2022年《等差数列的前n项和》教学设计

1、等差数列的前n项和的教学设计一本节课的教学指导思想与理论依据：使用自制课件，开展在教师引导下学生对“等差数列的前n 项和公式”的合作探究使学生对等差数列的前n 项和公式及其推导方法 倒序相加法有更深刻的理解本节课的理论依据是从生活实际及简单、特殊情况入手逐步形成新知识二教学背景分析：1教学内容分析：等差数列是数列这一章中的两大基本内容之一，等差数列的前n 项和是等差数列中的重要知识点，等差数列的前n 项和公式的推导方法倒序相加法是本节课的难点，也是重要的数学技能，等差数列的前n 项和公式有着广泛的应用2学生情况分析：学生思维较活跃，有一定的分析问题、探究问题进而解决问题的能力，并且学生已经学习

2、了等差数列的定义和通项公式，掌握了一些等差数列的性质，而且具有一些生活中的实际经验和掌握了高斯数的推导方法3教学方式：教师启发下的议、讲、练相结合的合作探究式4教学手段：利用自制倒序相加的课件进行教学，通过形象生动的情景，激发学生的兴趣，激活学生的思维，使学生更能深刻地理解公式，掌握公式5信息技术手段：自己设计的幻灯片工具是microsoft powerpoint20036使用的方式：启发学生想出倒序相加的方法后使用幻灯片动画三教学目标及内容框架设计：1知识与技能：使学生理解等差数列的前n项和公式的推理过程中所使用的倒序相加法，掌握等差数列前n项和公式，并会使用公式解决一些较简单的问题2过程与

3、方法：从堆放圆木的实际问题和小学数学中的高斯数入手，类比地探究等差数列前n项和公式，再进行巩固练习3情感态度与价值观：通过实例引入和公式的探究推导，使学生领会从特殊到一般和类比探究问题的方法，体会数学来源于生产生活反之又为生产生活服务和数形结合的思想方精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - -法通过运用公式解决问题使学生加深对方程的思想方法的理解与

4、运用提高学生运用所学知识分析问题解决问题的能力提高学生敢于探索、敢于发现的精神，激发学生学习兴趣四教学过程设计：教学设计流程图：在教学过程中， 先引导学生进入问题情景， 然后教师逐层设问， 引导学生探索， 在议、讲、练相结合的合作探究式学习中，使学生经历新知识的形成过程，然后学以致用，运用等差数列的前 n 项和公式及倒序相加法中展现的项数之和相等时两项之和也相等（指nnmlk,，nmlk时，nmlkaaaa）解决一些简单问题，巩固新知识（一） 、创设情景，提出问题问题1：火车站的货场上堆放着如图100层圆木，最上面一层 1根，第二层 2根，, ，第100层100根，问这堆圆木共有多少根？创意：

5、教师先用多媒体展示彩图呈现的问题 1，使学生进入问题情景，激发学生的兴趣，并使学生体会数学来源于生产生活学生容易把问题 1 转化成数学式子 1+2+3+ , +100来解决学生解答： 1+2+3+ ,+100 =（1+100）+（2+99）+,+（50+51）100 根由堆放圆木的实际问题引入1+2+3+, +100 （高斯数）1+2+3+, +99 （设置障碍，增加难度）4+5+6+, +10 （设置障碍，加以拓广）倒序相加法（动画演示）类比探究出等差数列前 n项和公式公式应用，加深理解反思小结课后延伸精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第

6、 2 页，共 9 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - =10150 =5050 故共放有 5050根圆木教师：小学算术中称 1+2+3+ , +100为什么？学生：高斯数创意：与小学学习过的高斯数联系，从简单入手为本节课类比探究等差数列的前n 项和公式作铺垫问题2：如果改为最下面一层放 99根圆木，问这堆圆木共有多少根？学生解答： 1+2+3+ ,+99 =（1+99）+（2+98）+,+（49+51）+50 =10049+50 =4950 故共

7、放有 4950根圆木创意：少了一层圆木，计算起来反而变难设置障碍，激发学生思维创新，为用倒序相加法来推导等差数列的前 n 项和公式作铺垫我们能不能想出一种简便方法，同时解决上面两个问题呢？分析：问题在于只有一个 50，1+99=2+98= , =49+51=100而 50+50=100 ， 想到倒序和加两次学生深思讨论后解答：问题1 中10099321100s， 又129899100100s，+得：) 1100()992()1001(2100s100)1001 (2100)1001(100s问题 2 中999832199s，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - -

8、 - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - -又12989999s，+得：) 199()982()991(299s99)991 (299)991(99s创意：启发学生发现等差数列的第k 项与倒数第 k 项（正数第1kn项）的和均等于首相与末项的和，为公式的类比推导作铺垫培养学生敢于发现的精神和善于发现的心灵从以上问题 1 和问题 2 中学生归纳出：2100)(1001100aas；299)(99199aas教师在屏幕上动

9、画演示倒序相加法：问题 3： 如果最上面的一层圆木有 4 根， 最下面一层有 10根， 圆木的根数是否可由72104算出？学生验证： 4+5+6+7+8+9+10=49 ，而4972104，说明可以电脑动画演示解决问题 3 的倒序相加法：创意：精心制作的课件，电脑的五彩动画演示，更形象地体现了用倒序相加法求解问题1、平移平移得到旋转平移平移得到旋转精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共

