平面几何的立体几何类比

1、从三角形到三棱锥性质1：在平面上到ABC三个顶点距离相等的点是三角形三边的垂直平分线的交点，这个点也称为三角形的外心（外接圆圆心）.如果把“在平面上”几个字去掉，再来研究到三角形三个顶点距离相等的点会是一种什么情形呢？首先这样的点肯定存在（三角形外心就是一例），在平面ABC外是否还有这样的点呢？我们先把研究的问题具体化.ABC所在平面外满足PA=PB=PC的点P是否存在？先考虑到A、B距离相等的点.在平面中这样的点的轨迹为线段AB的垂直平分线，不难证明在空间满足此条件的点的轨迹为线段AB的垂直平分面（即过AB中点且与AB垂直的平面.记为）.同理，到A、C两点距离相等的点的轨迹为线段AC的垂直平

2、分面（记为）.显然这两个平面不平行，记交线为m,因为直线m上的任意一点P都满足PA=PB，PA=PC，所以有PB=PC，可知点P也应在线段BC的垂直平分面上，即直线m是AB、AC、BC三条线段的垂直平分面的交线.由此可得：在空间到三角形三个顶点距离相等的点在其三边的垂直平分面的交线上，易证，这条直线垂直于三角形所在平面且通过三角形的外心，这条直线我们不妨称之为三角形的外心线.这个结论还可以如下的角度来表述：如图1，如果平面ABC外有一点P且PA=PB=PC，那么点P在过ABC外心且与平面ABC垂直的直线上.也可以说，到ABC三个顶点距离相等的点在平面ABC内的射影是ABC的外心.思考：三角形还

3、有哪些类似的性质可以推广到空间去？不难想到三角形的内心（三条角平分线的交点）、垂心（三条高线的交点）都可以在空间找到对应的图形.对这些性质我们不妨先大胆写出结论，再进行严格证明.在类比中，我们看到，平面中的点常对应空间中的线，平面中的线则常对应空 图1间中的面.在平面几何中有这样一个性质：如图2，ABC中，B和C分别在边AB、AC上，则有（用公式SABC=易证）将这一性质类比到空间得到相应结论： 图2性质2：如图3，已知四面体ABCD中，棱AB、AC、AD上各有一点B、C、D，则有 图3证明：作DP平面ABC于P，连结A、P并延长AP交BC于E.则平面APD平面ABC.过D作AP于Q，则平面A

4、BC，于是有练习：下面这些平面中的性质类比到空间应怎样叙述？它是正确的吗？如果正确，你能证明它吗？性质3：如图4，正ABC，过其内任一点P作三边垂线，垂足分别为D、E、F，则PE+PF+PD为定值.性质4：如图5，点O是ABC内任意一点，连结AO、BO、CO并延长交BC、CA、AB于点D、E、F.则图4 图5性质3、4向空间类比所得命题都是正确的，它们分别可表述为性质3：如图6，过正四面体内一点P向四个面作垂线，垂足分别为M1、M2、M3、M4，则PM1+PM2+PM3+PM4为定值.性质4：如图7，P为四面体ABCD内任意一点，连结AP、BP、CP、DP并延长分别交A、B、C、D所对的平面于

5、A1、B1、C1、D1，则图6 图7这些性质的证明方法与性质本身的证明类似可以从相应平面性质的证明中类比得到.如性质3、4的证明用到了面积割补思想，类比到空间就是体积割补思想，性质3、4的证明问题就迎刃而解了.一、转化的思想方法研究问题时，将研究对象在一定条件下转化为熟悉的、简单的、基本的研究对象的思维方法称为转化的思想方法。这种思想方法是立体几何中最重要的思想方法，贯穿在立体几何教学的始终。立体几何中转化的思想方法主要体现在如下几个方面：1、空间问题向平面问题转化 将空间问题转化为熟知的平面问题是研究立体几何问题最重要的数学方法之一。如线面垂直的判定定理转化为三角形全等的平面几何问题；教材中

