第九章第5节隐函数的求导公式

1、1 已知已知二阶连续可导二阶连续可导其中其中g,fxyg)yx,yx(fz xyz 2求求解解: :1fxyz 22fyx gx 112fxyz x12111fyfy 221fy2yx22211fyfy gx21gxy 3111fyxf 221fy223fyx gx21gxy 3测试题测试题2第九章第九章 多元函数微分法多元函数微分法 及其应用及其应用 第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念第二节第二节 偏导数偏导数第三节第三节 全微分全微分第四节第四节 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则第五节第五节 隐函数的求导公式隐函数的求导公式第六节第六节 多元函数微分学的几何应用

2、多元函数微分学的几何应用第七节第七节 方向导数与梯度方向导数与梯度第八节第八节 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法3本节讨论本节讨论 : :1) 1) 方程在方程在什么条件什么条件下才能确定隐函数下才能确定隐函数 . .例如例如, , 方程方程02cyx2) 2) 在方程能确定隐函数时在方程能确定隐函数时, ,研究其研究其连续性、可微性连续性、可微性 及及求导方法求导方法问题问题 . .学习了多元函数、偏导数的概念和多元复合学习了多元函数、偏导数的概念和多元复合函数的求导法后，函数的求导法后，一般求导公式。一般求导公式。就能给出隐函数的求导定理及就能给出隐函数的求导定理及当当 时时,

3、 ,能确定隐函数能确定隐函数; ;0 c当当 时时, ,不能确定隐函数不能确定隐函数; ;0 c4 第九章 第五节一、一个方程所确定的隐函数一、一个方程所确定的隐函数 及其导数及其导数 二、方程组所确定的隐函数组二、方程组所确定的隐函数组 及其导数及其导数隐函数的求导方法 5一、一个方程所确定的隐函数及其导数一、一个方程所确定的隐函数及其导数定理定理1.1. 设函数设函数),(00yxp),(yxf;)y,x(f000 则方程则方程00),(xyxf在点在点 , )(00 xfy 并有连续并有连续yxffxy dd( (隐函数求导公式隐函数求导公式) )定理证明从略，定理证明从略，仅就求导公式

4、推导如下：仅就求导公式推导如下： 具有连续的偏导数具有连续的偏导数; ;的的某邻域内某邻域内可唯一确定一个可唯一确定一个在点在点的某一邻域内满足的某一邻域内满足0),(00 yxfy满足条件满足条件导数导数1.1.?0),( dxdyyxf单值连续函数单值连续函数 , )(xfy 60)(,( xfxf0dd xyyfxfyxffxy dd0 yf,0),()(所所确确定定的的隐隐函函数数为为方方程程设设 yxfxfy在在),(00yx的某邻域内的某邻域内则则两边对两边对 求导求导x7例例1.1.验证方程验证方程01sin yxeyx在点在点(0,0)(0,0)某邻域某邻域可确定一个单值可导隐

5、函数可确定一个单值可导隐函数, )(xfy 0dd,0dd22 xxyxxy解解: : 令令,1sin),( yxeyyxfx,0)0 , 0( f, yefxx 连续连续 , ,由由 定理定理1 1 可知可知, ,1)0 , 0( yf0 , )(xfy 导的隐函数导的隐函数 则则xyfy cos且且并求并求在在 的某邻域内方程存在单值可的某邻域内方程存在单值可0 x80dd xxy0 xffyx 1xy cosyex 0, 0 yx0dd22 xxy)cos(ddxyyexx 2)cos( xy 3 100 yyx)(yex )(cosxy )(yex )1sin( yy1, 0, 0 y

6、yx930dd22 xxy)(, 01sinxyyyxeyx yy cos10 xyyycos)y(ysin 21,0yy0 yxyyexxe y 0 yx导数的另一求法导数的另一求法 利用隐函数求导利用隐函数求导00 yx当当代入导数方程得代入导数方程得两边再对两边再对 求导求导x两边对两边对 求导求导x令令 , , 注意此时注意此时0 x10例例 2 2 已知已知xyyxarctanln22 ，求，求dxdy.解法一解法一 令令则则,arctanln),(22xyyxyxf ,),(22yxyxyxfx ,),(22yxxyyxfy yxffdxdy .xyyx 11求导求导两边对两边对x

