理想电容器中的能量守恒问题探讨

1、理想电容器中的能量守恒问题探讨范应云（玉溪师范学院理学院物理系2009级物理学 云南 玉溪 653100）指导教师：贾正林摘要：在理想条件下两电容器连接在一起能量应该是守恒的。可是，在能量计算时，我们会发现有能量损失了。在这里，本文提出一个解决方案，通过对能量计算的重新解读我们实现没有能量损失从而遵守能量守恒定律。关键词：电容器；能量守恒；类比1.引言图1 两电容器的连接前后的电路。在理想条件下，两个电容器连接在一起前后的能量应该是守恒的，因为理想电容器只是一个储能元件，而不是耗能零件1。在图1中，为理想的电容器，开关和导线也是理想的元件，图1a表示，在开关K闭合前电容器已被充电至电压为V、带

2、电量为Q，不带电，此时（）代入能量公式： （1）得到电路a中共有能量为： （2）图b表示，开关K闭合时C1向C2充电，当时电路达到平衡，此时（）代入（1）式得到电路b中共有能量为： （3）由（2）、（3）得到损失的能量为： （4）即能量似乎损失了一半，显然违反了能量守恒定律。本文拟对这一“佯谬”进行分析和澄清，并试图通过一种类比方法来讲清这一问题。这将有助于我们加深对能量守恒律和电容器充放电过程中能量转化关系的认识。2.两电容串联或并联电路中的能量守恒现在跟大家介绍一些关于两个电容器电路的资料2，3，4，5，这些资料中都提出：在理想的情况下两个电容器连接在一起前后的能量是有损失的。如图1所示，

3、这个电路图所描述的是电容器中的能量在开关关闭之前和之后似乎并不是相同的。在这里尽管所有的组成元件都是理想的(即理想的电线，理想的开关，和理想的电容器)，但能量还是神秘的损失了一半。电路中的总电荷、总电压都是守恒的，所以能量也应该是满足守恒原理的，能量减少一半与这相悖，是不合理的。过去的几十年里，因为在理想的条件下这一“佯谬”没有得到合理的解释，导致许多焦点一直集中在因现实条件的限制来把损失的能量合理化，如通过在电路中增加电阻等方法来把失去的能量合理化6、7、8、9、10、11、12。现在，我们再次探讨两个电容器连接在一起前后的能量关系，以便更好地理解两个电容器在串联或并联后的能量守恒。我们知道

4、电容器电路中的能量和电压关系为： (5)式中是电容器中的总能量，是电容器中的总电荷量，是电容器的总电压。对于N个电容都为C的电容器相连时，我们有电容器的总电荷量与电压的关系为13： (6)这里是通过每个电容器两端的电压大小。图1表示一带有电压为V的带电电容器和另一不带电电容器连接在一起，即为充电，这个过程可以用图2的电路图来实现。 图2 表示电容器的充放电电路。如图2所示，图中、导线均为理想元件。在电源（电压大小为V）为C1充电的过程中，K1闭合、K2断开，当C1的带电量达到Q值、电压达到V值时系统第一次达到平衡状态，此时此时容器中的初始总电荷和总电压分别为： （7） （8）把（7）、（8）式

5、代入公式（5）求出电容器中的总能量为： （9）当K1断开、K2闭合时，C1给C2充电，直到C1和C2中的电荷和电压都相等时系统达到第二次平衡。在该过程中C1的电量、电压逐渐减少，C2的电量、电压逐渐增加，最终实现C1和C2中的电量相等且为、C1和C2两端的电压也相等，大小为。下面我们用（5）式中的能量电压关系和（6）式中的电荷量与电压关系来对两个电容器并联和串联情况下的能量损失“佯谬”进行解释。2.1两电容器并联电路中的能量守恒图3 表示电容器C1、C2的并联电路。如图3所示，两电容器并联有两种方式，a图表示两电容器并联时极性相反，造成两并联电容器的总电压为，即C1和C2中的正负电荷相互中和，

6、导致电荷量为0，所以不能用于能量计算。b图的两并联电容器极性相同，此时总电荷量为： (10)（7）、（10）式得,满足电荷量守恒。由图3b可知等效电压为： （11）把（10）和（11）式代入（5）式得电路中的总能量为： (12)显然违反了能量守恒，这是不正确的，所以不能用等效电压来计算电路中的总能量。这里的解决方案是先计算出每个电容里的电荷，然后求和作为总电荷量。这样对每个电容器先使用的关系，就意味着始终用每个电容器的电压大小来计算电荷量()。不管两个电容为C电容器如何并联，都有一个电压穿过它们，即，总电荷为： （13）因为C1=C2=C，所以也可用公式（6）计算得： （14）由（7）、（14