6、的几种多面体和旋转体的侧面积公式的推导（除球面和球冠外）、侧面上最短线问题都是通过侧面展开转化为平面几何问题；旋转体的有关问题不也是转化为关于轴截面的平面几何问题吗？其实，立体几何中的三种角（线线角、线面角、二面角）和四种距离（线线距、点面距、线面距、面面距）从定义到具体的计算以及三垂线定理都体现了空间到平面的转化。例1. 正三棱锥A-BCD，底面边长为a，侧棱为2a，过点B作与侧棱AC、AD相交的截面，在这样的截面三角形中，求周长的最小值。解析：沿侧棱AB把正三棱锥的侧面剪开展成平面图.如图1，当周长最小时，EF在直线BB上，ABEBAF，AEAF，ACAD，BBCD，123，BEBCa，同

7、理BFBDa.FDBADB，,DFa,AFa.又AEFACD，BBa+a+aa,截面三角形的周长的最小值为a.评析 把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题，从而使问题得到解决，这是求曲面上最短路线的一种常用方法.又如异面直线所成的角、线面角、面面角的计算，最终都是转化为平面上两相交直线成的角来进行的。实现空间问题向平面问题转化的方法很多，常用的就有：平移法、射影法、展开法和辅助面法等等。2、位置关系的转化线线、线面、面面平行与垂直的位置关系既互相依存，又在一定条件下不仅能纵向转化：线线平行（或垂直） 线面平行（或垂直） ; 面面平行（或垂直），而且还可以横向转化：线线、线

8、面、面面的平行 ; 线线、线面、面面的垂直。这些转化关系在平行或垂直的判定和性质定理中得到充分体现。平行或垂直关系的证明（除少数命题外），大都可以利用上述相互转化关系去证明。例2. 如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1EBF.求证：EF平面BB1C1C.证法一：连AF延长交BC于M，连结B1M.ADBCAFDMFB又BDB1A，B1EBFDFAEEFB1M，B1M平面BB1C1CEF平面BB1C1C.证法二：作FHAD交AB于H，连结HEADBCFHBC，BCBB1C1CFH平面BB1C1C由FHAD可得又BFB1E，BDAB1EHB1B，B1B平面BB1C

9、1CEH平面BB1C1C，EHFHH平面FHE平面BB1C1CEF平面FHEEF平面BB1C1C说明：证法一用了证线面平行，先证线线平行.证法二则是证线面平行，先证面面平行，然后说明直线在其中一个平面内.3、位置关系中的定性与定量的转化立体几何中对点、线、面在空间中特定位置关系的研究是从定性和定量两个方向进行的。这两者既有联系又有区别，在一定条件下还可以互相转化。 线线、线面、面面平行,这些定性描述,表示线线、线面、面面的成角是0°,反之则不然；线线、线面、面面的成角是90°，这些量的结果，则反映了它们的垂直关系，反之亦然。可见教材中深刻地蕴含着位置关系中的定性与定量的转化

10、关系。 例3. 空间四边形PABC中，PA、PB、PC两两相互垂直，PBA45°，PBC60°，M为AB的中点.(1)求BC与平面PAB所成的角；(2)求证：AB平面PMC.解析：此题数据特殊，先考虑数据关系及计算、发现解题思路.解 PAAB，APB90°在RtAPB中，ABP45°，设PAa，则PBa,ABa,PBPC，在RtPBC中，PBC60°,PBa.BC2a,PCa.APPC 在RtAPC中，AC2a(1)PCPA,PCPB,PC平面PAB，BC在平面PBC上的射影是BP.CBP是CB与平面PAB所成的角PBC60°，BC与

11、平面PBA的角为60°.(2)由上知，PAPBa,ACBC2a.M为AB的中点，则ABPM，ABCM.AB平面PCM.说明 要清楚线面的垂直关系，线面角的定义，通过数据特点，发现解题捷径.例4.如图919，在棱长为a的正方体ABCD中，O是AC、BD的交点，E、F分别是AB与AD的中点图919（1）求异面直线与所成角的大小；（2）求异面直线EF与所成角的大小；解析：（1） AC， 与AC所成的锐角或直角就是与所成的角，连结、，在和， ，是等腰三角形 O是底边AC的中点， ，故与所成的角是90°（2） E、F分别是AB、AD中点， EFBD，又 AC， AC与BD所成的锐角或

