上海大学2013-2014学年冬季学期《微积分A2》试卷(A卷)答案_第1页
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1、上海大学2013 2014学年冬季学期微积分A2(A卷)答案一、单项选择题 (5小题, 每小题3分, 共15分)1. 设为的一个原函数, 且常数, 则( A ). A B C D 2. 设直线及平面, 则直线( C ). A平行于 B在上 C垂直于 D与斜交3. 设是区间上连续函数, 且, 则 ( B ). A B C D 4. 曲线自至之间的一段弧的弧长( C ). A B C D5. 设向量满足, 则必有( D ). A B C D 二、填空题 (5小题, 每小题3分, 共15分)6. . 7. 由不等式及所确定的平面图形的面积为. 8. 设, 则.9. . 10. 曲线在平面上的投影曲线

2、是.三、计算题 (4小题, 每小题6分, 共24分)11. (6分) 计算解: -(3分) -(2+1分)12. (6分) 计算解: -(2分) -(2分) -(1分) -(1分) 13. (6分) 计算. 解: -(2分) -(2分) -(1+1分).14. (6分) 计算.解: -(2分) -(2分) -(1分) . -(1分)四、计算题 (4小题, 每小题6分, 共24分) 15. (6分) 已知函数连续, 且满足, 求. 解: 令, 则, -(1分)由, -(2分) 解得, -(2分)所以或. -(1分) 16. (6分) 设和垂直, 和垂直, 求非零向量与的夹角.解: 由得; (1)

3、 -(1分)由得; (2) -(1分)(1)式减(2)式得, 即. -(1分)代入(1)式得, 即. -(1分)所以所求夹角余弦为, -(1分)则. -(1分)17. (6分) 求过直线且与轴平行的平面方程.解: 设平面束方程为, -(2分)即.由条件知所求平面的法向量, -(2分)所以, 解得, -(1分)所以所求平面方程为. -(1分)18. (6分) 求过点且与直线垂直相交的直线方程.解: 设所求直线方程为, -(1分)则由两直线垂直得. -(1分)已知直线过点. -(1分)由两直线相交得. -(1分)所以. -(1分)所以所求直线方程为,即. -(1分)五、应用题 (2小题, 每小题8

4、分, 共16分)19. (8分) 设一向量的模长为, 且与轴和轴的正向成等角, 与轴的正向的夹角是它们的二倍, 求此向量.解: 设此向量为, 且与轴的正向的夹角为, 则它与轴及轴的正向的夹角分别为和, 其中. -(1分)由, -(2分)得, 解得或. -(1分)则, , ;或, , .所以或. -(2+2分)20. (8分) 过抛物线上点作切线, 求该切线与上述抛物线及轴所围成的平面图形的面积, 并求该平面图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积.解: , , 切线方程为, 即. -(2分)切线交轴于点.面积 -(2分); -(1分)体积 -(2分). -(1分)六、证明题 (1题, 共6分)21. (6分) 设在上连续且递减, 常

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