy332xy 0 xy32xy 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 .例如例如,),(,3xxy23xy 00 xyyox3xy 6例例2 证明xx tan令xxx tan)(则1sec

3、)(2xxx2tan),0(,02x,),0()(2上递增在x从而0)0()(x即)2,0(,0tanxxx证：证： 原式化为),0(2x0tan xx7例例3 3 证明2031tan3xxxx证：证：令331tan)(xxxxf2222tan1sec)(xxxxxf)(tan(tanxxxx令xxxg tan)(1sec)(2xxgxxxg tan)(0)(xf0)0()( fxf从而2031tan3xxxx成立0tan2x20 x0)0( g8例例4 4 求证)1ln(arctan22xxx证法一：证法一：设)1ln(arctan2)(2xxxxf0)0(fxxxxxxxfarctan21

4、212arctan2)(220)0()( fxf当0 x时)(0)(xfxf0)0()( fxf0)0()( fxf当0 x时0)(xf综上可知，无论x为什么值，总有)1ln(arctan22xxx则不等式成立当0 x时)(0)(xfxf9例例4 4 求证求证)1ln(arctan22xxx证法证法2：设)1ln(arctan2)(2xxxxf0)0(fxxxxxxxfarctan21212arctan2)(220)(xfarctan则无论x为什么值，总有)1ln(arctan22xxx则不等式成立对 f (x) 在 0 与 x 之间应用拉格朗日中值定理，有xxxxarctan2)1ln(ar

5、ctan22式中在 0 与 x 之间，由于与 x 同号，10例例5 证明方程2xxe在区间(0,1)内有且仅有一个实根。证明证明： 设 2xxexf在区间0,1 上连续， 020f 021 ef由零点定理，,1 , 0使 0f即2xxe的根存在。又 01xexfx xf单调增加。 xf的图形至多与 x轴有一个交点，所以方程仅有唯一解。11二、函数的极值及其求法函数的极值及其求法定义定义:,),()(内有定义在设函数baxf, ),(0bax ，的一个邻域若存在0 x在其中当0 xx 时, )()(0 xfxf(1) 则称 为 的极大点极大点 ,0 x)(xf称 为函数的极大值极大值 ;)(0

6、xf, )()(0 xfxf(2) 则称 为 的极小点极小点 ,0 x)(xf称 为函数的极小值极小值 .)(0 xf极大点与极小点统称为极值点极值点 .12注意注意:3x1x4x2x5xxaboy41,xx为极大点52,xx为极小点3x不是极值点2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.1) 函数的极值是函数的局部性质.31292)(23xxxxf例如例如 1x为极大点 , 2) 1 (f是极大值 1)2(f是极小值 2x为极小点 , 12xoy1213,)(0的某邻域内连续在设函数xxf且在去心邻域内有导数,0时由小到大通过当xx(1) )(xf “左左正正右右负负”

7、,;)(0取极小值在则xxf(2) )(xf “左左负负右右正正” ,.)(0取极大值在则xxf(自证)点击图中任意处动画播放暂停x)(xf )(xf0 xx 0 xx 0 x0 )(0 xf为极小值0 x为极小点如：定理定理 1 (极值第一判别法极值第一判别法)14例例1. 求函数求函数3235)(xxxf的极值 .解解:1) 求导数)(xf31323235xx35235xx2) 求极值可疑点令,0)( xf得;521x令,)( xf得02x3) 列表判别x)(xf )(xf0520033. 0)0,(),0(52),(520 x是极大点， 其极大值为0)0(f是极小点， 其极小值为52x3

8、3. 0)(52f15定理定理2 (极值第二判别法极值第二判别法)二阶导数 , 且处具有在点设函数0)(xxf,0)(0 xf0)(0 xf,0)() 1 (0 xf若则 在点 取极大值 ;)(xf0 x,0)()2(0 xf若则 在点 取极小值 .)(xf0 x证证: (1)(0 xf 00)()(lim0 xxxfxfxx0)(lim0 xxxfxx,0)(0知由 xf存在,0,00时当xx0)(0 xxxf时，故当00 xxx;0)( xf时，当00 xxx,0)( xf0 x0 x0 x由第一判别法知.)(0取极大值在xxf(2) 类似可证 .16例例2. 求函数1) 1()(32 x

9、xf的极值 . 解解: 1) 求导数,) 1(6)(22xxxf) 15)(1(6)(22 xxxf2) 求驻点令,0)( xf得驻点1,0, 1321xxx3) 判别因,06)0( f故 为极小值 ;0)0(f又,0) 1 () 1( ff故需用第一判别法判别.,1)(左右邻域内不变号在由于xxf.1)(没有极值在xxf1xy117例例3 求函数01xxyx的极值解：解： 用取对数求导法xxyln1lnxxxxy12ln10令ex 时ex 00 y时ex 0 yeey1为极大值。18试问 为何值时,axxaxf3sin31sin)(32x在时取得极值 ,解解: )(xf由题意应有)32(f2a又 )(xf)32(f )(xf取得极大值为3)(32f,3coscosxxa)32(3cos)32cos(a0,3sin3sin2xx 0出该极值。指出它是极大还是极小，并求例例4.1)21( a12a19内容小结内容小结1. 可导函数单调性判别ixxf,0)()(xf在 i 上单调递增ixxf,0)()(xf在 i 上单调递减2. 连续函数的极值(1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在