12、直角就是EF与所成的角 四边形ABCD是正方形， ACBD， EF与所成的角为90°4、体积问题中的转化研究简单几何体体积问题的过程中，利用祖暅定理，将一般柱体体积问题转化为长方体体积问题，一般锥体体积问题转化为三棱锥体积问题，从而推导出柱体和锥体体积公式等。三棱锥体积公式推导过程中，“补法”和“割法”的先后运用，台体的体积，即补台成锥。所展示的割补转化；利用四面体、平面六面体等几何体体积的自等性，以体积为媒介沟通有关元素间的联系，从而使问题获解的等积转化等，均是转化的思想方法在体积问题中的体现。所有上述这些都充分展现了转化的思想方法在立体几何中的“用武之地”。教学中的适时揭示与恰当

13、运用，确能强化学生思维的目标意识，增强思维的敏捷性和灵活性，提高学习效率。例5. 如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，侧棱AA1长为2，且A1ABA1AD60°则此平行六面体的体积为 解析：一 求平行六面体ABCDA1B1C1D的体积，应用公式.由于底面是正方形，所以关键是求高，即到底面ABCD的距离解法一：过点A1做A1O平面ABCD，垂足为O，过O做OEAB，OFAD，垂足分别为E、F，连结A1E，A1F，可知O在BAD的平分线AC上.cosA1AO·cosOAF·cosA1AF即cosA1AO·cos45°c

14、os60°cosA1AOsinA1AOA1OA1AsinA1AOVSABCD·A1O分析二 如图，平行六面体的对角面B1D1DB把平行六面体分割成两个斜三棱柱，它们等底面积、等高、体积相等，考察其中之一三棱柱A1B1D1ABD.解法二：过B作BEA1A，连结DE，可知面BDE是其直截面，把斜三棱柱分割成上下两部分，若把两部分重新组合，让面A1D1B1与面ADB重合，则得到一直棱柱，BDE是其底面，DD1是其侧棱，并且和斜三棱柱A1B1D1ABD的体积相等.取BD中点O，连结OE，易知SBEDBD·OEBD···V直棱柱SDEB

15、3;DD1×22点评 在解决体积问题时，“割”“补”是常用的手段，另外本题分析二给出了求斜棱柱体积的另一方法：斜棱柱的体积直截面面积×侧棱长.例6. 求证：球的外切正四面体的高是球的直径的2倍.证明： 设球的半径为R，正四面体的高为h，侧面积为S，则有VABCDVOABC+VOABD+VOBCD+VOACD如图，即Sh4×SR,h4R.二、分类的思想方法分类的思想方法在数学中较为普遍。如立体几何中的一些知识和问题：空间两直线的位置关系分为相交、平行、异面三种；线面、面面的位置关系以它们公共点的多少为标准分别分为相交、平行、线在面内的三种和平行、相交两种，而对于相交

16、的情形，根据其交角是否为直角又分为斜交和直交两种；简单几何体可划分为柱体、锥体、台体和球四类，每一类（除球外）又可分为若干个子类；教学直线和平面所成的角时，要分直线和平面斜交、直线和平面垂直、直线和平面平行或直线在平面内三种情况加以说明。教学中，不失时机地揭示并帮助学生运用分类的思想方法，有助于学生全面系统地归纳整理，消化知识，亦有益于训练思维的条理性和严密性，发展思维能力。 另外，根据几何图形及位置存在的不同情况也需分类讨论。例7 若四面体各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是 .(只须写出一个可能的值)解析： 该题的显著特点是结论发散而不惟一.本题表面上是考查锥体求积公式这

17、个知识点，实际上主要考查由所给条件构造一个四面体的能力，首先得考虑每个面的三条棱是如何构成的.排除1，1，2，可得1，1，1，1，2，2，2，2，2，然后由这三类面在空间构造满足条件的一个四面体，再求其体积.由平时所见的题目，至少可构造出二类满足条件的四面体，五条边为2，另一边为1，对棱相等的四面体.对于五条边为2，另一边为1的四面体，参看图1所示，设AD=1，取AD的中点为M，平面BCM把三棱锥分成两个三棱锥，由对称性可知AD面BCM，且VABCM=VDBCM，所以VABCD=SBCM·AD.CM=.设N是BC的中点，则MNBC，MN=，从而SBCM=×2×=，

18、故VABCD=××1=.对于对棱相等的四面体，可参见图2.其体积的计算可先将其置于一个长方体之中，再用长方体的体积减去四个小三棱锥的体积来进行.亦可套公式V=·，不妨令a=b=2，c=1，则V=·=·=.例8 四面体的四个顶点到平面M的距离之比为1113，则平面M的个数应有多少个?解 这样的平面应分4种情况讨论：(1)4个顶点都在平面M的同侧，则有C41·14个(平面)；(2)距离比为3的顶点与其他3个顶点不同侧，则有C41·14个(平面)；(3)距离比为3的顶点与其他3个顶点中的1个同侧，则有C31·C41

