柯西公式课件

1、数学物理方法数学物理方法第二章第二章 复变函数的积分复变函数的积分复变函数的积分柯西定理不定积分柯西公式数学物理方法2.4 2.4 柯西公式柯西公式0,(121,(lladzizala不围含 )包围 )在上节课我们计算了积分数学物理方法( )f a数学物理方法2.4 2.4 柯西公式柯西公式2.4.1 柯西公式：若函数 在闭单通区域 上解析， 为境界线， 为 内任意一点，则有BlBa1( )( )d2ilf zf azza（1）上式称为柯西积分公式，简称柯西公式柯西公式。但一定要注意其与柯西定理称谓上的区别。( )f z数学物理方法 a B L R K 证明思路：1、利用复通区域柯西定理，改变

2、积分路径。2、利用极限性质证明。数学物理方法由复积分性质知道根据由复积分性质知道根据 在在 连续，则对任意小连续，则对任意小的的 对应于对应于R足够小，有足够小，有 又显见该积分的值与又显见该积分的值与R无关这就证明无关这就证明了了 ，即为柯西积分公式，即为柯西积分公式( )( )ddLKf zf zzzzaza( )( )( )dd( )( )2i ( )dKKKf af zf azzzazaf zf af azza( )f za00( )d2i ( )Lf zzf aza( )( )( )( )ddd2KKKf zf af zf azzSzazaR数学物理方法柯西公式将解析函数在任意一点的

3、值用沿境界线的回路积分表示了出来。为什么？ 因为解析函数在各点的值通过柯西黎曼方程互相联系。从物理上说，解析函数紧密联系于平面标量场，而平面场的边界条件决定着区域内的场。因为 是任意的，通常将它改写为 ，积分变数用 表示，则柯西公式改写为：az1( )( )d2iLff zz( )d2i ( )Lff zz数学物理方法数学物理方法 解：（解：（1）注意到）注意到 在复平面内解析，而在复平面内解析，而 在积分环路在积分环路C内，由柯西积分公式得内，由柯西积分公式得 （2）注意到函数）注意到函数 在在 内解析，而内解析，而 在在 内，由柯西积分公式得内，由柯西积分公式得i( )zf zeiiiii

4、 1d2i2 iizzzzezeez 2( )5zf zz2z i2z 222| | 2i25dd(5)()i1 2i53zzzzzzzzzzizzz 数学物理方法解解：根据柯西积分公式，得到22| | 52371( )d2i(371)| 2i(371)zzf zzzz故得到故得到 ( )2i(67)fzz1 i( )|( 1i)2i6( 1i)7= 122i zfzf 数学物理方法2.4.2有界区域的复连通柯西积分公式有界区域的复连通柯西积分公式数学物理方法a D 1C L 12121( )( )d2i1( )( ) =dd2i( )( ) dd nnL CCCLCCCf zf azzaf

5、zf zzzzazaf zf zzzzaza 数学物理方法 上面对柯西积分公式讨论了（上面对柯西积分公式讨论了（1）单连通区域）单连通区域;(2)复连通区域。但所涉及的积分区域都是有限的区复连通区域。但所涉及的积分区域都是有限的区域，若遇到函数在无界区域求积分的问题又如何域，若遇到函数在无界区域求积分的问题又如何求解？我们可以证明如下的无界区域柯西积分公求解？我们可以证明如下的无界区域柯西积分公式仍然成立式仍然成立2.4.3 无界区域中的柯西积分公式数学物理方法1( )( )d( )2iLf zf azfza 设函数 在闭合回路L的外部解析，则有在区域内任意一点 ，满足( )f za特别是当

6、时( )0f 1( )( )d2iLf zf azza数学物理方法数学物理方法12222d()(3 )11()(3 )()(3 )dd11 2i|2i|()(3 )()(3 )11i 2i2i2 ( 2 )( 2 )( 4 )4Lllz azazIzazaza zaza zazzzazaza zaza zaaaaaa 数学物理方法2222dd()(3 )()(3 )LLzzIzazazaza 22322211i() d2i|(3 )4zaLzazzazaa 数学物理方法1、解析函数的无限次可微性（高阶导数公式） 作为柯西积分公式的推广，我们可以证明一个解析函数的导函数仍为解析函数，从而可以证明