7、 222221yxyyx22)(11xyxyxy dxdy.xyyx 解法二解法二12),(000zyxpzyzxffyzffxz ,的某邻域内具有的某邻域内具有连续偏导数连续偏导数 , ,则方程则方程0),(zyxf在点在点),(00yx并有连续偏导数并有连续偏导数, ),(000yxfz 定理证明从略定理证明从略, , 仅就求导公式推导如下仅就求导公式推导如下: :满足满足0),(000 zyxf0),(000 zyxfz 在点在点定理定理2 .2 .若函数若函数 ),(zyxf满足满足: :某一邻域内可唯一确某一邻域内可唯一确0),(. 2 zyxf),(yxzz ?,yzxz 如何求如

8、何求定一个单值连续函数定一个单值连续函数 , , ),(yxfz 130),(,( yxfyxfxfzxffxz zyffyz 同样可得同样可得,0),(),(所确定的隐函数所确定的隐函数是方程是方程设设 zyxfyxfz则则zf xz 00),(000 zfzyx的某邻域内的某邻域内在在两边对两边对 求偏导求偏导x14例例3. 3. 设设,04222 zzyx解法解法1 1 利用隐函数求导利用隐函数求导0422 xzxzzxzxz 2 22zxxz 22)(1xz 322)2()2(zxz .22xz 求求 yxzz, 是由方程是由方程所确定，所确定，02)(122222 xzxzzxz再对

9、再对 求导求导x15解法解法2 2 利用公式利用公式设设zzyx)z,y,x(f4222 则则,xfx2 zxffxz )zx(xxz 222222)z(xzx)z( 32222)z(x)z( 2 zxzx 242 zfz两边对两边对 求偏导求偏导x16解法解法3 3 利用全微分形式不变性利用全微分形式不变性则两边同时微分则两边同时微分,4222dzzdzydydxx zxxz 2)2(22zxxxz 2)2()2(zxzxz 322)2()2(zxz ,04222 zzyxyydxxddzz )2(ydzyxdzxdz 2217例例 4 4 设设),(xyzzyxfz ，求求xz ，yx ，

10、zy .思路：思路：解解令令, zyxu ,xyzv 则则),(vufz 18把把z看成看成yx,的函数对的函数对x求偏导数得求偏导数得xz )1(xzfu ),(xzxyyzfv 整理得整理得xz ,1vuvuxyffyzff 把把x看成看成yz,的函数对的函数对y求偏导数得求偏导数得)1(0 yxfu),(yxyzxzfv ),(vufz , zyxu ,xyzv 19整理得整理得,vuvuyzffxzff yx )1(1 zyfu),(zyxzxyfv 整理得整理得zy .1vuvuxzffxyff ),(vufz , zyxu ,xyzv 20 0),(0),(vuyxgvuyxf),

11、(),(yxvvyxuu?,yvxvyuxu如何求如何求二二. 方程组所确定的隐函数组及其导数方程组所确定的隐函数组及其导数21隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形. .0),(0),(vuyxgvuyxf),(),(yxvvyxuu由由 f f、g g 的偏导数组成的行列式的偏导数组成的行列式vuvuggffvugfj),(),(称为称为f f、g g 的的雅可比雅可比( jacobi( jacobi ) )行列式行列式. .以两个方程确定两个隐函数的情况为例以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , , 即即22定理定理3 3,0),(0000vuyxf

12、的某一邻域内具有连续的的某一邻域内具有连续的设函数设函数),(0000vuyxp),(, ),(vuyxgvuyxf则方程组则方程组0),(, 0),(vuyxgvuyxfpj在点在点),(00yx并满足条件并满足条件),(, ),(000000yxvvyxuu且有偏导数公式且有偏导数公式 : : 在点在点的某一邻域内可的某一邻域内可唯一唯一确定一组确定一组单值连单值连满足满足pvugf),(),(00),(0000vuyxg偏导数偏导数续函数续函数, ),(, ),(yxvvyxuu23vxvxvuvuggffggffvxgfjxu1),(),(1vyvyvuvuggffggffvygfjy