19、83;112个(平面)(4)距离比为3的顶点与其他3个顶点中的2个同侧，则有C32·C41·112个(平面)； 一共应有4+4+12+1232个(平面)例9 直线上有两点到平面的距离相等，这条直线和平面的位置如何？解析：(1)若直线上的两点到平面的距离都等于0，这时直线在平面内(如图)(2)若直线上的两点在平面的两侧,且到平面的距离相等,这时直线与平面相交(如图)(3)若直线l上的两点在平面的同一侧，且到平面的距离相等(如图)AA1于点A1，BB1于点B1又 A、B均在l上，且在的同侧AA1 BB1AA1BB1为一平行四边形ABA1B1 这时直线l与平面平行想一想：若直线l

20、上各点到平面的距离都相等，那么直线l和平面的位置关系又怎样？ 三 、运动变化的思想方法运动变化的思想方法是数学中重要的思想方法。运用它易于提示概念的本质，便于认识事物的性质，发现规律。立体几何中，不少的知识和问题蕴含着这一思想方法。如圆柱、圆锥、圆台、球面和旋转面的含义；二面角可看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成的；圆柱（或圆锥）亦可看作是当圆台上底面半径和下底面半径相等（或缩小到其半径等于零）时，转化而成的。教学线面平行的性质时，在定义的条件下，让该直线和平面运动起来，在运动中保持不变的性质就是线面平行的性质。研究平面图形折叠问题时，需要从运动变化的角度出发，弄清图形中涉及的元素在折叠前后的

21、数量及位置关系的变化等。教学实践表明，有意识而及时地对这一思想方法的揭示与渗透，可使学生对知识的理解更深刻，运用更得心应手，思维能力得到发展，同时使学生受到辩证唯物主义教育。例10。求正三棱锥相邻的两个侧面所成的二面角大小的取值范围。分析：因为这个正三棱锥是动态的，无法作出相邻的两个侧面所成的二面角的平面角，故不能通过正常的途径算出其范围，既然是动态的图形，我们则可以从图形的极限思想出发思考这个问题。当正三棱锥的高接近于零时，相邻的两个侧面趋向于在底面内，故二面角大小趋向于，但不能等于；当正三棱锥的高趋向于时，正三棱锥趋向于正三棱柱，故二面角大小趋向于，但不能等于。故相邻的两个侧面所成的二面角

22、大小的取值范围为。例11  如图3，在棱长为a的正方体中，EF是棱AB上的一条线段，且EFba，若Q是上的定点，P在上滑动，则四面体PQEF的体积（ ）（A)是变量且有最大值  （B）是变量且有最小值  （C）是变量无最大最小值   （D）是常量分析：此题的解决需要我们仔细分析图形的特点这个图形有很多不确定因素，线段EF的位置不定，点P在滑动，但在这一系列的变化中是否可以发现其中的稳定因素？求四面体的体积要具备哪些条件？仔细观察图形，应该以哪个面为底面？观察，我们发现它的形状位置是要变化的，但是底边EF是定值，且P

23、到EF的距离也是定值，故它的面积是定值再发现点Q到面PEF的距离也是定值因此，四面体PQEF的体积是定值我们没有一点计算，对图形的分析帮助我们解决了问题四、数与方程的思想方法函数与方程的思想方法渗透到中学数学的全过程，具有广泛应用性。它们是根据问题的数量特征及其相互关系设定变量，建立函数关系或方程，通过对函数性态或方程的研究而求得原问题的解的一种思维方法。 函数与方程的思想方法在立体几何中亦大有“用武之地”。如立体几何中求某些量的最值问题大都需要用函数的思想方法去处理，多面体和旋转体的表面积与体积的计算中，也经常要用方程的思想方法去解决有关问题。教学中适时启发和引导学生用函数与方程的思想方法去思考和解决问题，有利于学生将某些研究对象或实际问题转化为数学问题的意识和习惯的形成，同时学生分析、解决问题的能力也必将得到提高。例12.如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=（1）求MN的长；（