7、解析函数具有任意阶导数解析函数具有任意阶导数请特别注意：这一点和实函数完全不一样，一个实函数有一阶导数，不一定有二阶或更高阶导数存在。2.4.4柯西积分公式的几个重要推论1( )( )d2iLff zz由上柯西公式，Z为区域内任意一点， 为边界上的点，故积分函数 处处可导，因此可在积分号下对Z求导。( )fz数学物理方法 定理定理 解析函数解析函数 的导数仍为解析函数，它的的导数仍为解析函数，它的n阶导阶导数为数为 其中其中 为为 的解析区域的解析区域 内并包含内并包含 的任一简单正向的任一简单正向闭曲线，而且它的内部全属于闭曲线，而且它的内部全属于 。 上式称为上式称为柯西导数公式柯西导数公

8、式。( )f z( )1!( )( )d (1,2,)2i()nnCnffznzC( )fDD21!( )( )d2i()Cffzz数学物理方法数学物理方法2、模数原理设函数 在某个闭区域上解析，则 只能在境界线上取极大值。证明：( )f z( )f z对函数 应用柯西公式，得 ( )nf z1 ( ) ( )2nnlff zdiz如果 ， ，边界长 ，则由上式可估计( )fMzs1 ( )2nnMf zs即11( )()2nsf zM 令 则 （函数为常数时才取等号）n ( )f zM数学物理方法3、柯西不等式若函数在圆若函数在圆C: 内部及其边界上解析，内部及其边界上解析，且且 ，则，则(

9、 )f z0zzR( )f zM( )0!() (1,2,)nnn MfznR数学物理方法 证明：由柯西高阶导数公式证明：由柯西高阶导数公式 所以所以( )010!( )()d (1,2,)2i()nnCnf zfzznzz( )0110( )!()d222nnnnCf znnMn MfzzRRRzz 柯西不等式是对解析函数各阶导数模的估计式，表明解柯西不等式是对解析函数各阶导数模的估计式，表明解析函数在解析点的各阶导数的模与它的解析区域大小密析函数在解析点的各阶导数的模与它的解析区域大小密切相关。切相关。 数学物理方法4、刘维尔定理设函数 在全平面上解析，并且是有界的，即 则 必为常数。(

10、)f z( )f zM( )f z数学物理方法*柯西积分定理的物理意义*数学物理方法 而且有对应关系而且有对应关系 则则00ddiddddiddiddddxyxyzxysxyzyxsyxleenee0d ( , )( , ) dd ( , )d( , )dd ( , )( , ) dd ( , )d( , )dxyxyxyxysu x yx yxyu x yxx yysu x yx yyxx yxu x yyvvvv0P l=eeeeP neeee数学物理方法 故复变函数的环路积分为故复变函数的环路积分为 由场论知识可知：闭合环路积分由场论知识可知：闭合环路积分 的物理的物理意义为意义为, 实

11、部实部 表示向量场表示向量场 沿沿 曲线的环量。曲线的环量。虚部虚部 表示向量场沿曲线表示向量场沿曲线 的通量。的通量。00( )( , ) i ( , ) d(i )( , )d( , )d +i( , )d( , )ddidLLLLLLf z dzu x yx yxyu x yxx yyx yx u x y yssvvvP lP n( )dLfzz0dLsP lLL0dLsP n数学物理方法数学物理方法解 柯西公式得dzzziz4sin2100sinzzdzzziz4sin21例2.4.5计算积分数学物理方法例2.4.6计算积分dzzzz43211dzzdzzzz443121121 226iii 解 柯西公式得dzzzz43211数学物理方法例2.4.7计算积分33sin(4) (1)(2)zzdzzzz解：在积分路径包围区域内只有1和2两个奇点，由复通区域柯西定理333312sin(4) (1)(2)sinsin(4) (1)(2)(4) (1)(2)zcczdzzzzzzdzdzzzzzzz对两个积分分别用柯西定理有3312sinsin22(4) (2)(4) (1)sin1sin22()278zzzzIiizzzzi数学物理方法例2.4.8计算积分 ，其中 为圆周解 高阶导数公式得;1cos5dzzzcC1 rz.121cos!1521cos545izzidzzzc数学