13、u1),(),(1xuxuvuvuggffggffxugfjxv1),(),(1yuyuvuvuggffggffyugfjyv1),(),(1定理证明略。定理证明略。仅推导偏导数仅推导偏导数公式如下公式如下24xvxu,这是关于这是关于 的方程组的方程组0),(0),(vuyxgvuyxf有隐函数组有隐函数组则则0),(),(,(0),(),(,(yxvyxuyxgyxvyxuyxf,),(),(1vxgfjxu222111cybxacybxa解解22111babax 2211bcbc2211cacaxuxvxuxvxfufvf0 xgugvg0,),(),(yxvvyxuu设方程组设方程组2

14、2111babay 0vuvuggffj在点在点p p 的某邻域内系数行列式的某邻域内系数行列式),(),(1xugfjxv同样可得同样可得),(),(1),(),(1yugfjyvvygfjyu两边对两边对 求导求导x25解解1直接代入公式；直接代入公式；解解2运用公式推导的方法，运用公式推导的方法，将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导并移项求导并移项x, vxvxxuyuxvyxuxxyyxj ,22yx 26在在0 j的条件下，的条件下，xyyxxvyuxu ,22yxyvxu xyyxvyuxxv ,yxxvyu22 将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导，用同样方法得求导，

15、用同样方法得y,22yxyuxvyu .22yxyvxuyv 276例例.dzdu,zyxzyx,xysinu求求且且 10222:解解求导求导方程组对方程组对z 022201zdzdyydzdxxdzdydzdx,yxzydzdx yxxzdzdy dzdudzdyyfdzdxxf yxxzxycosxyxzyxycosy 28)()(xzzxyy 及及,2 yxeyx例例7 7.xdud求求分别由下列两式确定分别由下列两式确定 : :又函数又函数),(zyxfu 有连续的一阶偏导数有连续的一阶偏导数 , , 设设 321)sin()(1ddfzxzxefxyfxux uzyxx x0)()

16、( yxyyxyeyx xezxzx )sin()1(z ,xyy )zxsin()zx(ezx 1, tdttsinezxx 0(2001(2001考研考研) )解得解得因此因此解解: : 两个隐函数方程两边对两个隐函数方程两边对 求导求导, , 得得x29 z xfyfy 0 zfz fx)1(y 例例8. 8. 设设)(, )(xzzxyy 是由方程是由方程)(yxfxz 和和0),( zyxf所确定的函数所确定的函数 , ,求求.ddxzffxfzyfx xzyfzfyf )0( zyffxfzyxyffxfffxffxf )( xzdd 1 zyfffx xyfffxffx (99(

17、99考研考研) )解法解法1 1 分别在各方程两端对分别在各方程两端对 求导求导, , 得得x30解法解法2 2 微分法微分法. .0),(),( zyxfyxfxz对各方程两边分别求微分对各方程两边分别求微分: :化简得化简得消去消去yd.xdzdydf2 03 zdfydfx 0 zd)ydx(dfxxdfzd 0321 zdfydfxdfxd)fxf( xdf1 可得可得31三、三、内容小结内容小结1. 1. 隐函数隐函数( ( 组组) ) 存在定理存在定理2. 2. 隐函数隐函数 ( ( 组组) ) 求导方法求导方法方法方法1. 1. 利用复合函数求导法则直接计算利用复合函数求导法则直

18、接计算 ; ;方法方法2. 2. 利用微分形式不变性利用微分形式不变性 ; ;方法方法3. 3. 代公式代公式自变量个数自变量个数= =变量总数变量总数- -独立方程的个数独立方程的个数328959p 习题习题11),3)(1(10, 7, 4, 333记记)(),(zyzxzyxf , 则则zfx1 ，,1)(zzyfy ,)()(22zyzyzxfz ,)(zyyxzffxzzx ,)()(zyyxzyzffyzzy 于是于是zyzyxzx .提示提示:思考与练习思考与练习? yzyxzx求求34雅可比雅可比(1804 1851)德国数学家德国数学家. 他在数学方面最主要他在数学方面最主要的成就是和挪威数