10、9 页 - - - - - - - - -2、3，这有利于学生用形象思维突破倒序相加这一难点，并激发学生的学习兴趣，加深学生的理解与记忆教师：与我们学习的等差数列相联系，问题1、问题 2、问题 3 的实质是什么？学生：问题 1、问题 2 实质是首项为 1、公差为 1 的等差数列的前 100项和与前 99项和的问题问题 3 的实质就是首项为 4、公差为 1 的等差数列的前 7 项和的问题引出课题本节学习“等差数列的前n 项和”，并板书（以突出重点）（二） 、类比探究，推导公式教师请学生猜想： 在等差数列na中，怎样用1a 、na 及 n 来表示前 n 项和ns 呢？并且证明你的结论学生猜得：2)

11、(1nnaans证明如下：nnaaaas321，（第 1 演示）dnadadaasn121111 （第 3 演示）又121aaaasnnnn， （第 2 演示）dnadadaasnnnnn12 （第 4演示）两式相加即可得到)(21nnaans，从而2)(1nnaans创意：利用自制课件，电脑动画演示公式推导的倒序相加法（按以上括号中注明的顺序进行，第 1 演示后，使此式子旋转 180，得到第 2 演示，然后隐藏第 1、2 演示，将第 3、4 演示的两式相加），形象地体现了倒序、相加教师：公式与初中学过的什么公式相似？学生：梯形的面积公式2)(bahs创意：与梯形的面积公式进行类比，为学生记忆

12、公式提供记忆方法教师：如果已知等差数列的首项1a ，公差d和项数 n能否求出ns？精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - -分析：把2)(1nnaans中的na 用dna11表示学生：将通项公式dnaan11，代入到上面的公式式，得到2) 1(1dnnnasn创意：学生自己推导，有利于学生对两个公式联系的理解（三） 、深化理解，选择公式例：求正整数

13、中前 n 个奇数的和解法 1：设正整数中的奇数列为na，则首项为1a =1，公差为2d，12nan，.2)12(12)(2.1nnnaansnn解法 2：3, 121aa.22)1(122nnnnsdn创意：让学生反思，总结出与首项、末项相关时宜用公式，与首项、公差相关宜用公式电脑动画拼图演示)12(321n几何解释：创意：动画演示这些格子逐步相拼， 成一系列的正方形， 增加了此问题的趣味性与奇异性，使学生体会到此题的几何意义不但激发了学生的兴趣，而且使学生受到数学美的熏陶（四） 、课堂演练，巩固提高1 2n-1 + + ,+ 5 + 3 n列n行1 2n-1 ,5 3 精品学习资料 可选择p

14、 d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - -练习 1在等差数列na中，已知2910a，15510s，求1a解：由已知得：155210291a，解得：1a=2练习 2在等差数列na中，已知10156aa，求20s解法 1：10156aa，1014511dada，即101921da22020120aas2)19(2011daa10010102192201da解法 2：1001

15、010)192(1021920201120dadas解法 3：2)(2020120aas220156aa10021020创意：通过练习使学生体会方程的思想，整体代入的数学方法，提高学生利用k、l 、m 、n *n ，k+l =m +n 时，lkaanmaa的解题技巧，提高学生运用等差数列的前n 项和公式灵活解题的能力（五） 、反思总结、深化认识（请学生谈谈自己的收获）1你在知识与技能上的收获：（1）两个公式2)(1nnaans；2) 1(1dnnnasn注意：当0d时，1nasn，（2）推导公式的倒序相加法2从等差数列前 n 项和公式的探究过程你有什么收获？从特殊到一般和类比探究的方法3你对数

16、学的认识有什么提高：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - -数学源于生产生活反之又为生产生活服务数形结合、函数与方程是数学重要的思想敢于探索、敢于发现的精神，激发学习兴趣创意：围绕三围目标进行小结4你有什么疑问？（没有人提疑问时教师反问）什么时候使用倒序相加法？倒序之后对应项之和相等创意： “你有什么疑问？” 有利于发现学生中存在的问题， 巩固倒

17、序相加法 促进了学生的反思，有利于查漏补缺，也有利于教师的反思（六） 、布置作业，加强巩固p118 习题 33 1 （1）在正整数集合中有多少个三位数？求它们的和. （2）在三位正整数的集合中有多少个数是7 的倍数？求它们的和（3）求等差数列 13，15，17，, ， 81的各项的和 . （4）求等差数列 10，7，4，, ， -47 的各项的和 . 2根据下列各题中的条件，求相应的等差数列na的有关未知数：（1）54,201naa，999ns，求d和 n ；（2）629,37,31nsnd，求1a 及na ；（3）61,651da，5ns，求 n及na ；（4）10,15, 2nand，求1a 及ns . 3课后延伸：（1） （20xx年北京春招）若一个等差数列的前3 项和为 34，最后 3 项和为 146，且所有项精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - -和为 390，则这个数列有（）（a ）13项（b）12 项（c ）11 项（d）10 项（2） （20xx年