7、）得，满足电荷守恒。我们也可以计算出并联时总电压为： （15）这是通过对每个电容器两端的电压大小之和作为总电压得到的，即电容器电压的极性对总电荷量和总电压的计算是不重要的，它也不应该对能量计算起到重要的作用（这个关系与一致），由（8）、（15）式得，满足电压守恒。把（14）、（15）代入（5）式，我们可以计算出并联电容器在开关闭合后的总能量为： （16）由（9）、（16）式可知：，满足能量守恒定律。所以在理想情况下，两电容器并联组合前后的总能量满足能量守恒定律。2.2两电容器串联电路中的能量守恒图4 表示C1与C2串联的电路图。两个电容器串联电路如图4所示，此时等效电容为，每个电容为C的电容器

8、两端的电压为，a图表示两电容器串联时极性相反，在这种情况下C1和C2两端的电压相互抵消，导致总电路中的电压为，代入时得到电荷量为零，所以不能用于电荷计算。b图表示两电容器串联时极性相同，此时两个电容器的电压是叠加的，即电容器两端的总电压为： （17）由（8）、（17）式得，满足电压守恒。把等效电容和（17）式代入得总电荷为： (18)这里因等效电容减少为，计算得出的总电荷也减少一半，违反了电荷守恒，这是不正确的，所以我们不能用等效电容的方法来计算总电荷。在这种情况下的解决方案是利用重新定义的能量电压关系，先计算出每个电容器理的电荷量，然后相加作为总电荷量，这样对每个电容器先使用的关系，就意味着

9、始终用每个电容器的电压来计算电荷量()，即，所以总电荷量为： （19）由于C1=C2=C，也可以直接用公式（6）计算得： （20）由（7）、（19）式得电荷量守恒。把（17）、（19）代入能量公式（5）得到电容器串联中的总能量为： （21）由（9）、（21）得，由此可以看出在两电容器串联过程中，电容器连接前后的总能量满足能量守恒定律。3.与容器盛水的类比分析从以上的分析我们知道，在理想条件下两电容器连接在一起前后的能量是守恒的。通过对电容器内部能量的重新解读，我们重新定义了能量电压关系，使能量方程可以适用于任何电容器组合的基本电路分析。为了更好地理解两个电容器连接前后的能量计算，我把电容器与水

10、槽进行了以下类比。图5 表示电容器电路的水容器类比摸形。如图5所示，这个想法可以使用水容器类比电容来表示。根据图的电路图模型，绘制了图的水容器模型。图中的主槽类似于电压的电源，图中的副水槽是类似于电容为C的电容器，主槽和副水槽是一模一样的水容器。不论两个电容器如何连接，电容器组合的总电荷量和总电压在开关K2关闭之前和之后应该是相同的，换句话说，主槽中水的体积应该等于两个副水槽中水的体积之和，主槽中水的高度应该等于两个副水槽中水的高度之和。在这里水的体积对应电容器中的电荷量，水的高度对应电容器中的电压，水箱的形状和装水的能力与电容的大小有关。在水的存储过程中我们采取理想的假设，保持电容电路中的所

11、有组件模型是理想化的。如图所示，即当K1闭合、K2断开时，水（电荷）从一个主槽完全泵到一个副水槽（电容）达到V的高度，此时水的体积为Q。即初始电压和电荷量分别为： （22） （23）式中为初始电压。把（22）、（23）式代入（5）式，我们可以计算出电容器中的初始能量为： (24)当两个电容器连接在一起时，即K1断开、K2闭合（如图所示），此时主槽被移除，带电电容器开始为新连接的电容器充电，最终两个电容器的电压和电荷都相等，且值为和，此时副水槽C1、C2中水的体积都为，水的高度都为。下面我们用类比的方法来分析两个电容器并联和串联两种情况下的能量守恒。3.1两电容器并联时与水容器类比分析图6 显示

12、并联电容器的水容器类比模型。图6显示并联电容器的水容器类比模型。类比电容器的水槽占地面积和高度是成一定比率的，且类比模型总电容的大小和水槽的总高度成反比，和水槽的总占地面积成正比。如图所示水箱水平放置在一起， 这种组合水槽的总高度不变、总占地面积增加为原来的两倍，因此等效电容也增加为原来的两倍,即，水容器模型的顶视图损失了高度信息，如图所示，结果导致总电压为，因而不能用于计算电荷量。水容器模型的侧视图中，水的高度是可见的，是不叠加的（如图所示），所以水的等效电压为。如图可知每个水槽中的电荷为，即总电荷为： (25)把等效电压和（25）式代入公式（5）式得总能量为： (26)由（24）、（26）

13、式不难看出，用等效电压的方法来计算总能量是不遵守能量守恒原理的，现在的解决方案是利用重新定义的能量电压关系来解决这个问题，即把两个电容器中的电荷（水的体积）相加作为总电荷量（总体积）。把两个电容器中电压的大小（水的高度）相加作为总电压（水的总高度）。不管两个电容为C电容器如何并联，每个电容器中水的高度为（如图所示），所以总电压为： （27）这是通过对每个水容器内水的高度求和得到的，即电容器电压的极性对总电荷量和总电压的计算是不重要的，此时，满足电压守恒。把（25）、（27）代入（5）式，我们可以计算出并联电容器在开关闭合后的总能量为： (28)由(24)式和(28)式可以看出，两电容器并联时能

14、量是守恒的，它满足。3.2两电容器串联时与水容器类比分析图7 显示串联电容器的水容器类比模型。两个串联的电容器电路，不管怎么串联，每个单独的电容器都有一个电容C和电位差。在图7中的水容器类比模型和等效电路模型就说明了这种情况。在水容器类比电容器模型中，两个副水槽的放置方式是一个高于另一个(如图所示)。因为在水容器模型中水槽组合的总占地面积保持不变，而总高度翻倍，所以等效电容为。现在，等效电容的大小减少为原来单个电容的二分之一，即。通过顶视图，水(电荷量)的高度信息是不可见的、是丢失的（如等效电路模型图所示），即等效电压为：，所以不能用于电荷量计算。然而通过侧视图我们看到水的高度信息是可见的，是

15、增加的，所以得到的总电压为： （29）这是通过对每个水槽内水的高度求和得到的，满足了电压守恒（）。在计算电荷量时，如果我们只考虑水容器模型的总电压和等效电容，代入时，就会因电容减少为，计算得出的总电荷也减少一半，出现最终总电荷量与初始总电荷量不相等的矛盾，违反了电荷守恒，这是不正确的，所以我们不能用等效电容的方法来计算总电荷。在这种情况下的解决方案是利用重新定义的能量电压关系，即把每个水槽里的电荷量（水的体积）求和作为总电荷量（水的总体积）。如图所示，两个副水槽中水的体积相同，因此它们所储存的电荷数量相同，且为，即，这样就意味着总电荷量为： （30）从而满足电荷守恒。把（29）、（30）式代入

16、（5）式，我们可以计算出电容器串联电路中开关闭合后的总能量为： (31)由(24)式和(31)式可以看出，两电容器串联时能量是守恒的，它满足。4.结论在理想条件下，两个理想的电容器并联和串联时的能量应该是守恒的，但直接应用来计算电路中的总能量时，能量似乎损失了一半。本文通过对电容器组合能量的重新解读，重新定义了两个电容器连接在一起时的能量电压关系，从而满足了能量守恒，并且提出一个类比方案来直观形象的呈现出两个电容器连接前后的能量守恒。致谢论文写作过程中得到贾正林老师的关心、耐心的指导和帮助，在此我表示衷心的感谢。参考资料：1 程荣龙，杨春兰.关于电容器连接中能量损失问题的讨论J.滁州学院学报，

17、第12卷,第2期, 2010.2 F. W. Sears and M. W. Zemansky. University Physics M. page 601. Addison-Wesley, Reading, 1964.3 Kirk T.McDonald. A Capacitor ParadoxJ. arXiv:physics/0312031v1,2003.4 D. Halliday and R. Resnick. Physics M. page 656.Wiley, New York, 1978.5 M. A. Plonus. Applied ElectromagneticsM. page

18、 178. McGraw-Hill, New York, 1978 .6 郭洪昌.关于理想平行板电容器并联时的能量传输问题J. 长春师范学院学报，第26卷,第2期,2007. 7 叶鹏，黄本. 关于理想平行板电容器充电过程的能量传输问题J. 大学生园地，第24卷,第10期, 2005.8 祁翔.两电容器连接时的能量损失初探J. 贵阳学院学报，第4卷,第2期, 2009.9 梁柏华.论两个具有初始电压的理想电容器连接前后能量差异的原因J.武汉科技大学学报，第三期, 2001.10 余静，李学敏，藤保化. 两电容与两电感分别连接前后能量变化的类比分析J.物理与工程，第6期，201111 李杰. 也谈两充电电容器并联时的能量损失J.江苏广播电视大学学报，第2期，1998.12 易正湘.也谈理想平行板电容器充电过程的能量传输问题J.大学物理，第26卷，第2期，2007.13 A.P.